隱函數(shù)存在定理

隱函數(shù)是函數(shù)關(guān)系的另一種表現(xiàn)形式.討論隱函數(shù)的存在性、連續(xù)性與可微性,不僅是出于深刻了解這類函數(shù)本身的需要,同時又為后面研究隱函數(shù)組的存在性問題打好了基礎(chǔ).一、F(x,y)=0情形二、多變量情形三、方程組情形方程式所確定的函數(shù),通常稱為隱函數(shù)．例如：1、隱函數(shù)概念顯函數(shù)：因變量可由自變量的某一分析式來表示的函數(shù)稱為顯函數(shù)．例如：隱函數(shù)：自變量與因變量之間的關(guān)系是由某一個隱函數(shù)一般定義：

一、F(x,y)=0情形那么成立恒等式有惟一確定的與之對應(yīng),能使且滿足上方程,則稱由上方程確定了一個定義在,值域含于的隱函數(shù).如果把此隱函數(shù)記為取值范圍．例如由方程可確定如下兩個函數(shù)：注2

不是任一方程都能確定隱函數(shù),例如顯然不能確定任何隱函數(shù)．注1

隱函數(shù)一般不易化為顯函數(shù)，也不一定需要化為顯函數(shù)．上面把隱函數(shù)仍記為，這與它能否用顯函數(shù)表示無關(guān)．注3

隱函數(shù)一般需要同時指出自變量與因變量的注4類似地可定義多元隱函數(shù)．例如:由方程確定的隱函數(shù)由方程確定的隱函數(shù)等等.2、隱函數(shù)存在性條件分析條件時，由F(x,y)=0能確定隱函數(shù)y=f(x)并使要討論的問題是：當(dāng)函數(shù)滿足怎樣一些該隱函數(shù)具有連續(xù)、可微等良好性質(zhì)?(a)

把上述看作曲面與坐標平面的交線，故至少要求該交集非空，即，滿足

連續(xù)是合理的．(b)

為使在連續(xù)，故要求在點xzyOΣ:

z=F(x,y)OΓ:

F(x,y)=0P0(x0,y0)圖1隱函數(shù)存在性條件分析示意圖

Γ:

y=f(x)F(x0,y0)=0y0=f(x0)F(x,f(x))=0(滿足一定條件或在某一局部)由此可見，是一個重要條件．點存在切線，而此切線是曲面在點的切平面與的交線，故應(yīng)要求在(c)

為使在可導(dǎo)，即曲線在點可微，且(d)

在以上條件下，通過復(fù)合求導(dǎo)數(shù),可得到3、隱函數(shù)定理定理1(隱函數(shù)存在惟一性定理)

設(shè)方程F(x,y)=0中的函數(shù)滿足以下四個條件：(ii)(初始條件)；那么有如下結(jié)論成立：(i)

在區(qū)域(iii)

F(x,y)=0惟一地確定了一個隱函數(shù)(i)存在某鄰域，在內(nèi)由方程它滿足：,且當(dāng)時,使得證

首先證明隱函數(shù)的存在與惟一性．

證明過程歸結(jié)起來有以下四個步驟(見圖2)：在上連續(xù)．(ii)(iii)

(c)同號兩邊伸

＋＋＋＋－－－－(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－

(b)正、負上下分

＋＋＋

___+_0

(a)一點正,一片正

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++圖2隱函數(shù)存在性與惟一性分析示意圖

(a)“一點正,一片正〞由條件(iii)，不妨設(shè)因為連續(xù)，保號性，使得

(a)一點正,一片正

D

P0+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

星星之火可以燎原所以根據(jù)連續(xù)函數(shù)的(b)正、負上下分

＋＋＋

___+_0(b)“正、負上下分〞因故把看作的函數(shù)，它在上嚴格增，且連續(xù)(據(jù)條件(i))．特別對于函數(shù)由條因為關(guān)于連續(xù)，故由(b)的結(jié)論，根據(jù)保號性，使得

(c)同號兩邊伸

＋＋＋＋－－－－(c)“同號兩邊伸〞(d)“利用介值性〞因關(guān)于連續(xù),且嚴

格增，故由(c)的結(jié)論，依據(jù)介值性定理,存在惟(d)利用介值性

＋＋＋＋－－－－滿足一的就證得存在惟一的隱函數(shù):由的任意性,這若記則定理結(jié)論得證．下面再來證明上述隱函數(shù)的連續(xù)性:欲證上述在連續(xù).類似于前面(c)，使得由對嚴格增，而推知如圖3所示,＋＋＋＋－－－－..圖3隱函數(shù)連續(xù)性示意圖小，使得在上處處連續(xù)．因此在連續(xù).由的任意性,便證得且當(dāng)時，有類似于前面(d)，由于隱函數(shù)惟一，故有最后再來證明y=f(x)可微性:使用微分中值定理,使得設(shè)則由條件易知F可微，并有顯然也是連續(xù)函數(shù)．因都是連續(xù)函數(shù),故時并有注1

