步步高導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1配套練習(xí)323空間向量與空間角(含答案詳析)

第3課時(shí)空間向量與空間角一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°，則直線l與平面α所成的角等于()A．30°B．60°C．150°D．以上均錯(cuò)2．直線l1，l2的方向向量分別是v1，v2，若v1與v2所成的角為θ，直線l1，l2所成的角為α，則()A．α＝θB．α＝π－θC．cosθ＝|cosα|D．cosα＝|cosθ|→3，1，2，平面α的一個(gè)法向量n＝0，－1，－2，3．已知A∈α，P?α，PA＝－222則直線PA與平面α所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．150°4．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，則AB1與C1B所成角的大小為()A．60°B．90°C．105°D．75°5.在正周圍體ABCD中，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成角的余弦值為()11A.3B.226C.3D.36．若兩個(gè)平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是________．7．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于

AB.已知

AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，則該二面角的大小為_(kāi)_______．π

→→8．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝3，則cos〈OA，BC〉的值為_(kāi)_______．二、能力提升9.如圖，在三棱錐V—ABC中，極點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極點(diǎn)A、B、V分別在x、y、z軸上，D是線段AB的中點(diǎn)，π且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.當(dāng)θ＝3時(shí)，求異面直線

AC

與VD所成角的余弦值．10.如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上，∠PDA＝60°.求DP與CC′所成角的大??；求DP與平面AA′D′D所成角的大?。?1.如圖，四棱錐F—ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC＝2，BD＝2.CF與平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大?。?、研究與拓展12.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)．求證：FH∥平面EDB；求證：AC⊥平面EDB；求二面角B－DE－C的大?。鸢?．B2.D3.C4.B5.C6．60°7.60°8．09．解由于AC＝BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．π當(dāng)θ＝時(shí)，在Rt△VCD中，CD＝2，3故V(0,0，6)．→→所以AC＝(－2,0,0)，VD＝(1,1，－6)．→→→→所以cos〈AC，VD〉＝AC·VD→→|AC||VD|－22＝＝－2·224.AC與VD所成角的余弦值為2所以異面直線4.10.解如圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.→→則DA＝(1,0,0)，CC′＝(0,0,1)．連接BD，B′D′.→，在平面BB′D′D中，延長(zhǎng)DP交B′D′于H.設(shè)DH＝(m，m,1)(m>0)→→由已知〈DH，DA〉＝60°，→→→→→→由DA·DH＝|DA||DH|cos〈DH，DA〉，可得2m＝2m2＋1.2→22解得m＝2，所以DH＝2，2，1.→→(1)由于cos〈DH，CC′〉2×0＋2×0＋1×1222＝1×2＝2，→→所以〈DH，CC′〉＝45°，即DP與CC′所成的角為45°.(2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是→．DC＝(0,1,0)→→由于cos〈DH，DC〉2×0＋2×1＋1×0122＝1×2＝2，→→所以〈DH，DC〉＝60°.可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.11.解過(guò)點(diǎn)A作AE⊥平面ABCD.→→→以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD、AC、AE方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．于是B2，D2，－2，1，02，1，0F(0,2,2)．設(shè)平面ABF的法向量n1＝(x，y，z)，1→＝0，－2n·AB2x＋y＝0，則由得→＝0，2y＋2z＝0.n1·AFx＝－2，令z＝1，得y＝－1.所以n1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF的法向量n2＝(2，－1,1)．由n1·n2＝0知，平面ABF與平面ADF垂直，π所以二面角B—AF—D的大小等于2.12．(1)證明∵四邊形ABCD為正方形，AB⊥BC.又EF∥AB，EF⊥BC.又EF⊥FB，EF⊥平面BFC.EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)H⊥BC.∴FH⊥平面ABC.→→以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HB為x軸正方向，HF為z軸正方向，建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BH＝1，則A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(xiàn)(0,0,1)．設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G，連接GE，GH，則G(0，－1,0)，→→，∴GE＝(0,0,1)．又HF＝(0,0,1)→→∴HF∥GE.又GE?平面EDB，HF?平面EDB，F(xiàn)H∥平面EBD.(2)證明→→→→AC＝(－2,2,0)，GE＝(0,0,1)，AC·GE＝0，AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解→→＝(－2，－2,0)．設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(1，y1，BE＝(－1，－1,1)，BD→→z1)，則BE·n1＝－1－y1＋z1＝0，BD·n1＝－2－2y1＝0，y1＝－1，z1＝0，即n1＝(1，－1,0)．→→，－1,1)．CD＝(0，－2,0)，