空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算 教學(xué)設(shè)計(jì)-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

高二—人教版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第一冊(cè)第一章

1.1.1空間向量及其運(yùn)算一．教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)（二）核心素養(yǎng)1．了解空間向量的定義、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重點(diǎn))2．會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的意義及運(yùn)算律．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3．掌握共線(xiàn)向量和共面向量定理，并會(huì)應(yīng)用共線(xiàn)向量和共面向量的定理解決問(wèn)題．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1．通過(guò)空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助于空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．3．借助于空共線(xiàn)向量和共面向量定理，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．（三）學(xué)情分析空間向量是平面向量的延伸，在學(xué)習(xí)空間向量之前，學(xué)生應(yīng)該可以較好地進(jìn)行平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，但對(duì)于將空間中平移到同一起點(diǎn)即同一平面上后,利用平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則計(jì)算這兩個(gè)向量的線(xiàn)性計(jì)算，學(xué)生可能很難理解或想象空間向量進(jìn)行平移到同一平面上，因此在教學(xué)中可以適當(dāng)利用教學(xué)設(shè)備，展示向量移動(dòng)的動(dòng)畫(huà)，加強(qiáng)學(xué)生的理解.（四）教學(xué)重難點(diǎn)1.重點(diǎn)：通過(guò)類(lèi)比平面向量的概念來(lái)歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿(mǎn)足線(xiàn)性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘），懂得運(yùn)算律.2.難點(diǎn)：空間向量的共線(xiàn)定理和共面定理在簡(jiǎn)單空間幾何體中的計(jì)算和應(yīng)用.通過(guò)“平面向量及其應(yīng)用”的學(xué)習(xí)，我們知道，平面內(nèi)的點(diǎn)、直線(xiàn)可以通過(guò)平面向量及其運(yùn)算來(lái)表示，從而平面圖形的問(wèn)題可以利用平面向量的方法解決.在“立體幾何初步”中，我們研究了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系.那么，我們能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題，帶著這個(gè)問(wèn)題進(jìn)入我們今天的學(xué)習(xí)。二．這是一個(gè)做滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景.可以想象,在滑翔過(guò)程中,飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等。顯然，這些力不在同一個(gè)平面內(nèi)。聯(lián)想用平面向量解決物理問(wèn)題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運(yùn)動(dòng)呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的空間向量.這是一個(gè)做滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景.可以想象,在滑翔過(guò)程中,飛行員會(huì)受到來(lái)自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等。顯然，這些力不在同一個(gè)平面內(nèi)。聯(lián)想用平面向量解決物理問(wèn)題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運(yùn)動(dòng)呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的空間向量.三．新知初探（一）空間向量的有關(guān)概念1.定義：空間中既有大小又有方向的量稱(chēng)為空間向量．2.模(或長(zhǎng)度)：向量的大?。?.表示方法：①幾何表示法：可以用有向線(xiàn)段來(lái)直觀(guān)的表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．在正方體中，過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)O的三條棱上的三條有向線(xiàn)段表示的三個(gè)向量,它們是不共面的向量，即它們是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量.4.幾類(lèi)特殊的向量(1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱(chēng)為零向量，記作0．(2)單位向量：模等于1的向量稱(chēng)為單位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱(chēng)為相等向量．(4)相反向量：大小相等、方向相反的向量稱(chēng)為相反向量．空間中的任意兩個(gè)非零向量，都可以通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合。因此，任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量記（二）空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算1.空間向量的加法、減法運(yùn)算：空間向量的加法、減法運(yùn)算與平面向量的運(yùn)算一樣圖1如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．運(yùn)算律：①交換律：②結(jié)合律：2.空間向量的數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的運(yùn)算一樣.給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)空間向量a，則實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算稱(chēng)為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時(shí)，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時(shí)，與a的方向相反．