東北大學現(xiàn)代控制理論05李亞普諾夫穩(wěn)定性分析課件

第五章李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

5.1幾個穩(wěn)定性概念5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

5.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應用

5.4李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中應用2005-11-5第五章李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

5.1幾個穩(wěn)定性概念2005.1幾個穩(wěn)定性概念定義5.1.1自治系統(tǒng):

零輸入作用的系統(tǒng)其中，x為n維狀態(tài)向量，f(.,.)為維向量函數(shù)。定義5.1.2受擾運動：系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應.定義5.1.3平衡狀態(tài)：如果對于所有的總存在著則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。2005-11-55.1幾個穩(wěn)定性概念定義5.1.1自治系統(tǒng):

零輸入作用，且A非奇異，則原點是系統(tǒng)唯一如果的平衡狀態(tài)，稱為向量的歐氏范數(shù)定義5.1.4

歐氏范數(shù)：定義5.1.5穩(wěn)定系統(tǒng)(5.1.1)中，對,若使得時,有2005-11-5，且A非奇異，則原點是系統(tǒng)唯一如果的平衡狀態(tài)，稱為向量的

則稱為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定義5.1.6漸近穩(wěn)定：如果是李雅普諾夫意義穩(wěn)定的，和并且對于總使得則稱是漸近穩(wěn)定的。若，則稱為大范圍(全局)漸近穩(wěn)定。2005-11-5則稱為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定義5.1定義5.1.7一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）：若的穩(wěn)定性（漸近穩(wěn)定）不依賴于，則稱其為一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）。2005-11-5定義5.1.7一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）：若的穩(wěn)定圖5.1（a）、(b)、(c)分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定時初始擾動所引起的典型軌跡。定義5.1.8不穩(wěn)定:定義5.1.9正定函數(shù)：1）存在2）3）當對于某個實數(shù)和，在超球域內始終存在狀態(tài)，使得從該狀態(tài)開始的受擾運動要突破超球域2005-11-5圖5.1（a）、(b)、(c)分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、定義5時，則稱是正定的（正半定的）。如果條件3）中不等式的符號反向，則稱是負定的（負半定的）。

例5.1.11） 正定的2） 半正定的3） 負定的 4） 半負定的5） 不定的2005-11-5時，則稱是正定的（正半定的）。如果條件3）中不等式的定義5.1.10二次型：塞爾維斯特（Sylvester）定理：為正定的充要條件是的所有順序主子行列式都是正的。如果的所有主子行列式為非負的（其中有的為零），那么為半正定的。如果是正定的（半正定的），則將是負定的(半負定的)。例5.1.2證明下列二次型函數(shù)是正定的。2005-11-5定義5.1.10二次型：塞爾維斯特（Sylvester）定解：二次型可以寫為,因為所以2005-11-5解：二次型可以寫為,因為所以2005-11-55.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.2.1李雅普諾夫第一方法設，為孤立平衡點。（1）平衡點平移：令則將在原點展開得，2005-11-55.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.2.1李雅普諾夫第一方法設定理5.2.1(2)近似線性化：如果,則漸近穩(wěn)定，如果存在，則不穩(wěn)定；來決定。如，則的穩(wěn)定性由高階導數(shù)項例5.2.1已知非線性系統(tǒng)2005-11-5定理5.2.1(2)近似線性化：如果,其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。知系統(tǒng)有平衡點解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對情況進行研究，其它情況類似2005-11-5其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。知系統(tǒng)有計算由特征方程，得設則2005-11-5計算由特征方程①當時，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時，②系統(tǒng)在不穩(wěn)定;③如果,其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。2005-11-5①當時，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時，②系統(tǒng)在不

5.2.2直接法

定理5.2.2假設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個具有連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是負定的。那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。2005-11-5

