空間向量及其線性運算 教學(xué)設(shè)計-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

高二—人教版—數(shù)學(xué)—選擇性必修第一冊第一章

1.1.1空間向量及其運算一．教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)（二）核心素養(yǎng)1．了解空間向量的定義、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重點)2．會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，掌握數(shù)乘向量運算的意義及運算律．(重點、易混點)3．掌握共線向量和共面向量定理，并會應(yīng)用共線向量和共面向量的定理解決問題．(重點、易錯點)1．通過空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．借助于空間向量的線性運算，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．3．借助于空共線向量和共面向量定理，提升數(shù)學(xué)運算及邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．（三）學(xué)情分析空間向量是平面向量的延伸，在學(xué)習(xí)空間向量之前，學(xué)生應(yīng)該可以較好地進(jìn)行平面向量的線性運算，但對于將空間中平移到同一起點即同一平面上后,利用平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則計算這兩個向量的線性計算，學(xué)生可能很難理解或想象空間向量進(jìn)行平移到同一平面上，因此在教學(xué)中可以適當(dāng)利用教學(xué)設(shè)備，展示向量移動的動畫，加強學(xué)生的理解.（四）教學(xué)重難點1.重點：通過類比平面向量的概念來歸納并理解空間向量的含義，發(fā)現(xiàn)空間向量也與平面向量滿足線性運算(加法、減法和數(shù)乘），懂得運算律.2.難點：空間向量的共線定理和共面定理在簡單空間幾何體中的計算和應(yīng)用.通過“平面向量及其應(yīng)用”的學(xué)習(xí)，我們知道，平面內(nèi)的點、直線可以通過平面向量及其運算來表示，從而平面圖形的問題可以利用平面向量的方法解決.在“立體幾何初步”中，我們研究了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間中點、線、面的位置關(guān)系.那么，我們能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量解決立體幾何問題，帶著這個問題進(jìn)入我們今天的學(xué)習(xí)。二．這是一個做滑翔傘運動的場景.可以想象,在滑翔過程中,飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等。顯然，這些力不在同一個平面內(nèi)。聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運動呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的空間向量.這是一個做滑翔傘運動的場景.可以想象,在滑翔過程中,飛行員會受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等。顯然，這些力不在同一個平面內(nèi)。聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運動呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的空間向量.三．新知初探（一）空間向量的有關(guān)概念1.定義：空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量．2.模(或長度)：向量的大?。?.表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來直觀的表示向量，如始點為A終點為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up7(→))，模為|eq\o(AB,\s\up7(→))|．②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，…．在正方體中，過同一個頂點O的三條棱上的三條有向線段表示的三個向量,它們是不共面的向量，即它們是不同在任何一個平面內(nèi)的三個向量.4.幾類特殊的向量(1)零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量，記作0．(2)單位向量：模等于1的向量稱為單位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱為相等向量．(4)相反向量：大小相等、方向相反的向量稱為相反向量．空間中的任意兩個非零向量，都可以通過平移使它們的起點重合。因此，任意兩個空間向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量記（二）空間向量的線性運算1.空間向量的加法、減法運算：空間向量的加法、減法運算與平面向量的運算一樣圖1如圖1，eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b．運算律：①交換律：②結(jié)合律：2.空間向量的數(shù)乘運算運算：空間向量的數(shù)乘運算與平面向量的運算一樣.給定一個實數(shù)λ與任意一個空間向量a，則實數(shù)λ與空間向量a相乘的運算稱為數(shù)乘向量，記作λa．其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時，與a的方向相反．②當(dāng)λ＝0或a＝0時，λa＝0．當(dāng)時，,當(dāng)時，,當(dāng)時，運算律：①結(jié)合律：②分配律：①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．探究思考：向量運算的結(jié)果與向量起點的選擇有關(guān)系嗎？[提示]沒有關(guān)系．3.知識拓展⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量．即：⑵首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量．即：4.互動探究在平行六面體中，分別標(biāo)出表示的向量.從中你能體會向量加法運算的交換律和結(jié)合律嗎？一般地，三個不共面的向量的和與這三個向量有什么關(guān)系？發(fā)現(xiàn)：即三個不共面向量的和，等于以這三個向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個向量有共同始點的對角線所表示的向量．發(fā)現(xiàn)：有限個向量求和，交換相加向量的順序，其和不變.（三）共線向量1.定義表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有.探究思考對任意兩個空間向量a與b,如果ab(∈R),a與b有什么位置關(guān)系？反之，a與b有什么位置關(guān)系時ab2.共線向量定理：對于空間任意兩個向量a,b,的充要條件是存在實數(shù)使ab3直線的方向向量如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)，使得a 我們把與向量a平行的非零向量稱為直線的方向向量.這樣，直線上任意一點都可以由直線上的一點和它的方向向量表示，也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定。（四）共面向量如圖：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線平行或重合，那么稱向量a平行于直線.1.定義如果直線OA平行于平面或在平面內(nèi)，那么稱向量a平行于平面.平行于同一個平面的向量叫做共面向量．我們知道，任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情況下三個空間向量共面呢？