《近世代數(shù)》教學大綱 - 《近世代數(shù)》課程教學大綱

《近世代數(shù)》課程教學大綱第一部分大綱說明一、總則本課程的目的和要求：近世代數(shù)不僅在數(shù)學中占有及其重要的地位，而且在學科中也有廣泛的應用，如理論物理、計算機學科等。其研究的方法和觀點，對其他學科產(chǎn)生了越來越大的影響。群、環(huán)、域、模是本課程的基本內容，要求學生熟練掌握群、環(huán)、域的基本理論和方法，并對 的概念有所理解。本課程的主要內容：本課程講授代數(shù)中典型的代數(shù)系統(tǒng)：群、環(huán)、域。要求學生能了解群的各種定義，循環(huán)群，n階對稱元素階，環(huán)中可逆元，零因子、素元，掌握Lagrange分解環(huán)的方法。教學重點與難點：重點：群、正規(guī)子群、環(huán)、理想、同態(tài)基本原理.難點：商群、商環(huán)。本課程的知識范圍及與相關課程的關系集合論初步與高等代數(shù)（線性代數(shù)）是學習本課程的準備知識。本課程學習以后可以繼續(xù)研讀：群論、環(huán)論、模論、李群、李代數(shù)、計算機科學等。二、課程說明課程基本情況（中文）近世代數(shù)（英文）AbstractAlgebra專業(yè)必修課適用對象：本科首選教材：《近世代數(shù)基礎》，張禾瑞，人民教育出版社，1978二選教材：《近世代數(shù)》，吳品三，高等教育出版社，1978年修訂本?？己诵问剑嚎荚嚕ㄩ]卷）教學環(huán)境：課堂。章節(jié)內容章節(jié)內容教學時數(shù)第一章基本概念講授10習題課2第二章第二章第三章第四章群論環(huán)與域整環(huán)里的因子分解201812442《近世代數(shù)》課程的講授為一個學期，共72學時，內容包括第1章到第4四、教學環(huán)節(jié)該課程是理論性較強的學科，由于教學時數(shù)所限，本課程的理論推證較少，因此必須通過做練習題來加深對概念的理解和掌握，熟悉各種公式的運用，從而達到消化、掌握所學知識的目的。由此可知，獨立完成作業(yè)是學好本課程的重要手段。第二部分教學內容和教學要求一、基本概念（一） 、教學內容集合：子集與真子集，并集、交集。映射：映射的定義，以及象與逆象的概念。結合律：結合律的定義。一一映射：滿射、單射、一一映射；變換、單射變換、滿射變換及一一變換。同態(tài)：同態(tài)映射、同態(tài)滿射。同構、自同構：同構映射、自同構。等價關系與集合：關系、等價關系，分類、全體代表團、剩余類。重點：一一映射、同態(tài)、同構、自同構、分類。難點：建立映射關系與同構關系，等價關系與分類之間的相互轉換。（二） 教學基本要求1、理解集合的概念，了解元素與集合之間的關系，以及集合之間的運算。2、理解映射的概念，能在集合之間建立映射關系，并能判斷兩個映射是否相同。3、掌握代數(shù)運算與映射的關系，能建立有限集合之間的運算表。4、掌握將結合律、交換律、第一、第二分配律推廣到n元的定理，并能判斷給定的運算能否滿足結合律、交換律以及兩種分配律。5、掌握一一映射的定義，并能建立兩個集合之間的滿射、單射、一一映射，能判定給定的映射是否是---映射。6、掌握同態(tài)映射的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射的關系，并能判定映射是否是同態(tài)滿射，掌握具有同態(tài)滿射的集合之間的聯(lián)系。7、掌握同構映射和自同構的概念，能區(qū)分同態(tài)與同構的差別，理解兩個具有同構關系的集合之間的關系，并能判定給定的映射和運算是否是同構關系，能建立兩個集合之間的同構映射。8否是等價關系。并熟悉剩余類的基本特性，以便為群、環(huán)提供典型的范例，能建立整數(shù)間給定的模的剩余類。二、群論（一）、教學內容群的定義：群的第一定義、群的第二定義，左、右單位元，左、右逆元的，群的階，有限群和交 群的定義。群的同態(tài)：和一個群同態(tài)的非空集合也是一個群。在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元 a群的同態(tài)：和一個群同態(tài)的非空集合也是一個群。在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元 a逆元的象是a的象的逆。循環(huán)群：循環(huán)群、生成元。整數(shù)加群，剩余類加群，生成元的階。變換群：恒等變換，集合的若干個變換（包含恒等變換）構成的集合作成群，變換群的定義與基 定理。置換群：置換、置換群，對稱群，k-循環(huán)置換，循環(huán)置換的乘積，有限群與置換群的關系。子群：子群的定義，子集成群的充分必要條件，有限子集成群的充分必要條件，S生成的子群。子群的陪集：右陪集、左陪集，左、右陪集個數(shù)的關系。指數(shù)，Lagrange定理，有限群中群的階和兀的階的關系。不變子群、商群：不變子群、商群。難點：變換群、子群的陪集、商群。（二）、教學基本要求1、了解群的第一、第二定義，并掌握兩者之間的等價轉換，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。