基本不等式-完整版教學(xué)設(shè)計(jì)

基本不等式：（一）教學(xué)內(nèi)容分析不等關(guān)系與相等關(guān)系都是客觀事物的基本數(shù)量關(guān)系，是數(shù)學(xué)研究的重要內(nèi)容，建立不等觀念，處理不等關(guān)系與處理等量問(wèn)題同樣重要。本章通過(guò)對(duì)不等式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中普遍存在，進(jìn)而理解不等關(guān)系的重要性。兩個(gè)基本不等式是證明不等式、求某些函數(shù)的最大值及最小值的理論依據(jù)，它們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用廣泛。本單元內(nèi)容分為3個(gè)課時(shí)，第一課時(shí)學(xué)習(xí)兩個(gè)基本不等式，第二課時(shí)學(xué)習(xí)它們的簡(jiǎn)單應(yīng)用，第三課時(shí)學(xué)習(xí)它們的靈活實(shí)際應(yīng)用。二、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能探究基本不等式的證明過(guò)程，初步理解基本不等式2．過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)基本不等式的不同角度的探究，滲透數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，形成積極探索的學(xué)習(xí)風(fēng)氣．三、教學(xué)重點(diǎn)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，從不同角度探索不等式的證明教學(xué)難點(diǎn)對(duì)基本不等式的探究四、教學(xué)方法與手段啟發(fā)學(xué)生探究，多媒體輔助教學(xué)五、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境：如圖1是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表著中國(guó)人民的熱情好客．你能在這個(gè)圖中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，為問(wèn)題的引出做鋪墊（二）新知探究：圖1將風(fēng)車抽象成圖2設(shè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)為a、b,那么正方形的邊長(zhǎng)為.這樣,4個(gè)直角三角形的面積和為2ab,正方形面積為.由于4個(gè)直角三角形的面積和小于正方形ABCD的 面積，我們就得到了一個(gè)不等式當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?圖2即時(shí),正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn),這時(shí)有此時(shí)，a、b代表正方形的邊長(zhǎng)，顯然是正數(shù)，如果我們推廣到一般情況，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a、b，上述不等式還成立嗎？設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)重要不等式的過(guò)程，同時(shí)體會(huì)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法[問(wèn)題1]：你能給出它的證明嗎?所以，即設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)作差法證明不等式，溫故而知新重要不等式:一般地,對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b,我們有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立你能將不等式中的二次降為一次嗎？此時(shí)a、b應(yīng)滿足什么條件呢？得到：（a>0,b>0），通常我們將它寫作２．基本不等式：[問(wèn)題2]：你還能用其它方法推導(dǎo)不等式嗎？要證：，①只要證：②要證②，只要證③要證③，只要證④顯然，④是成立的．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，④中的等號(hào)成立設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上體會(huì)分析法的證明思路，加大基本不等式的探究力度[問(wèn)題3]：上述兩個(gè)不等式的區(qū)別與聯(lián)系是什么？聯(lián)系：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立區(qū)別：設(shè)計(jì)意圖：從背景、結(jié)構(gòu)、成立的條件方面比較異同，此處旨在讓學(xué)生對(duì)兩個(gè)不等式加以區(qū)別，并明確基本不等式的結(jié)構(gòu)、成立的條件，以及兩者之間的代換關(guān)系。3．算術(shù)平均數(shù)：我們常把叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)：把叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)文字?jǐn)⑹觯簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)前面我們從“數(shù)”的角度給基本不等式作出了嚴(yán)格的證明，下面我們能否再?gòu)摹靶巍钡慕嵌冉o基本不等式作出合理的幾何解釋呢？設(shè)計(jì)意圖：旨在讓學(xué)生體會(huì)由形到數(shù)，又由數(shù)回到形的過(guò)程，通過(guò)兩個(gè)角度的反復(fù)印證，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)思考：（1）在直角三角形ADB中，我們用線段AC,CB分別表示,你能找出表示和的線段嗎？那么基本不等式又說(shuō)明了什么幾何事實(shí)呢？結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高（2）如果把上述直角三角形放到圓中，你能在圓中找出表示和的線段嗎？給出Rt△ABD，由于△ACD∽△BCD,因而，由于小于OD，OD為圓的半徑，長(zhǎng)為，用不等式表示為．顯然，上述不等式當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Ｃ與圓心重合，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立結(jié)論：半弦不大于半徑（此處通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，從圖的角度再次明確和強(qiáng)調(diào)基本不等式等號(hào)成立的條件。）（3）前面，我們剛剛學(xué)習(xí)了數(shù)列，和在數(shù)列中代表什么？結(jié)論：從數(shù)列的角度看,基本不等式說(shuō)明兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。設(shè)計(jì)意圖：從不同角度探究基本不等式的幾何解釋，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)形與數(shù)不是一對(duì)一的，對(duì)于一個(gè)代數(shù)表達(dá)式，也可以從不同的“形”去理解和解釋[問(wèn)題4]：你能將基本不等式進(jìn)行其它的變形嗎？(1)(2)(3)設(shè)計(jì)意圖：再次從結(jié)構(gòu)上理解基本不等式，同時(shí)強(qiáng)調(diào)不等式中的a,b可以用任何的大于零的數(shù)或者代數(shù)式去代換例１：已知x>0,求證：注：例題講解后提問(wèn)學(xué)生思考：若條件改為x>0且，則結(jié)論是否發(fā)生變化？設(shè)計(jì)意圖：旨在強(qiáng)調(diào)“基本不等式”的使用條件：一正、二定、三相等。鞏固練習(xí)：已知x,y都是正數(shù)，（1）求證：（2）不等式中“=”何時(shí)成立？