材料力學(xué)Ⅱ電子教案

第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究§4－2大柔度桿在小偏心距下的偏心壓縮計(jì)算§4－1幾種細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式§4－4其他彈性穩(wěn)定問題簡介§4－3縱橫彎曲1§4－1幾種細(xì)長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式Ⅰ.桿端彈性支承的細(xì)長壓桿第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究FcrBAlEIEIbEIaCD（a）圖a所示剛架，在臨界力Fcr作用下其撓曲線如圖中虛線所示。AB桿的A、B端的轉(zhuǎn)動分別受到AC、BD桿的彈性約束?？蓪?壓桿在圖c所示的微彎狀態(tài)下保持平衡。桿端的反力偶矩為（a）,式中，MA>0,MB>0,>0,<0。由平衡條件得桿端的水平支反力為(MB-MA)/l，其指向如圖c所示。第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究AB桿視為兩端均為彈性固定端的壓桿（圖b）。彈簧的剛度系數(shù)分別為kA

、kB

。（b）(c)3彎矩方程為撓曲線的近似微分方程為令，得(b)(c)(d)(d)式的通解為第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究4（e）利用位移邊界條件可以得出它將大于兩端鉸支壓桿的臨界力，而小于兩端固定壓桿的臨界力，即0.5<m<1。第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究。時，例如：，m=0.8。5例：求圖a所示剛架中AB桿的臨界力。FcrABlEIEIlC（a）dA’FcrABlx（b）dA'’MBww’xyFcr第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究

解：剛架在Fcr

作用下?lián)锨€如圖a中虛線所示。AB桿可視為A為自由端，B為彈性固定端的壓桿（圖b），B

端的反力偶矩由圖c得lCBMBθB（c）6(a)彎矩方程為(b)撓曲線的近似微分方程為(c)第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究lCBMBθB（c）7令，得（d）式的通解及其一階導(dǎo)數(shù)分別為由x=0,w=0,得（d）（f）（e）（g）第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究8

x=0,w′=θB，得將(g)、(h)式代入(e)式，得又由于故第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究（h）（i）9臨界力為化簡上式，得解此超越方程，得kl的最小正根為（j）由x=l,w=δ,得第四章壓桿穩(wěn)定問題的進(jìn)一步研究