定理1的條件(i)～(iii)既是充分條件,又是一組十分重要的條件.例如：在點雖不滿足條件(iv)，但仍能確定惟一的隱函數(shù)②(雙紐線),在點同樣不滿足條件(iii);如圖4所示,在該點無論多么小的鄰域內(nèi),確實圖4雙紐線圖像用這個較強的條件，一那么是使用時便于檢驗，二那么是在后面的結(jié)論中它們還將起到實質(zhì)性的作用．注3必須注意,定理1是一個局部性的隱函數(shù)存在定理．例如從以上雙紐線圖形看出:除了(0,0),

三點以外,曲線上其余各點處都存在注

2

條件(iii)在證明中的作用只是用來保證在鄰域內(nèi)關(guān)于為嚴格單調(diào)．之所以采不能確定惟一的隱函數(shù).局部隱函數(shù).注4在方程中,與的地位是平等的.當(dāng)條件(iii)改為(其它條件不變)

時，將存在局部的連續(xù)隱函數(shù)例1

試討論雙紐線方程所能確定的隱函數(shù)

圖4雙紐線圖像解令它有連續(xù)的求解分別得到所以，除這三點外，曲線上在其他圖4雙紐線圖像在其他所有點處都存在局部的可微隱函數(shù)所有點處都存在局部的可微隱函數(shù)同理，除這五點外，曲線上二、多變量情形定理2設(shè)函數(shù)F(x1,x2,…,xn

;y)滿足以下條件(ii)(初始條件)；那么有如下結(jié)論成立：(i)

在區(qū)域(iii)

(i)

上具有對一切變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).F(x1,x2,…,xn

;y)=0惟一確定一個函數(shù)且(ii)y=f(x1,x2,…,xn

)在Δ內(nèi)連續(xù)；y=f(x1,x2,…,xn

)(iii)

y=f(x1,x2,…,xn

)在Δ內(nèi)對各變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且設(shè)有一組方程那么稱由(1)確定了隱函數(shù)組之對應(yīng),能使其中定義在若存在使得對于任給的有惟一的三、方程組情形并有關(guān)于隱函數(shù)組的一般情形(含有m+n個變量的m個方程所確定的n

個隱函數(shù))，與此同理.定理

3

(隱函數(shù)組定理)設(shè)方程組(1)中的函數(shù)F與G滿足以下條件：(i)

在以點為內(nèi)點的某區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；(ii)(初始條件);

(iii)那么有如下結(jié)論成立：(i)在P0點的某一鄰域Δ

內(nèi)，方程F=0;G=0

確定惟一一組隱函數(shù)它們被定義在(x0,y0)的某個鄰域U

內(nèi)，且滿足及(ii)在U內(nèi)連續(xù)；且有本定理的詳細證明從略，下面只作一粗略的解釋:在內(nèi)存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，(iii)①由方程組(1)的第一式確定隱函數(shù)②將代入方程組(1)的第二式,得③再由此方程確定隱函數(shù)并代回至這樣就得到了一組隱函數(shù)通過詳細計算,又可得出如下一些結(jié)果:例2

設(shè)有方程組試討論在點的近旁能確定怎樣的隱函數(shù)組？并計算各隱函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù).解

易知點滿足以上方程組.設(shè)它們在上有連續(xù)的各階偏導(dǎo)數(shù).再考察在點關(guān)于所有變量的雅可比矩陣由于因此由隱函數(shù)組定理可知,在點近旁可以惟一地確定隱函數(shù)組:但不能肯定y,z可否作為x的兩個隱函數(shù).運用定理3的結(jié)論,可求得隱函數(shù)在點P0處的導(dǎo)數(shù)值:*注

通過進一步計算,還能求得這說明處取極大值,從而知道在點的任意小鄰域內(nèi),對每一個x的值,會有多個y的值與之對應(yīng).類似地,對每一個x的值,也會有多個z的值與之對應(yīng).所以設(shè)設(shè)方程組在點近旁不能惟一確定以x

作為自變量的隱函數(shù)組.*例3

設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),是由方程組所確定的隱函數(shù)組.試求

解

設(shè)則有由此計算所需之雅可比行列式:于是求得注

計算隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù))比較繁瑣,要學(xué)懂前兩例所