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2019蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章1.31.3.3第2課時函數(shù)y=Asin(ω2019蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章1.31.3.3第2課時函數(shù)y=Asin(ω11/11蒁PAGE11肈葿裊莃膃肅薁蕿蒈薇2019蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章1.31.3.3第2課時函數(shù)y=Asin(ω2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及答案
第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象
與性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標核心涵養(yǎng)(教師獨具)
式.(重點、易錯點)經(jīng)過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的直觀
2.掌握y=Asin(ωx+φ)的圖象和性想象和數(shù)學(xué)運算的核心涵養(yǎng).
質(zhì).(重點)
y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì)以下:
定義域R值域[-A,A]周期性2πT=ωφ=π,∈πZ時是奇函數(shù);φ=+kπ,k∈Z時是偶函數(shù);當φ≠kπkk22奇偶性(k∈Z)時是非奇非偶函數(shù)ππ單調(diào)增區(qū)間可由-2+2kπ≤ωx+φ≤2+2kπ,k∈Z獲取,單調(diào)減區(qū)單調(diào)性π3π間可由2+2kπ≤ωx+φ≤2+2kπ,k∈Z獲取
1ππ1.最大值為2,周期為3,初相為4的函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)剖析式可以為________.1π12πππy=2sin6x+4[由題意可知A=2,ω=3,∴ω=6,又φ=4,故其剖析式1π可以為y=2sin6x+4.]-1-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及答案
ππ2.已知f(x)=Asinωx+3(A>0,ω>0)在一個周期內(nèi),當x=12時,獲取最7π大值2;當x=12時,獲取最小值-2,則f(x)=.2sin2x+π[由題意可知,A=2,又T=7πππ3-12=,21222π∴T=π,∴ω=π=2,
πf(x)=2sin2x+3.]
由圖象求三角函數(shù)的剖析式
π【例1】如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<2的圖象,求A,ω,φ的值,并確定其函數(shù)剖析式.
思路點撥:觀察圖象可知A=3,關(guān)于ω,φ可由一個周期內(nèi)的圖象確定.
[解]法一:(逐必然參法)
5ππ由圖象知振幅A=3,又T=6--6=π,
2π∴ω=T=2.
ππ由點-6,0,得-6×2+φ=0,
ππ得φ=3,∴y=3sin2x+3.
法二:(待定系數(shù)法)
-2-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及答案
π和5π以上兩點=,又圖象過點,0,0,依照五點作圖法原理(由圖象知A336πω=2,3·ω+φ=π,可判為“五點法”中的第三點和第五點),有解得π5π6·ω+φ=2π,φ=3,πy=3sin2x+3.
若設(shè)所求剖析式為y=Asinωx+φ,則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上,可按以下規(guī)律來確定A,ω,φ.
1由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.
2π2由函數(shù)圖象與x軸的交點確定T,由T=|ω|,確定ω.
3確定函數(shù)y=Asinωx+φ的初相φ的值的兩種方法①代入法:把圖象上的一個已知點代入此時A,ω已知或代入圖象與x軸的
交點求解此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上.
φ②五點對應(yīng)法:確定φ值時,經(jīng)常以搜尋“五點法”中的第一個零點-ω,0
作為打破口.“五點”的ωx+φ的值詳盡以下:
“第一點”即圖象上升時與x軸的交點為ωx+φ=0;
π“第二點”即圖象的“峰點”為ωx+φ=2;
“第三點”即圖象下降時與x軸的交點為ωx+φ=π;
3π“第四點”即圖象的“谷點”為ωx+φ=2;
“第五點”為ωx+φ=2π.
③圖象變換法:運用逆向思想的方法,先確定函數(shù)的基本剖析式y(tǒng)=Asinωx,再依照圖象平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù).
已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象,以下列圖,求該函數(shù)的一個剖析式.
-3-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及答案
[解]法一:(最值點法)由圖象知函數(shù)的最大值為3,最小值為-3,又A>0,∴A=3.5πππ2π由圖象知T=6-=,∴T=π=,∴ω=2.232ω1π5π7π7π又23+6=12,∴圖象上的最高點為12,3,7π7π7πππ∴3=3sin2×12+φ,即sin26+φ=1,則6+φ=2+2kπ,φ=-3+2kπ,2π可取φ=-3,2π∴函數(shù)的一個剖析式為y=3sin2x-3.
法二:五點對接法由圖象知=,又圖象過點π,5π)(A336作圖法原理(以上兩點可判斷為五點作圖法中的第一點與第三點)得πω=2,3·ω+φ=0,∴函數(shù)的一個剖析式為y=3sin2x-2π5π解得2π3.6·ω+φ=π,φ=-3.T5πππ法三:(圖象變換法)由圖可知A=3,2=6-3=2,2π∴T=π=ω,∴ω=2.