壓桿的長度因數(shù)m=2.63>2,即該壓桿的臨界力小于一端自由，另一端固定的壓桿的臨界力。10Ⅱ.階梯狀細(xì)細(xì)長壓桿桿的臨界界力由于階梯梯狀壓桿桿各段的的EI不同，必必須分段段列撓曲曲線的近近似微分分方程，，這樣就就增加了了待定常常數(shù)的個個數(shù)，必必須綜合合利用位位移邊界界條件和和位移連連續(xù)條件件，才能能解得臨界力Fcr。第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究圖a所示壓桿桿，在圖圖b所示微彎彎狀態(tài)下下保持平平衡。由由于壓桿桿的受力、、約束、、桿長、、彎曲剛剛度均是是關(guān)于C截面為對對稱的，，所以11AD（0≤x≤≤l/4）段撓曲線線的近似似微分方方程為彎矩方程程為（a）（b）第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究撓曲線也也是關(guān)于于C截面為對對稱的。。故只需需對AD和DC段分別列列撓曲線線的近似似微分方方程。（c）令,（b）式成為12DC（l/4≤x≤≤l/2）段撓曲線線的近似似微分方方程為（d）令，，（d）式成為（e）第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究分別求解解（c）和（e）式，并利利用x=0,w1=0;x=l/4,w1=w2;;x=l/2,=0，可解得13可見，該該壓桿的的臨界力力比彎曲曲剛度為為EI的等截面壓桿桿的臨界力（）），增增大了68%，而壓桿桿材料僅僅僅增加加了50%。可見采用用變截面面壓桿較較為節(jié)省省材料。。這是因因?yàn)閴簵U桿兩端附近的彎彎矩較小小，中間間部分的的彎矩較較大，把把兩端附附近的部部分材料移到中中間部分分，壓桿桿不易變變彎，從從而增大大了臨界界力。第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究14第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究兩端鉸支支細(xì)長壓壓桿15§4－2大柔度桿桿在小偏偏心距下下的偏心心壓縮計(jì)計(jì)算圖示偏心心受壓桿桿的彎矩矩為▲當(dāng)Fw<<Fe時桿的最大大壓應(yīng)力力為這種桿稱稱為大剛度（（小柔度度）桿。（a））第四章章壓壓桿桿穩(wěn)定定問題題的進(jìn)進(jìn)一步步研究究M(x)≈Fe16▲當(dāng)Fw不能忽忽略時時，就就不能能利用用疊加加原理理，這這種桿桿稱為為小剛度（大大柔度度）桿桿。撓曲曲線的的近似似微分分方程程為（b））令，，得得通解為為（d））（e））第四章章壓壓桿桿穩(wěn)定定問題題的進(jìn)進(jìn)一步步研究究17x=l,w=0，將（f）式代入入(e)式，得得得（f））（g）由x=0,w=0，B=e（4-4）x=l/2時（4-5）第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究得18Ⅱ.若EIz非常大時時，→0，→→1，則式中，由(4-4)、(4-5)、(4-6)式可見：：Ⅰ.d、Mmax、scmax和F均不成線線性關(guān)系系（幾何非線線性）。。計(jì)算時時不能用用疊加原原理。d→0，第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究（4-6）19。即對彎彎曲剛度度很大的的壓桿，，當(dāng)其受偏心壓壓力作用用時，可可用疊加加原理進(jìn)進(jìn)行計(jì)算算。Ⅲ.設(shè)e=e1、e=e2、e=e3，且e1<e2<e3。由（i=1,2,3）可畫出一一組F-d曲線（如如圖）。。第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究(1)當(dāng)→∞時，d→∞。此時，，，若e≠0，由得，。。20隨e值減小，，F(xiàn)-d曲線逐逐漸靠靠近OF軸。e→0時，F(xiàn)-d曲線→OAB。d=0；d為任意意值。。第四章章壓壓桿桿穩(wěn)定定問題題的進(jìn)進(jìn)一步步研究究以為水平漸進(jìn)線。可見，e≠0時，F(xiàn)-δ曲線(2)時，時，21這是因因?yàn)橐砸陨鲜鞘怯镁€線彈性性公式進(jìn)進(jìn)行分分析的的。x=l/2的橫截截面上上的大大部分分區(qū)域域產(chǎn)生生塑性性變形形，而而發(fā)生生彎折折（圖中中虛線線）。。第四章章壓壓桿桿穩(wěn)定定問題題的進(jìn)進(jìn)一步步研究究Ⅳ.e≠0,時，d→∞∞。實(shí)際上上，當(dāng)當(dāng)d達(dá)到一一定值值時，，可把d→∞理解為為d迅速增增加，，力為實(shí)際際壓桿桿臨界界力的的上限限值。。