5.2.2直接法

定理5.2.2假設系統(tǒng)的狀態(tài)方如果隨著有則在原點處的平衡

狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理5.2.3如果并且對于任意和不恒等于零則系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定.定理5.2.4如果則原點不穩(wěn)定例5.2.2已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。2005-11-5如果隨著有則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理5.2原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點是唯一平衡點，取，則又因為當時，有所以系統(tǒng)在例5.2.3已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判別其穩(wěn)定性。2005-11-5原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點是唯一平衡解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點

取

則因為除原點處外，不會恒等于零。當時，所以系統(tǒng)在其原點

處大范圍漸近穩(wěn)定。例5.2.4系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。2005-11-5解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點取則因為除原點處外，解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點取則于是知系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。2005-11-5解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點取則于是知系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。21）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。2）對于非線性系統(tǒng)能給出關于在大范圍內穩(wěn)定性的信息。3）關于穩(wěn)定性的條件是充分的，而不是必要的。4）若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)就不能得出該系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的任何結論。5.2.3幾點說明

2005-11-51）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是2）對于非線性系統(tǒng)5）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。6）如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質的李雅普諾夫函數(shù)一定是存在的。2005-11-55）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內平衡狀6）如果系統(tǒng)的原點5.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應用5.3.1穩(wěn)定性分析

定理4.3.1:

系統(tǒng)在原點全局漸近穩(wěn)定的充要條件為方程,有唯一正定對稱解.證明：充分性：考慮系統(tǒng)其中令如果

則大范圍漸近穩(wěn)定。必要性：略。2005-11-55.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應用5.3.1穩(wěn)定性分析例5.3.1:分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性

解：令得則由2005-11-5例5.3.1:分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性解：令得則由2005-1解上述矩陣方程，有即得2005-11-5解上述矩陣方程，有即得2005-11-5因為可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。

2005-11-5因為可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。2

設則系統(tǒng)在原點為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是方程存在唯一正定對稱解如果沿任一解的序列不恒等于零，則可取半正定的。定理5.3.22005-11-5設則系統(tǒng)在原點為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是方程存在唯一正定對例5.3.2試確定系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性,得解:在李雅普諾夫方程中,取由此解出2005-11-5例5.3.2試確定系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性,得解:在李雅普諾5.3.2利用李雅普諾夫函數(shù)求解參數(shù)最優(yōu)化問題(1)問題描述：

從而系統(tǒng)在原點的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的.2005-11-55.3.2利用李雅普諾夫函數(shù)求解參數(shù)最優(yōu)化問題(1)

使極小(1)設

調節(jié)參數(shù)使極小。(2)必須逐漸穩(wěn)定，否則問題無解。(3)由知存在,使得令于是有由,知2005-11-5使極小(1)設調節(jié)參數(shù)使極小。(2)

(4)注意到和的函數(shù)，調節(jié)使最小。例5.3.3給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定阻尼比的值，使系統(tǒng)的性能指標，其中達到最小值。2005-11-5(4)注意到和的函數(shù)，調節(jié)使最小。例5.3解得于是有解:由，知2005-11-5解得于是有解:由，知2005-5.4李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中應用再令于是得將代入上式，知。5.4.1克拉索夫斯基方法定理5.4.1設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為2005-11-55.4李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中應用再令于是得將

令式中的，設對可微。系統(tǒng)的雅克比矩陣為2005-11-5令式中的，設對可微。系統(tǒng)的雅克比矩陣

證:顯然

。因為那么漸近穩(wěn)定。如果隨著

，范圍漸近穩(wěn)定。

，有，那么大其中為的共軛轉置矩陣，如果2005-11-5證:顯然。因為那么漸近穩(wěn)定。如果隨著，范圍

當時，有。所以漸近穩(wěn)定在時，大范圍漸近穩(wěn)定。

所以2005-11-5當時，有。所以漸近穩(wěn)定在時，大范圍漸近穩(wěn)定。所以解:由平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例5.4.1利用克拉索夫斯基定理確定下列系統(tǒng)在2005-11-5解:由平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例5.4.1利用克拉索夫斯

