2019蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義第1章13133第2課時函數(shù)y=Asinω

2019蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章1.31.3.3第2課時函數(shù)y=Asin(ω2019蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章1.31.3.3第2課時函數(shù)y=Asin(ω11/11蒁PAGE11肈葿裊莃膃肅薁蕿蒈薇2019蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章1.31.3.3第2課時函數(shù)y=Asin(ω2019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)及答案

第2課時函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象

與性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標核心涵養(yǎng)(教師獨具)

式．(重點、易錯點)經(jīng)過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容提升學(xué)生的直觀

2.掌握y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性想象和數(shù)學(xué)運算的核心涵養(yǎng).

質(zhì)．(重點)

y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)以下：

定義域R值域[－A，A]周期性2πT＝ωφ＝π，∈πZ時是奇函數(shù)；φ＝＋kπ，k∈Z時是偶函數(shù)；當φ≠kπkk22奇偶性(k∈Z)時是非奇非偶函數(shù)ππ單調(diào)增區(qū)間可由－2＋2kπ≤ωx＋φ≤2＋2kπ，k∈Z獲取，單調(diào)減區(qū)單調(diào)性π3π間可由2＋2kπ≤ωx＋φ≤2＋2kπ，k∈Z獲取

1ππ1．最大值為2，周期為3，初相為4的函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)剖析式可以為________．1π12πππy＝2sin6x＋4[由題意可知A＝2，ω＝3，∴ω＝6，又φ＝4，故其剖析式1π可以為y＝2sin6x＋4.]-1-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)及答案

ππ2．已知f(x)＝Asinωx＋3(A＞0，ω＞0)在一個周期內(nèi)，當x＝12時，獲取最7π大值2；當x＝12時，獲取最小值－2，則f(x)＝.2sin2x＋π[由題意可知，A＝2，又T＝7πππ3－12＝，21222π∴T＝π，∴ω＝π＝2，

πf(x)＝2sin2x＋3.]

由圖象求三角函數(shù)的剖析式

π【例1】如圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2的圖象，求A，ω，φ的值，并確定其函數(shù)剖析式．

思路點撥：觀察圖象可知A＝3，關(guān)于ω，φ可由一個周期內(nèi)的圖象確定．

[解]法一：(逐必然參法)

5ππ由圖象知振幅A＝3，又T＝6－－6＝π，

2π∴ω＝T＝2.

ππ由點－6，0，得－6×2＋φ＝0，

ππ得φ＝3，∴y＝3sin2x＋3.

法二：(待定系數(shù)法)

-2-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)及答案

π和5π以上兩點＝，又圖象過點，0，0，依照五點作圖法原理(由圖象知A336πω＝2，3·ω＋φ＝π，可判為“五點法”中的第三點和第五點)，有解得π5π6·ω＋φ＝2π，φ＝3，πy＝3sin2x＋3.

若設(shè)所求剖析式為y＝Asinωx＋φ，則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，可按以下規(guī)律來確定A，ω，φ.

1由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.

2π2由函數(shù)圖象與x軸的交點確定T，由T＝|ω|，確定ω.

3確定函數(shù)y＝Asinωx＋φ的初相φ的值的兩種方法①代入法：把圖象上的一個已知點代入此時A，ω已知或代入圖象與x軸的

交點求解此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上.

φ②五點對應(yīng)法：確定φ值時，經(jīng)常以搜尋“五點法”中的第一個零點－ω，0

作為打破口.“五點”的ωx＋φ的值詳盡以下：

“第一點”即圖象上升時與x軸的交點為ωx＋φ＝0；

π“第二點”即圖象的“峰點”為ωx＋φ＝2；

“第三點”即圖象下降時與x軸的交點為ωx＋φ＝π；

3π“第四點”即圖象的“谷點”為ωx＋φ＝2；

“第五點”為ωx＋φ＝2π.

③圖象變換法：運用逆向思想的方法，先確定函數(shù)的基本剖析式y(tǒng)＝Asinωx，再依照圖象平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù).

已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一個周期內(nèi)的函數(shù)圖象，以下列圖，求該函數(shù)的一個剖析式．

-3-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)及答案

[解]法一：(最值點法)由圖象知函數(shù)的最大值為3，最小值為－3，又A>0，∴A＝3.5πππ2π由圖象知T＝6－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.232ω1π5π7π7π又23＋6＝12，∴圖象上的最高點為12，3，7π7π7πππ∴3＝3sin2×12＋φ，即sin26＋φ＝1，則6＋φ＝2＋2kπ，φ＝－3＋2kπ，2π可取φ＝－3，2π∴函數(shù)的一個剖析式為y＝3sin2x－3.

法二：五點對接法由圖象知＝，又圖象過點π，5π)(A336作圖法原理(以上兩點可判斷為五點作圖法中的第一點與第三點)得πω＝2，3·ω＋φ＝0，∴函數(shù)的一個剖析式為y＝3sin2x－2π5π解得2π3.6·ω＋φ＝π，φ＝－3.T5πππ法三：(圖象變換法)由圖可知A＝3，2＝6－3＝2，2π∴T＝π＝ω，∴ω＝2.