π∴該函數(shù)的圖象可由y=3sin2x的圖象向右平移3個單位長度獲取,
π∴所求函數(shù)的一個剖析式為y=3sin2x-3,
2π即y=3sin2x-3.
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì)
[研究問題]
1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的奇偶性與哪個量相關(guān)?當其取何值時
-4-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及答案
為偶函數(shù)?當其取何值時為奇函數(shù)?
π提示:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的奇偶性與參數(shù)φ相關(guān),當φ=2+kπ,
k∈Z時,其為偶函數(shù),當φ=kπ,k∈Z時,其為奇函數(shù).
2.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的對稱軸方程如何表示,對稱中心呢?
π提示:由ωx+φ=2+kπ,k∈Z,求對稱軸方程,由ωx+φ=kπ,k∈Z,求對
稱中心.
3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,相鄰對稱軸之間相差多少個周期?
相鄰零點呢?提示:均相差半個周期.ππ【例2】已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<2的圖象過點P12,0,π圖象上與P點近來的一個最高點的坐標為3,5.求函數(shù)剖析式.思路點撥:由圖象過π和離近來的最高點π可求、ω,由πP,0P,5,5123A3π是最高點及|φ|<2可求得φ的值.
π[解](1)∵圖象最高點的坐標為3,5,
A=5.
Tπππ∵4=3-12=4,∴T=π,
2π∴ω=T=2,∴y=5sin(2x+φ).
π2π代入點3,5,得sin3+φ=1,2ππ∴3+φ=2kπ+2,k∈Z.
-5-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及答案
π∴φ=-6+2kπ,k∈Z,
ππ又∵|φ|<2,∴k=0,則φ=-6,
πy=5sin2x-6.
1.(變結(jié)論)本例條件不變,指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
πππ[解]∵函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間滿足2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z),
π2π∴2kπ-3≤2x≤2kπ+3(k∈Z),
ππ∴kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z).
ππ∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為kπ-6,kπ+3(k∈Z).
2.(變結(jié)論)本例條件不變,求使y≤0的x的取值范圍.
π[解]∵5sin2x-6≤0,
π∴2kπ-π≤2x-6≤2kπ(k∈Z),
5ππ∴kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z).5ππ故所求x的取值范圍是kπ-12,kπ+12(k∈Z).
相關(guān)函數(shù)y=Asinωx+φ的性質(zhì)的問題,要充分利用正弦曲線的性質(zhì),要特別注意整體代換思想.
提示:熟知y=Asinωx+φ的圖象和性質(zhì)是解決y=Asinωx+φ類綜合題的關(guān)
鍵.
教師獨具
1.由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象確定剖析式重點在于確定參數(shù)A,ω,φ
的值.
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(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|.
2π(2)因為T=ω,所過去往經(jīng)過求周期T來確定ω,可經(jīng)過已知曲線與x軸的交
T點從而確定T,即相鄰的最高點與最低點之間的水平距離為2;相鄰的兩個最高點
(或最低點)之間的水平距離為T.
φ(3)從搜尋“五點法”中的第一個零點-ω,0(也叫初始點)作為打破口,以y
Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)為例,位于單調(diào)遞加區(qū)間上離y軸近來的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點.
2.在研究y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性質(zhì)時,注意采用整體代換的思想.例
π3π如,它在ωx+φ=2+2kπ(k∈Z)時獲取最大值,在ωx+φ=2+2kπ(k∈Z)時獲取最
小值.
π1.已知函數(shù)f(x)=sinωx+3(ω>0)的最小正周期為π,則該函數(shù)圖象()A.關(guān)于點π對稱π,0B.關(guān)于直線x=對稱34C.關(guān)于點π對稱π,0D.關(guān)于直線x=對稱432ππA[由T=ω=π,解得ω=2,則f(x)=sin2x+3,則該函數(shù)圖象關(guān)于點π對稱.],03
π2.如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)|φ|<2的圖象的一部分,那么ω=________,φ
=.
11π[∵點0,11662在函數(shù)圖象上,∴sinφ=.2πππ又∵|φ|<2,∴φ=6,∴y=sinωx+6.
-7-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義:第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及答案
π又∵點(π,0)在y=sinωx+6上,且該點是“五點”中的第五個點,
ππ11∴sinπω+6=0,∴πω+6=2π,∴ω=6.]3.函數(shù)y=+π的圖象的一條對稱軸方程是________.sin2x4πππkππx=8(答案不唯一)[由2x+4=kπ+2(k∈Z),得x=2+8(k∈Z),令k=0,π得x=8.]
π4.已知曲線y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一個最高點的坐標為8,2,
3ππ此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點8π,0,若φ∈-2,2.(1)試求這條曲線的函數(shù)表達式;
(2)用“五點法”畫出(1)中函數(shù)在[0,π]上的圖象.
[解](1)由題意知A=2,
3πT=4×8π-8=π,
2πω=T=2,∴y
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