②當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0．當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，運(yùn)算律：①結(jié)合律：②分配律：①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．探究思考：向量運(yùn)算的結(jié)果與向量起點(diǎn)的選擇有關(guān)系嗎？[提示]沒(méi)有關(guān)系．3.知識(shí)拓展⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．即：⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量．即：4.互動(dòng)探究在平行六面體中，分別標(biāo)出表示的向量.從中你能體會(huì)向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個(gè)不共面的向量的和與這三個(gè)向量有什么關(guān)系？發(fā)現(xiàn)：即三個(gè)不共面向量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)所表示的向量．發(fā)現(xiàn)：有限個(gè)向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.（三）共線(xiàn)向量1.定義表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，則這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有.探究思考對(duì)任意兩個(gè)空間向量a與b,如果ab(∈R),a與b有什么位置關(guān)系？反之，a與b有什么位置關(guān)系時(shí)ab2.共線(xiàn)向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b,的充要條件是存在實(shí)數(shù)使ab3直線(xiàn)的方向向量如圖，O是直線(xiàn)l上一點(diǎn)，在直線(xiàn)l上取非零向量a，則對(duì)于直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量定義及向量共線(xiàn)的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)，使得a 我們把與向量a平行的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)的方向向量.這樣，直線(xiàn)上任意一點(diǎn)都可以由直線(xiàn)上的一點(diǎn)和它的方向向量表示，也就是說(shuō)，直線(xiàn)可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定。（四）共面向量如圖：如果表示向量a的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)OA與直線(xiàn)平行或重合，那么稱(chēng)向量a平行于直線(xiàn).1.定義如果直線(xiàn)OA平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱(chēng)向量a平行于平面.平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量．我們知道，任意兩個(gè)空間向量總是共面的，但三個(gè)空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情況下三個(gè)空間向量共面呢？探究思考對(duì)平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線(xiàn)向量，由平面向量基本定理可知，這個(gè)平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，可以寫(xiě)成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(duì)。對(duì)兩個(gè)不共線(xiàn)的空間向量，如果，那么向量與向量有什么位置關(guān)系？反過(guò)來(lái)，向量與向量有什么位置關(guān)系時(shí)，？猜想：空間兩個(gè)向量不共線(xiàn)，向量與向量共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使。2.共面向量定理：空間兩個(gè)向量不共線(xiàn),那么向量與共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)使。證明：（1）必要性如果向量與向量共面，則通過(guò)平移一定可以使它們位于同一平面內(nèi)，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使。（2）充分性如果向量滿(mǎn)足，則可以選定一點(diǎn),作，于是，顯然都在平面內(nèi)，故向量與向量共面3.推論（四點(diǎn)共面）：空間一點(diǎn)位于內(nèi)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使;注意：空間四點(diǎn)P、M、A、B共面等價(jià)于存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使;或空間任一點(diǎn)，有.也可以表示為(其中)四．小試牛刀1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)空間向量，若，則． ()(2)相等向量一定是共線(xiàn)向量． ()(3)三個(gè)空間向量一定是共面向量． ()(4)零向量沒(méi)有方向． ()[提示](1)×若時(shí)，與不一定平行．(2)√相等向量一定共線(xiàn)，但共線(xiàn)不一定相等．(3)×空間兩個(gè)向量一定是共面向量，但三個(gè)空間向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)×零向量有方向，它的方向是任意的．2．在三棱錐中，若是正三角形，E為其中心，則eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))化簡(jiǎn)的結(jié)果為．[考點(diǎn)]：空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算。[解析]：延長(zhǎng)DE交邊BC于點(diǎn)F，連接AF,則有eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))，故eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))＝.五．例題講解例：如圖，已知,過(guò)平面AC外一點(diǎn)O，作射線(xiàn)OA，OB，OC，OD，在四條射線(xiàn)上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使,[求證]：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面。