π∴該函數(shù)的圖象可由y＝3sin2x的圖象向右平移3個單位長度獲取，

π∴所求函數(shù)的一個剖析式為y＝3sin2x－3，

2π即y＝3sin2x－3.

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)

[研究問題]

1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性與哪個量相關(guān)？當其取何值時

-4-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)及答案

為偶函數(shù)？當其取何值時為奇函數(shù)？

π提示：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性與參數(shù)φ相關(guān)，當φ＝2＋kπ，

k∈Z時，其為偶函數(shù)，當φ＝kπ，k∈Z時，其為奇函數(shù)．

2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的對稱軸方程如何表示，對稱中心呢？

π提示：由ωx＋φ＝2＋kπ，k∈Z，求對稱軸方程，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求對

稱中心．

3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相鄰對稱軸之間相差多少個周期？

相鄰零點呢？提示：均相差半個周期．ππ【例2】已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2的圖象過點P12，0，π圖象上與P點近來的一個最高點的坐標為3，5.求函數(shù)剖析式．思路點撥：由圖象過π和離近來的最高點π可求、ω，由πP，0P，5，5123A3π是最高點及|φ|<2可求得φ的值．

π[解](1)∵圖象最高點的坐標為3，5，

A＝5.

Tπππ∵4＝3－12＝4，∴T＝π，

2π∴ω＝T＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．

π2π代入點3，5，得sin3＋φ＝1，2ππ∴3＋φ＝2kπ＋2，k∈Z.

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π∴φ＝－6＋2kπ，k∈Z，

ππ又∵|φ|<2，∴k＝0，則φ＝－6，

πy＝5sin2x－6.

1．(變結(jié)論)本例條件不變，指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．

πππ[解]∵函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間滿足2kπ－2≤2x－6≤2kπ＋2(k∈Z)，

π2π∴2kπ－3≤2x≤2kπ＋3(k∈Z)，

ππ∴kπ－6≤x≤kπ＋3(k∈Z)．

ππ∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為kπ－6，kπ＋3(k∈Z)．

2．(變結(jié)論)本例條件不變，求使y≤0的x的取值范圍．

π[解]∵5sin2x－6≤0，

π∴2kπ－π≤2x－6≤2kπ(k∈Z)，

5ππ∴kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)．5ππ故所求x的取值范圍是kπ－12，kπ＋12(k∈Z)．

相關(guān)函數(shù)y＝Asinωx＋φ的性質(zhì)的問題，要充分利用正弦曲線的性質(zhì)，要特別注意整體代換思想.

提示：熟知y＝Asinωx＋φ的圖象和性質(zhì)是解決y＝Asinωx＋φ類綜合題的關(guān)

鍵.

教師獨具

1．由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象確定剖析式重點在于確定參數(shù)A，ω，φ

的值．

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(1)一般可由圖象上的最大值、最小值來確定|A|.

2π(2)因為T＝ω，所過去往經(jīng)過求周期T來確定ω，可經(jīng)過已知曲線與x軸的交

T點從而確定T，即相鄰的最高點與最低點之間的水平距離為2；相鄰的兩個最高點

(或最低點)之間的水平距離為T.

φ(3)從搜尋“五點法”中的第一個零點－ω，0(也叫初始點)作為打破口，以y

Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)為例，位于單調(diào)遞加區(qū)間上離y軸近來的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點．

2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質(zhì)時，注意采用整體代換的思想．例

π3π如，它在ωx＋φ＝2＋2kπ(k∈Z)時獲取最大值，在ωx＋φ＝2＋2kπ(k∈Z)時獲取最

小值．

π1．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋3(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數(shù)圖象()A．關(guān)于點π對稱π，0B．關(guān)于直線x＝對稱34C．關(guān)于點π對稱π，0D．關(guān)于直線x＝對稱432ππA[由T＝ω＝π，解得ω＝2，則f(x)＝sin2x＋3，則該函數(shù)圖象關(guān)于點π對稱．]，03

π2．如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)|φ|<2的圖象的一部分，那么ω＝________，φ

＝.

11π[∵點0，11662在函數(shù)圖象上，∴sinφ＝.2πππ又∵|φ|<2，∴φ＝6，∴y＝sinωx＋6.

-7-/92019-2020年蘇教版數(shù)學(xué)必修四講義：第1章+1.3+1.3.3+第2課時函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象與性質(zhì)及答案

π又∵點(π，0)在y＝sinωx＋6上，且該點是“五點”中的第五個點，

ππ11∴sinπω＋6＝0，∴πω＋6＝2π，∴ω＝6.]3．函數(shù)y＝＋π的圖象的一條對稱軸方程是________．sin2x4πππkππx＝8(答案不唯一)[由2x＋4＝kπ＋2(k∈Z)，得x＝2＋8(k∈Z)，令k＝0，π得x＝8.]

π4．已知曲線y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一個最高點的坐標為8，2，

3ππ此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點8π，0，若φ∈－2，2.(1)試求這條曲線的函數(shù)表達式；

(2)用“五點法”畫出(1)中函數(shù)在[0，π]上的圖象．

[解](1)由題意知A＝2，

3πT＝4×8π－8＝π，

2πω＝T＝2，∴y