且時，有所以是大范圍漸近穩(wěn)定的。

更為普遍的克拉索夫斯基定理可表述如下：設系統(tǒng)的狀程態(tài)方為其平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的條件是，存在和，能在所有的正定的赫米特矩陣2005-11-5且時，有所以是大范圍漸近穩(wěn)定的。更為普遍的克拉索夫斯基定

則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定。當時，若有，時，使得下式中的矩陣為負定的李雅普諾夫函數(shù)為返回2005-11-5則系統(tǒng)在平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定。當時，若有，時，使得下式第五章李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

5.1幾個穩(wěn)定性概念5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

5.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應用

5.4李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中應用2005-11-5第五章李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

5.1幾個穩(wěn)定性概念2005.1幾個穩(wěn)定性概念定義5.1.1自治系統(tǒng):

零輸入作用的系統(tǒng)其中，x為n維狀態(tài)向量，f(.,.)為維向量函數(shù)。定義5.1.2受擾運動：系統(tǒng)狀態(tài)的零輸入響應.定義5.1.3平衡狀態(tài)：如果對于所有的總存在著則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。2005-11-55.1幾個穩(wěn)定性概念定義5.1.1自治系統(tǒng):

零輸入作用，且A非奇異，則原點是系統(tǒng)唯一如果的平衡狀態(tài)，稱為向量的歐氏范數(shù)定義5.1.4

歐氏范數(shù)：定義5.1.5穩(wěn)定系統(tǒng)(5.1.1)中，對,若使得時,有2005-11-5，且A非奇異，則原點是系統(tǒng)唯一如果的平衡狀態(tài)，稱為向量的

則稱為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定義5.1.6漸近穩(wěn)定：如果是李雅普諾夫意義穩(wěn)定的，和并且對于總使得則稱是漸近穩(wěn)定的。若，則稱為大范圍(全局)漸近穩(wěn)定。2005-11-5則稱為李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定義5.1定義5.1.7一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）：若的穩(wěn)定性（漸近穩(wěn)定）不依賴于，則稱其為一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）。2005-11-5定義5.1.7一致穩(wěn)定（漸近穩(wěn)定）：若的穩(wěn)定圖5.1（a）、(b)、(c)分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定和不穩(wěn)定時初始擾動所引起的典型軌跡。定義5.1.8不穩(wěn)定:定義5.1.9正定函數(shù)：1）存在2）3）當對于某個實數(shù)和，在超球域內始終存在狀態(tài)，使得從該狀態(tài)開始的受擾運動要突破超球域2005-11-5圖5.1（a）、(b)、(c)分別表示平衡狀態(tài)為穩(wěn)定、定義5時，則稱是正定的（正半定的）。如果條件3）中不等式的符號反向，則稱是負定的（負半定的）。

例5.1.11） 正定的2） 半正定的3） 負定的 4） 半負定的5） 不定的2005-11-5時，則稱是正定的（正半定的）。如果條件3）中不等式的定義5.1.10二次型：塞爾維斯特（Sylvester）定理：為正定的充要條件是的所有順序主子行列式都是正的。如果的所有主子行列式為非負的（其中有的為零），那么為半正定的。如果是正定的（半正定的），則將是負定的(半負定的)。例5.1.2證明下列二次型函數(shù)是正定的。2005-11-5定義5.1.10二次型：塞爾維斯特（Sylvester）定解：二次型可以寫為,因為所以2005-11-5解：二次型可以寫為,因為所以2005-11-55.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.2.1李雅普諾夫第一方法設，為孤立平衡點。（1）平衡點平移：令則將在原點展開得，2005-11-55.2李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.2.1李雅普諾夫第一方法設定理5.2.1(2)近似線性化：如果,則漸近穩(wěn)定，如果存在，則不穩(wěn)定；來決定。如，則的穩(wěn)定性由高階導數(shù)項例5.2.1已知非線性系統(tǒng)2005-11-5定理5.2.1(2)近似線性化：如果,其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。知系統(tǒng)有平衡點解:求平衡狀態(tài)：由下面僅對情況進行研究，其它情況類似2005-11-5其中常數(shù)，試分析其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。知系統(tǒng)有計算由特征方程，得設則2005-11-5計算由特征方程①當時，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時，②系統(tǒng)在不穩(wěn)定;③如果,其穩(wěn)定性靠一次近似不能判斷。2005-11-5①當時，系統(tǒng)在漸近穩(wěn)定；時，②系統(tǒng)在不