[思路探究]：欲證四點(diǎn)共面，只需證明共面.而由已知共面，可以利用向量運(yùn)算由共面的表達(dá)式推得共面的表達(dá)式。[證明]：，是由向量共面的充要條件可知，共面，又過(guò)同一點(diǎn)E，從而四點(diǎn)共面.六．課堂小結(jié)1.空間向量的概念.2.空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算.3.共線(xiàn)向量（平行向量）的概念及空間向量共線(xiàn)的充要條件及其應(yīng)用.4.共面向量的概念及向量共面的充要條件及其應(yīng)用.七．課堂答疑（一）對(duì)共面向量充要條件定理的證明的理解必要性的證明：是根據(jù)平面向量基本定理得出的，比較好理解。充分性的證明：當(dāng)都為或部分為零向量的時(shí)候，充分性顯然成立.當(dāng)都不是零向量時(shí)，因?yàn)榉謩e與共線(xiàn)，所以都在確定的平面內(nèi).又因?yàn)槭且詾猷忂叺钠叫兴倪呅蔚囊粭l對(duì)角線(xiàn)所表示的向量，且此平行四邊形在確定的平面內(nèi)，所以在確定的平面內(nèi)。所以共面由共面向量的充要條件，可以建立平面的參數(shù)方程，將平面用點(diǎn)和向量表示出來(lái)，這就是用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的基礎(chǔ).（二）對(duì)四點(diǎn)共面充要條件定理的理解空間四點(diǎn)P,M,A,B四點(diǎn)共面等價(jià)于存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)，使;我們將四點(diǎn)共面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有公共起點(diǎn)的三個(gè)向量的共面問(wèn)題?？臻g四點(diǎn)P、M、A、B共面等價(jià)于（其中）我們將四點(diǎn)共面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間中同一個(gè)起點(diǎn)的向量的線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題。練習(xí)：【詳解】根據(jù)共面向量定理，P,Q,R,S,都寫(xiě)成以A為起點(diǎn)的有向線(xiàn)段，只需判斷的系數(shù)和是否為1.或者我們也可以將P,Q,R,S,四點(diǎn)共面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同一起點(diǎn)的三個(gè)向量的共面問(wèn)題來(lái)求解。解法2：根據(jù)共面向量定理，P,Q,R,S,都可以寫(xiě)成以A為起點(diǎn)的有向線(xiàn)段，只需判斷的系數(shù)和是否為1.例1.如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，判斷與是否共線(xiàn)．思路探究：判斷與是否共線(xiàn)，即判斷是否存在實(shí)數(shù)使得成立.[解析]：因?yàn)樗倪呅蜛BEF為平行四邊形，所以連接AE時(shí)，AE必過(guò)點(diǎn)N.所以，即與共線(xiàn)．例2.已知:A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，O為平面ABC外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿(mǎn)足.(1).判斷三個(gè)向量是否共面；(2).判斷M是否在平面ABC內(nèi)．思路探究：(1).根據(jù)向量共面的充要條件，即判斷是否滿(mǎn)足；(2).根據(jù)(1)的結(jié)論，也可以利用中是否等于1來(lái)判斷.[解析]：（1），,∴向量共面．(2).由(1)知向量共面，而它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．例3.已知:正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下列各式中x，y，z的值．(1).；(2).思路探究：本題考查的是空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算.[解析]:(1).如圖,.(2).∵O為AC的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)，∴,∴，∴，∴x＝2，y＝－2.八．課后習(xí)題1.下列說(shuō)法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿(mǎn)足結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))【答案】B【解析】對(duì)于A,|a|＝|b|，說(shuō)明a與b模長(zhǎng)相等，但方向不確定,A錯(cuò)誤．對(duì)于B,對(duì)于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，B正確．對(duì)于C,只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律,C錯(cuò)誤.對(duì)于D,一般的四邊形不具有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，只有平行四邊形才能成立,D錯(cuò)誤.故選：B2．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C．D．【答案】D【解析】：.故選：D3.如圖，在三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，滿(mǎn)足，記，，分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】：在三棱錐中，E為OA的中點(diǎn)，，所以故選：A4．（多選題）給出下列四個(gè)命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實(shí)數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使；C．若存在實(shí)數(shù)，，使則點(diǎn)，，A，共面；D．若點(diǎn)，，A，共面，則存在實(shí)數(shù)，，使．【答案】AC【解析】：由向量共面定理可知A正確；當(dāng)，為零向量可知B錯(cuò)誤；由向量共面定理可知共面，又有共始點(diǎn)，所以點(diǎn)，，A，共面，故C正確；當(dāng)，A，三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)P與，A，不共線(xiàn)時(shí)可知D錯(cuò)誤.故選：AC5．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up7(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up7(→))；(3)eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))．【解析】：(1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\u