2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及參考答案

-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題及參考答案、填空題1、化簡(jiǎn)11、化簡(jiǎn)11迂+2“+2訂+3寸^.'4+^.'3++=1--——2016、'2017+2017*2016<2017解：由—_一—―可得.k\k+1+(k+1)vkk(k+1).(\/k+解：由—_一—―可得.k\k+1+(k+1)vkk(k+1).(\/k+1+pk)x：'k(k+1)\.kk+1_<1+1-4k_112、若Sinx+COSX二迂,sin3x+cos3x二竺28.(sinx+cosx)2-11,sinxcosx==-'42丄3邁5邁sin3x+cos3x=(sinx+cosx)3一3sinxcosx(sinx+cosx)=+=4883、體積為1的正四面體被放置于一個(gè)正方體中，則此正方體體積的最小值是3?解：反向考慮，邊長(zhǎng)為a的正方體(體積為a3),其最大內(nèi)接正四面體頂點(diǎn)，由互不共棱的正方體頂點(diǎn)組成，其體積為牛令+=1畑=34、若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于它的一個(gè)焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)恰好在其準(zhǔn)線上，則橢圓的離心率e—1或空?2一2解：建立坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為x2+a2b2y2=1(a>b>0),則頂點(diǎn)A=(土a,0),B=(土b,0),焦點(diǎn)F二(土c,0)，準(zhǔn)線方程為1,21,21,2i=+巴,其中c據(jù)對(duì)稱性，只要考慮兩種情況：(1)、1,2cB1（0,b）關(guān)于“的對(duì)稱點(diǎn)在右準(zhǔn)線x=牛上，由橫坐標(biāo)AL0）關(guān)于VO）的對(duì)稱點(diǎn)在右準(zhǔn)線x二牛上，由-aB1（0,b）關(guān)于“的對(duì)稱點(diǎn)在右準(zhǔn)線x=牛上，由橫坐標(biāo)TOC\o"1-5"\h\z0+吐=2c,得e=C=空ca2解：首先，5、函數(shù)y=-4x+3^4x2+1的最小值是応?解：首先，y>-4x+3\-4x2+1=-4x+|6x|>0.?又由(y+4x)2=9(4x2+1),即20x2-8xy+(9-y2)=0,據(jù)判別式A=64y2-80(9-y2)>0，即y2>5,因y>0,則y>打,此，則=3n-1?T~值在x=丄時(shí)取得.（也可以令x=1，則=3n-1?T~設(shè)…6(1+x+x2)n=a+ax+ax2++ax2n0122n解：令X=0,得ao=1,再令X=1,得護(hù)起+…+看n，又令X=T,得a-a+a+???+a=1,所以0122n7、將全體真分?jǐn)?shù)排成這樣的一個(gè)數(shù)列仏｝:1丄2丄,2,3,…，排序方2'3'3'4'4‘4'法是：自左至右，先將分母按自小到大排列，對(duì)于分母相同的分?jǐn)?shù)，再按分子自小到大排列，則其第2017數(shù)，再按分子自小到大排列，則其第2017項(xiàng)a=丄?201765解:按分母分段,分母為k+1的分?jǐn)?shù)有k個(gè)，因63x64=201664x65=2。8。,2'2因2017屬于第64段，則a應(yīng)是分母為65的第一數(shù)，即丄.2017658、將各位數(shù)字和為10的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列｛a｝，若a=2017，則口20?nn解：數(shù)字和為10的兩位數(shù)頁(yè)有9個(gè)；數(shù)字和為10的三位數(shù)贏:首位數(shù)字a可取1，2，…，9中任意一個(gè)值，當(dāng)a取定后，b可取0，1，…，10-a這11-a個(gè)數(shù)字的任意一個(gè)值，而在a,b確定后，c的值就唯一確定，因此三位數(shù)的個(gè)數(shù)是￡b=a+b(n>1)*n+1nn證明：(1)、a，a2n后，c的值就唯一確定，因此三位數(shù)的個(gè)數(shù)是￡b=a+b(n>1)*n+1nn證明：(1)、a，a2n1<f22n>bb2n-12n邁；⑵、a好—n11-寸2bn+1證明:a―nbna2-2b2=(a+2b)2-2(a+b)2=-(a2-2b2)…①由此遞推得n+1n+1nnnna2-2b2=(a+2b)2-2(a+b)2=-(a2-2b2)==(-1)n-1(a2-2b2)=(-1)n^②nnn-1n-1n-1n-1n-1n-111因此a2-2b2>0,a2-2b2<0即有2n2n2n-12n-1據(jù)①得a2In+1-2b2n+1=a2-2b2nn…③，由條件知，aa2n-1<2,—>2,bb2n-12n匕｝￡｝皆為嚴(yán)格遞增的正nn,a>n+1整數(shù)數(shù)列，>0,b>b>0,所以n+1na+J2ba+n+1n+1n1…④丄<丄…⑤<2bbbnn+1n將③④⑤相乘得十-厲n+1anV2bn(11-a)=54；數(shù)字和a=1為10的四位數(shù)阪:a+b+c=9的非負(fù)整數(shù)解(a,b,c)的個(gè)數(shù)是C2=55,11數(shù)字和為10的四位數(shù)證共有2個(gè)即2008和2017,故在1,2,…,

