運(yùn)用待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式的步驟

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房靜

待定系數(shù)法是解答高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法.有些遞推式較為繁雜，直接利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式很難求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，此時(shí)可奇妙利用待定系數(shù)法，根據(jù)遞推式構(gòu)造出一個(gè)輔助數(shù)列，通過(guò)求輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式求得問(wèn)題的答案.而運(yùn)用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的步驟是：

1.引入待定系數(shù)，將遞推式表示成另一種含有待定系數(shù)的式子;

2.利用恒等式的性質(zhì)建立關(guān)于系數(shù)的方程或方程組;

3.解方程或方程組求得待定系數(shù)的值，構(gòu)造出輔助數(shù)列;

4.求得輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式;

5.由輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式得到數(shù)列的通項(xiàng)公式.利用待定系數(shù)構(gòu)造的輔助數(shù)列可以是差數(shù)列、等

比數(shù)列、常數(shù)列，或形如an+1-an=fn、=fn

的數(shù)列，這樣便可根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、累

加法、累乘法求得輔助數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例1.已知數(shù)列an中a1=1，an+1=3an+1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：由an+1=3an+1可設(shè)an+1+x=3an+x，即an+1=3an+2x，

則2x=1，即x=

，

所以an+1+

=3è（?）an+?（?），等比數(shù)列，

得an+

=è（?）a1+

?（?）?3n-1，

則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=

.

運(yùn)用待定系數(shù)法由形如an+1=Aan+B的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可首先根據(jù)遞推式引入待定系數(shù)x，設(shè)an+1+x=Aan+x，將其與遞推式中an+1、an的系數(shù)相對(duì)比，得A-1x=B，求得x的值，便可構(gòu)造輔助數(shù)列an+x，求得該數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

例2.已知數(shù)列an中，a1=-1，an+1=3an-2n+3，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)an+1+An+1+B=3an+An+B，∴an+1=3an+2An+2B-A，

將其與an+1=3an-2n+3比較，

∴數(shù)列an-n+1是首項(xiàng)為-2、公比為3的等比數(shù)列，

可得：an-n+1=-3n-1，

∴an=-3n-1+n-1.

對(duì)于形如an+1=pan+qn+C的遞推式，在用待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，可引入待定系數(shù)A、B，將遞推式設(shè)為an+1+An+1+B=pan+An+B，再將其變形，通過(guò)比較n的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)，建立關(guān)于A、B的方程組，求得A、B的值，構(gòu)造輔助數(shù)列an-An+B，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

例3.已知數(shù)列an中，a1=-1，且an+1=2an+4×3n-1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.

解：設(shè)an+1+α?3n+1=2an+α?3n，

∴an+1=2an-α?3n，

∵an+1=2an+4×3n-1，

∴α=-

∴數(shù)列an-?3n是首項(xiàng)為-5、公比為2的等比數(shù)列，

∴an-?3n=-5?2n-1，

即an=4?3n-1-5?2n-1.

運(yùn)用待定系數(shù)法由形如an+1=Aan+Bqn-1的遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，需引入待定系數(shù)x，設(shè)遞推式為an+1+x?qn+1=Aan+xqn-1，根據(jù)恒等式的性質(zhì)，建立關(guān)于x的方程，求得x的值，即可構(gòu)造輔助數(shù)列an+xqn-1.

可見(jiàn)，對(duì)于形如an+1=Aan+B、an+1=pan+qn+C、an+1=Aan+Bqn-1的遞推式，采用待定系數(shù)法來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)公式十分有效，能將繁雜的數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的，易于求解的數(shù)列通項(xiàng)