探究思考對平面內(nèi)任意兩個不共線向量，由平面向量基本定理可知，這個平面內(nèi)的任意一個向量，可以寫成，其中是唯一確定的有序?qū)崝?shù)對。對兩個不共線的空間向量，如果，那么向量與向量有什么位置關(guān)系？反過來，向量與向量有什么位置關(guān)系時，？猜想：空間兩個向量不共線，向量與向量共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使。2.共面向量定理：空間兩個向量不共線,那么向量與共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對使。證明：（1）必要性如果向量與向量共面，則通過平移一定可以使它們位于同一平面內(nèi)，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使。（2）充分性如果向量滿足，則可以選定一點,作，于是，顯然都在平面內(nèi)，故向量與向量共面3.推論（四點共面）：空間一點位于內(nèi)存在有序?qū)崝?shù)對，使;注意：空間四點P、M、A、B共面等價于存在唯一實數(shù)對，使;或空間任一點，有.也可以表示為(其中)四．小試牛刀1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)空間向量，若，則． ()(2)相等向量一定是共線向量． ()(3)三個空間向量一定是共面向量． ()(4)零向量沒有方向． ()[提示](1)×若時，與不一定平行．(2)√相等向量一定共線，但共線不一定相等．(3)×空間兩個向量一定是共面向量，但三個空間向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)×零向量有方向，它的方向是任意的．2．在三棱錐中，若是正三角形，E為其中心，則eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))化簡的結(jié)果為．[考點]：空間向量的線性運算。[解析]：延長DE交邊BC于點F，連接AF,則有eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))，eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))，故eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\f(3,2)eq\o(DE,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))＝.五．例題講解例：如圖，已知,過平面AC外一點O，作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，使,[求證]：E，F(xiàn)，G，H四點共面。[思路探究]：欲證四點共面，只需證明共面.而由已知共面，可以利用向量運算由共面的表達(dá)式推得共面的表達(dá)式。[證明]：，是由向量共面的充要條件可知，共面，又過同一點E，從而四點共面.六．課堂小結(jié)1.空間向量的概念.2.空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算.3.共線向量（平行向量）的概念及空間向量共線的充要條件及其應(yīng)用.4.共面向量的概念及向量共面的充要條件及其應(yīng)用.七．課堂答疑（一）對共面向量充要條件定理的證明的理解必要性的證明：是根據(jù)平面向量基本定理得出的，比較好理解。充分性的證明：當(dāng)都為或部分為零向量的時候，充分性顯然成立.當(dāng)都不是零向量時，因為分別與共線，所以都在確定的平面內(nèi).又因為是以為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，且此平行四邊形在確定的平面內(nèi)，所以在確定的平面內(nèi)。所以共面由共面向量的充要條件，可以建立平面的參數(shù)方程，將平面用點和向量表示出來，這就是用空間向量解決立體幾何問題的基礎(chǔ).（二）對四點共面充要條件定理的理解空間四點P,M,A,B四點共面等價于存在唯一的實數(shù)對，使;我們將四點共面問題轉(zhuǎn)化為有公共起點的三個向量的共面問題?？臻g四點P、M、A、B共面等價于（其中）我們將四點共面問題轉(zhuǎn)化為空間中同一個起點的向量的線性運算問題。練習(xí)：【詳解】根據(jù)共面向量定理，P,Q,R,S,都寫成以A為起點的有向線段，只需判斷的系數(shù)和是否為1.或者我們也可以將P,Q,R,S,四點共面問題轉(zhuǎn)化為同一起點的三個向量的共面問題來求解。解法2：根據(jù)共面向量定理，P,Q,R,S,都可以寫成以A為起點的有向線段，只需判斷的系數(shù)和是否為1.例1.如圖所示，已知四邊形ABCD，ABEF都是平行四邊形且不共面，M，N分別是AC，BF的中點，判斷與是否共線．思路探究：判斷與是否共線，即判斷是否存在實數(shù)使得成立.[解析]：因為四邊形ABEF為平行四邊形，所以連接AE時，AE必過點N.所以，即與共線．例2.已知:A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若點M滿足.(1).判斷三個向量是否共面；(2).判斷M是否在平面ABC內(nèi)．思路探究：(1).根據(jù)向量共面的充要條件，即判斷是否滿足；(2).根據(jù)(1)的結(jié)論，也可以利用中是否等于1來判斷.[解析]：（1），,∴向量共面．(2).由(1)知向量共面，而它們有共同的起點M，且A，B，C三點不共線，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC內(nèi)．例3.已知:正四棱錐P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點，求下列各式中x，y，z的值．(1).；(2).思路探究：本題考查的是空間向量的線性運算.[解析]:(1).如圖,.(2).∵O為AC的中點，Q為CD的中點，∴,∴，∴，∴x＝2，y＝－2.八．課后習(xí)題1.下列說法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))【答案】B【解析】對于A,|a|＝|b|，說明a與b模長相等，但方向不確定,A錯誤．對于B,對于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，B正確．對于C,只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律,C錯誤.對于D,一般的四邊形不具有eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))，只有平行四邊形才能成立,D錯誤.故選：B2．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C．D．【答案】D【解析】：.故選：D3.如圖，在三棱錐中，E為OA的中點，點F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】：在三棱錐中，E為OA的中點，，所以故選：A4．（多選題）給出下列四個命題，其中是真命題的有（

）A．若存在實數(shù)，，使，則與，共面；B．若與，共面，則存在實數(shù)，，使；C．若存在實數(shù)，，使則點，，A，共面；D．若點，，A，共面，則存在實數(shù)，，使．【答案】AC【解析】：由向量共面定理可知A正確；當(dāng)，為零向量可知B錯誤；由向量共面定理可知共面，又有共始點，所以點，，A，共面，故C正確；當(dāng)，A，三點共線，點P與，A，不共線時可知D錯誤.故選：AC5．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up7(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up7(→))；(3)eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))．【解析】：(1)∵P是C1D1的中點，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．(2)∵N是BC的中點，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\u