2017中，滿足條件的數(shù)有9+54+55+2=120個(gè).二、解答題(共70分)a=b=1'a=a+a=b=1'a=a+2b'11n+1nnnn10、(本題滿分15分)若小于2017的三個(gè)互異正整數(shù)a,得a3-b3，b3-c3，C3-a3均是2017的倍數(shù)；證明：a2+b2+c2必是a+b+c的倍數(shù)．證：因201水a(chǎn)3-b3),即2017|(a-b)(a2+ab+b2)；又由0<|a-b\<2017,注意2017

為質(zhì)數(shù)，則a-b與2017互質(zhì)，因此20171(a2+b2+ab)…①同理有

-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考證：因-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考-來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個(gè)人學(xué)習(xí)參考2017(2017(b2+c2+bc)…②2017((a2+c2+ac)…③，根據(jù)②③，2017(a-b)(a+b+c)，從而2017(a+b+c)，2017|[(a2+c2+ac)—(b2+c2+bc)]，即因正整數(shù)a,b,c皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又汪意a+b+c與a2+b2+c2同奇偶，故只要證2017((a2+b2+c2)，將①改寫為2017|[a(a+b+c)+b2—ac)],貝卩知12017((b2一ac)④，同理有2017|(a2—bc)，2017(C2-ab)…⑤,將①②③④⑤式相加，得2017(a2+b2+c2)于疋2017|(a2+b2+c2)，從而(a+b+c)|(a2+b2+c2)?22，32911、(本題滿分20分)設(shè)P={12,22,32，…}是由全體正整數(shù)的平方所構(gòu)成的集合；如果數(shù)n能夠表示為集合P中若干個(gè)(至少一個(gè))互異元素的代數(shù)和，則稱數(shù)”具有P結(jié)構(gòu).證明：每個(gè)自然數(shù)22，329證明：首先，我們可以將前十個(gè)自然數(shù)分別表示為：再考慮區(qū)間D中的數(shù)，其中除了16=42之外，其余的數(shù)皆可表示為n二42-k(1<k“)形式；并且注意到，在1，2,3,4,5,6中每個(gè)數(shù)的p結(jié)構(gòu)表示中，凡是表示式中42參與時(shí)，42皆以正項(xiàng)形式出現(xiàn)，于是由”=42-k(1SkS6)可知，此時(shí)42項(xiàng)便抵消(不會(huì)出現(xiàn)2X42的項(xiàng))；因此，區(qū)間C,4J中的數(shù)皆具有P結(jié)構(gòu)表示，也就是<42的每個(gè)數(shù)都具有P結(jié)構(gòu)表示，且其中最大項(xiàng)至多為42,而凡是含有42的表示中，42皆以正項(xiàng)形式出現(xiàn)，下面使用歸納法，假若已證得<m2的每個(gè)數(shù)都具有P結(jié)構(gòu)表示，且其中最大項(xiàng)至多為m2，而凡是含有m2表示中，m2皆以正項(xiàng)形式出現(xiàn)(其中m,4)，對(duì)于區(qū)間C,(m+1J中的數(shù)，除了最大數(shù)可以直接表示為(m中的數(shù)，除了最大數(shù)可以直接表示為(m+1)2之外，其余元素n皆可表示為：n二(m+1)2—k(1<k<2m)，由歸納假設(shè)，m>4,且2m<m2，并且此k

具有P結(jié)構(gòu)表示，其中每項(xiàng)皆<m2，因此數(shù)n具有P結(jié)構(gòu)表示，故

由歸納法，即知所證的結(jié)論成立.12、(本題滿分20分)如圖，OO,OO相交于A,B兩點(diǎn)，CD是12經(jīng)過點(diǎn)A的一條線段，其中，點(diǎn)C,D分別在OO、OO上，過線12BC，BD上，段CD上的任意一點(diǎn)K，作KM//BD，KN//BC，點(diǎn)MBC，BD上，又向ABCD形外方向，作ME丄BC，BF丄BD，其中E在0O上F在0O12KE丄KF?上；證明：KE丄KF?證明：設(shè)oO、oO的半徑分別為12r,r12得BC二2rsim/BAC,r,r12得BC二2rsim/BAC,BD=2rsin/BAD,12而/BAC+/BAD=180。,所以BC=二于是BDrsAsABOCABOD，12ss所以ACMKAKNDACBD根據(jù)平行關(guān)系得MC_NK_竺_二且四邊形kmbn為平行MKNDBDr2四邊形,BN二MK,延長(zhǎng)垂線FN交Oo于F,因竺_二則OO上優(yōu)弧BEC21BDr'12與Oo上BD所對(duì)的優(yōu)弧dfb的度數(shù)相等，又因M,N分別是兩圓對(duì)21應(yīng)弦CB、BD上的點(diǎn)，且CM_CM_BC_丄所以/CMEs/nfB,/BMEBNMKBDr'12s/NFD,從而丄