5.2.2直接法

定理5.2.2假設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為如果存在一個具有連續(xù)偏導數(shù)的標量函數(shù)并且滿足條件：1）是正定的；2）是負定的。那么系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。2005-11-5

5.2.2直接法

定理5.2.2假設系統(tǒng)的狀態(tài)方如果隨著有則在原點處的平衡

狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理5.2.3如果并且對于任意和不恒等于零則系統(tǒng)在原點漸近穩(wěn)定.定理5.2.4如果則原點不穩(wěn)定例5.2.2已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判斷其穩(wěn)定性。2005-11-5如果隨著有則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理5.2原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點是唯一平衡點，取，則又因為當時，有所以系統(tǒng)在例5.2.3已知系統(tǒng)試用李雅普諾夫第二方法判別其穩(wěn)定性。2005-11-5原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的解:顯然，原點是唯一平衡解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點

取

則因為除原點處外，不會恒等于零。當時，所以系統(tǒng)在其原點

處大范圍漸近穩(wěn)定。例5.2.4系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)在其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。2005-11-5解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點取則因為除原點處外，解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點取則于是知系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。2005-11-5解:系統(tǒng)具有唯一的平衡點取則于是知系統(tǒng)在原點處不穩(wěn)定。21）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是唯一的。2）對于非線性系統(tǒng)能給出關于在大范圍內穩(wěn)定性的信息。3）關于穩(wěn)定性的條件是充分的，而不是必要的。4）若不能找到合適的李雅普諾夫函數(shù)就不能得出該系統(tǒng)穩(wěn)定性方面的任何結論。5.2.3幾點說明

2005-11-51）對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)不是2）對于非線性系統(tǒng)5）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。6）如果系統(tǒng)的原點是穩(wěn)定的或漸近穩(wěn)定的，那么具有所要求性質的李雅普諾夫函數(shù)一定是存在的。2005-11-55）李雅普諾夫函數(shù)只能判斷其定義域內平衡狀6）如果系統(tǒng)的原點5.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應用5.3.1穩(wěn)定性分析

定理4.3.1:

系統(tǒng)在原點全局漸近穩(wěn)定的充要條件為方程,有唯一正定對稱解.證明：充分性：考慮系統(tǒng)其中令如果

則大范圍漸近穩(wěn)定。必要性：略。2005-11-55.3李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中應用5.3.1穩(wěn)定性分析例5.3.1:分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性

解：令得則由2005-11-5例5.3.1:分析下列系統(tǒng)穩(wěn)定性解：令得則由2005-1解上述矩陣方程，有即得2005-11-5解上述矩陣方程，有即得2005-11-5因為可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。

2005-11-5因為可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的。2

設則系統(tǒng)在原點為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是方程存在唯一正定對稱解如果沿任一解的序列不恒等于零，則可取半正定的。定理5.3.22005-11-5設則系統(tǒng)在原點為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是方程存在唯一正定對例5.3.2試確定系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性,得解:在李雅普諾夫方程中,取由此解出2005-11-5例5.3.2試確定系統(tǒng)在原點的穩(wěn)定性,得解:在李雅普諾5.3.2利用李雅普諾夫函數(shù)求解參數(shù)最優(yōu)化問題(1)問題描述：

從而系統(tǒng)在原點的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的.2005-11-55.3.2利用李雅普諾夫函數(shù)求解參數(shù)最優(yōu)化問題(1)

使極小(1)設

調節(jié)參數(shù)使極小。(2)必須逐漸穩(wěn)定，否則問題無解。(3)由知存在,使得令于是有由,知2005-11-5使極小(1)設調節(jié)參數(shù)使