22§4－3縱橫彎彎曲圖示大大柔度度桿的的彎矩矩方程程為可見，，M（x）是由橫向力q和縱向力力F共同產(chǎn)生生的，桿桿的（a）第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究Fql/2xFM(x)wq23（b）彎曲變形形也是由由q和F共同作用用而引起起的——縱橫彎曲曲。撓曲線線的近似似微分方方程為令，，（c）其通解為為（d）第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究（b）式成為24由x=0,w=0和x=l,w=0，求出A、B常數(shù)，代代入（d）式，并利用參參數(shù)u=kl/2，進(jìn)行化簡簡，得將x=l/2代入（e）式，并利利用k=2u/l化簡，得得（e）（4-7）令第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究，（4-7）式成為為25式中，為為由q產(chǎn)生的撓撓度，h(u)為F對d的影響。?？梢奷與q仍為線性性關(guān)系,d與F為非線性性關(guān)系。。在x=l/2處，彎矩矩最大，，其值為為（4-8））第四章壓壓桿穩(wěn)定定問題的進(jìn)進(jìn)一步研究究26Mmax和q成線性關(guān)系系，和F成非線性關(guān)關(guān)系。令式中，為為q產(chǎn)生的彎矩，，l(u)為F對彎矩的影響響。近似解:，得到第四章壓壓桿穩(wěn)定問題題的進(jìn)一步研研究影響系數(shù)h(u)和l(u)可查表（鐵摩辛辛柯彈性穩(wěn)定定中譯本，P561,表A-2）最大壓應(yīng)力為為27u→0（F→0）時u→p/2時，secu→∞,由（4-7）式得d→∞，桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)。第四章壓壓桿穩(wěn)定問題題的進(jìn)一步研研究當(dāng)時時,28級數(shù)所以因?yàn)樗砸驗(yàn)榈谒恼聣簤簵U穩(wěn)定問題題的進(jìn)一步研研究，，。29可見F不僅產(chǎn)生軸向向壓力，也使使彎曲正應(yīng)力力增加。第四四章章壓壓桿桿穩(wěn)穩(wěn)定定問問題題的的進(jìn)進(jìn)一一步步研研究究用能能量量方方法法，，也也可可求求得得近近似似解解[見杜杜慶慶華華編編材材料料力力學(xué)學(xué)（（下下））]。30§4－4其他他彈彈性性穩(wěn)穩(wěn)定定問問題題簡簡介介在分分析析壓壓桿桿的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性時時，，把把壓壓桿桿抽抽象成成為為中中心心受受壓壓直直桿桿，，壓壓桿桿只只有有軸軸向向壓壓縮變變形形，，為為了了檢檢驗(yàn)驗(yàn)壓壓桿桿直直線線狀狀態(tài)態(tài)下下的的平平衡是是否否是是穩(wěn)穩(wěn)定定平平衡衡，，必必須須加加橫橫向向干干擾擾力力。。實(shí)際際壓壓桿桿可可能能會會有有微微小小的的初初曲曲率率，，荷荷載載有可可能能有有偶偶然然偏偏心心以以及及材材質(zhì)質(zhì)不不均均勻勻等等因因素，，使使壓壓桿桿除除產(chǎn)產(chǎn)生生壓壓縮縮變變形形外外，，還還產(chǎn)產(chǎn)生生第四四章章壓壓桿桿穩(wěn)穩(wěn)定定問問題題的的進(jìn)進(jìn)一一步步研研究究31附加加的的彎彎曲曲變變形形。。為為了了便便于于分分析析，，把把以以上上產(chǎn)產(chǎn)生生彎彎曲曲變變形形的的諸諸因因素素統(tǒng)統(tǒng)一一用用微微小小偏偏心心距距e來表表示示，，把把壓壓桿桿的的計(jì)計(jì)算算模模型型取取為為如如圖圖所所示示的的偏心心壓壓縮縮。F較小小時時軸向向壓壓縮縮彎曲曲在§4－2曾得得到到，由由此此可可見見，，隨隨F增加d增加，但但d增加比F增加得快快。當(dāng)時時，，d迅速增加，壓壓桿喪失失工作能能力，該該力也是是第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究——主要變形形——次要變形形壓桿失穩(wěn)穩(wěn)時的臨臨界力。32是抽象的的概念，，其實(shí)質(zhì)質(zhì)是隨壓壓力的增增加，次次要變形（彎曲曲）轉(zhuǎn)化化為主要要變形，，壓力達(dá)達(dá)到臨界界值時，，彎曲變變形迅速增加，，壓桿喪喪失工作作能力。。按照這這種思路路也便于于理解其其它構(gòu)件的彈性性穩(wěn)定問問題。Ⅰ.狹長矩形形截面梁梁的彈性性穩(wěn)定第四章壓壓桿桿穩(wěn)定問問題的進(jìn)進(jìn)一步研研究壓桿失穩(wěn)穩(wěn)構(gòu)件的失失穩(wěn)只有有在特定定的受力力形式下下才會發(fā)發(fā)生，例例如，具具有微小小偏心距距的受拉拉桿，隨隨拉力的的增加彎彎曲變形形將逐漸漸減小，，不會出出現(xiàn)失穩(wěn)穩(wěn)現(xiàn)象。。33F力可能偏偏離y軸微小角角度，，故（（在在xy