三角函數(shù)對偶式求值

三角函數(shù)對偶式求值三角函數(shù)對偶式求值三角函數(shù)對偶式求值V:1.0精細(xì)整理，僅供參考三角函數(shù)對偶式求值日期：20xx年X月對偶式求值1類似例一、已知cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=，則cos（α﹣β）=．分析：對已知條件cosα﹣cosβ=，sinα﹣sinβ=兩邊平方再相加即可得到答案．解答：解：∵（cosα﹣cosβ）2=，（sinα﹣sinβ）2=．兩式相加，得2﹣2cos（α﹣β）=．∴cos（α﹣β）=．故答案為：點評：本題主要考查兩角和與差的余弦公式．例二、已知，，則tanαtanβ=．分析：利用兩角和與差的余弦函數(shù)展開，求出cosαcosβ=，sinαsinβ=，然后求出tanαtanβ的值．解答：解：∵cos（=，∴cosαcosβ+sinαsinβ=，①∵cos（α+β）=，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，②從①②兩式中解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，兩式相除得∴tanαtanβ=．故答案為：．點評：本題主要考查兩角和與差的余弦函數(shù)、同角公式等，應(yīng)用公式要抓住公式結(jié)構(gòu)特征，掌握運算、化簡的方法和技能．好題、若，則sinβcosα的取值范圍是[﹣]．分析：由sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosα，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosα，sin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]，知﹣1+sinβcosα≤1，由此能導(dǎo)出sinβcosα．解答：解：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=+sinβcosαsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣sinβcosαsin（α+β）sin（α﹣β）∈[﹣1，1]﹣1+sinβcosα≤1﹣≤sinβcosα，﹣1﹣sinβcosα≤1﹣sinβcosα，sinβcosα，所以sinβcosα．故答案為：[﹣]．點評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)的恒等變換．好題、已知sinαcosβ=，則cosαsinβ的取值范圍是[﹣，]．分析：可設(shè)所求cosαsinβ=x，與已知的等式sinαcosβ=相乘，利用二倍角的正弦函數(shù)公式的逆運算化簡為sin2α?sin2β=2x后，根據(jù)三角函數(shù)的值域的范圍得到關(guān)于x的不等式，求出解集即可得到cosαsinβ的范圍

解答：解：設(shè)x=cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ=x，即sin2α?sin2β=2x．

由|sin2α?sin2β|≤1，得|2x|≤1，∴﹣≤x≤．故答案為：[﹣，]．點評：考查學(xué)生靈活運用二倍角的三角函數(shù)公式化簡求值，會根據(jù)三角函數(shù)的值域范圍列出不等式．本題的突破點就是根據(jù)值域列不等式．對偶式求值2練習(xí)（1）已知銳角α、β、γ滿足sinα+sinγ=sinβ,cosα-cosγ=cosβ,求α-β的值.解:∵sinα-sinβ=-sinγ,①cosα-cosβ=cosγ,②①2+②2得cos(α-β)=,∵sinβ-sinα=sinγ＞0,∴sinβ＞sinα.∴α＜β.∴-＜α-β＜0.∴α-β=-.類似練習(xí)1已知α、β、γ∈(0,),sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,求β-α的值.解：由已知,得sinγ=sinβ-sinα,cosγ=cosα-cosβ.平方相加得(sinβ-sinα)2+(cosα-cosβ)2=1.∴-2cos(β-α)=-1.∴cos(β-α)=.∴β-α=±.∵sinγ=sinβ-sinα＞0,∴β＞α.∴β-α=.類似練習(xí)1、已知α，β，γ∈（0，），且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，則α﹣β的值等于（）分析：把已知的兩等式分別移項，使關(guān)于γ的三角函數(shù)移項到等式右邊，根據(jù)α，β，γ的范圍得到β大于α，然后把化簡后的兩等式兩邊分別平方后，相加并利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角差的余弦函數(shù)公式化簡后，得到cos（α﹣β）的值，根據(jù)α與β的范圍及β大于α，得到α﹣β小于0，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出α﹣β的值．解答：解：sinβ﹣sinα=sinγ＞0，cosα﹣cosβ=cosγ＞0，則（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2=1，且β＞α，即cos（α﹣β）=（0＜α＜β＜），則α﹣β=﹣．點評：此題考查學(xué)生靈活運用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角差的余弦函數(shù)公式化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生做題時應(yīng)根據(jù)已知條件判斷出β＞α，進(jìn)而得到α﹣β的值為負(fù)數(shù)．類似練習(xí)1、已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β﹣α的值．分析：由已知首先消去γ的正余函數(shù)，再利用和差化積公式進(jìn)一步化簡，求出β﹣α．解答：解：由已知，得sinγ=sinβ﹣sinα，cosγ=cosα﹣cosβ．平方相加得（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2=1．∴﹣2cos（β﹣α）=﹣1．∴cos（β﹣α）=．∴β﹣α=±．∵sinγ=sinβ﹣sinα＞0，∴β＞α．∴β﹣α=．點評：本題極易求出β﹣α=±，如不注意隱含條件sinγ＞0，則產(chǎn)生增根．因此求值問題要注意分析隱含條件．對偶式求值3好題；（2004?湖北）已知6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0，，求的值．分析：先對6sin2α+sinαcosα﹣2cos2α=0進(jìn)行因式分解得到sinα、cosα的關(guān)系，再根據(jù)α的范圍求出tanα的值，將用兩角和與差的正弦公式展開后再利用二倍角公式整理，將tanα的值代入和得到最后答案．解答：解：由已知得：（3sinα+2cosα）（2sinα﹣cosα）=0?3sinα+2cosα=0或2sinα﹣cosα=0由已知條件可知cosα≠0，所以α≠，即．于是tanα＜0，∴tanα=﹣．===將tanα=﹣代入上式得=﹣．即為所求．點評：本小題考三角函數(shù)的基本公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎(chǔ)知識和基本運算技能．練習(xí)（2）、若sinαcosβ=，求cosαsinβ的取值范圍．分析：本題考查的知識點是三角函數(shù)的定義，及倍角公式，由sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，結(jié)合正弦函數(shù)的值域為[﹣1，1]，解不等式組即可得到cosαsinβ的取值范圍．解答：解：∵sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，∴﹣1≤+cosαsinβ≤1即﹣≤cosαsinβ≤∵sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，∴﹣1≤﹣cosαsinβ≤1即﹣≤cosαsinβ≤∴﹣≤cosαsinβ≤∴cosαsinβ的取值范圍為[﹣，]．點評：觀察題目中已知與未知的量，并根據(jù)它們的關(guān)系選擇計算sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β）=+cosαsinβ，sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）=﹣cosαsinβ，是解決本題的關(guān)鍵，要求大家熟練掌握三角函數(shù)的相關(guān)公式．對偶式求值4好題、（理）若，，則=或．．分析：通過已知條件求出cos（α﹣β），cos（α+β）推出tαn（α+β），利用二倍角公式求出的值．解答：解：①，②，①2+②2得sin2α+sin2β+cos2α+cos2β+2sinαsinβ+2cosαcosβ=，即2+2cos（α﹣β）=，∴cos（α﹣β）=﹣1=﹣，①2﹣②2得﹣sin2α﹣sin2β+cos2α+cos2β﹣2sinαsinβ+2cosαcosβ=，即cos2α+cos2β+2cos（α+β）=，和差化積公式cos2α+