2、充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群與階的關系，會計算群元素的周期。3、了解有限群的定義，并理解該定義不適用無限群的原因。4并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元aa的象的逆。5循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質。6、熟練掌握變換的符號的運用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質。掌握任何一個群都同一個變換群同構的定理的證明。掌握元素求逆等運算。7、理解置換與置換群的定義與性質，掌握每一個 n元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字的（不相連）的循環(huán)置換的乘積的證明與運用。理解有限群與置換群的同構關系。8、了解子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關系，以及子群與子群之間的關系。9、掌握陪集的定義，以及與等價關系和分類之間的關系，了解子群與陪集之間的映射關系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。10、了解不變子群的定義，能掌握一個群的子群是不變子群的充分必要條件的定理，理解商群的吧，=G/N定義，了解N的階 的意義及其應用。11、能證明一個群同它的每一個商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個具有同態(tài)關系的群之 子群或不變子群的象的性質。并能將子群或不變子群的性質運用到循環(huán)群、變換群等中。三、環(huán)與域（一）、教學內容加群、環(huán)的定義：加群、負元、零元，環(huán)。交換律、單位元、零因子、整環(huán)：交換律、交換環(huán)，單位元、零因子、整環(huán)。除環(huán)、域：除環(huán)、域，除環(huán)的乘群，四元數(shù)除環(huán)。無零因子環(huán)的特征：沒有零因子的環(huán)的性質，特征的定義，整環(huán)、除環(huán)以及域的特征的性質。子環(huán)、環(huán)的同態(tài)：子環(huán)、子除環(huán)，子整域、子域，同態(tài)環(huán)或子環(huán)的性質，同構環(huán)的性質。多項式環(huán)：多項式、系數(shù)，多項式環(huán)，未定元，次數(shù)，多項式的系數(shù)、無關未定兀。理想：理想子環(huán)，零理想，單位理想，主理想。剩余類環(huán)、同態(tài)與理想：模U最大理想：最大理想。重點：環(huán)、域，理想。難點：環(huán)的同態(tài)，最大理想，商域。（二）、教學基本要求1、掌握加群的定義，熟悉環(huán)的定義，環(huán)中的計算規(guī)則。2、理解交換環(huán)的定義，熟悉單位元、逆元和零因子的性質并能熟練運用。掌握消去律與零因子的關系。3、了解除環(huán)的定義，與能舉出域的例子，除環(huán)與加群、乘群的關系，理順環(huán)一交換環(huán)、有單位元 和無零因子環(huán)一整環(huán)、除環(huán)——域的關系。4、熟悉無零因子環(huán)中的計算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)中特征的性質5、理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，熟悉子除環(huán)的子集作成子除環(huán)的條件，了解同態(tài)、同構環(huán)之間的性質，并對環(huán)、除環(huán)的中心有一定的了解。6、了解多項式成環(huán)，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關未定元的作用。7、理解理想子環(huán)的構成，以及零理想、單位理想和主理想的構成，能判斷一個環(huán)是否是理想子環(huán)，和理想子環(huán)是否為主理想子環(huán)。8、理解一個環(huán)的所有模H的剩余類作成的集合也是環(huán)，且與原來的環(huán)同態(tài)。了解在同態(tài)映射下的兩個環(huán)相互之間的關系、性質。9、了解什么是最大理想，且和剩余類環(huán)的關聯(lián)。10、 掌握沒有零因子的交換環(huán)一定是一個域的子環(huán)，了解商域的構成，并掌握同構的環(huán)的商域也 構的定理。四、整環(huán)里的因子分解（一）、教學內容素元、唯一分解：整除，單位、相伴元，平凡因子、真因子、素元，唯一分解。唯一分解環(huán)：唯一分解環(huán)，唯一分解環(huán)的性質。公因子、最大公因子，最大公因子的存在性。主理想環(huán)：主理想環(huán)，主理想和最大理想、分解環(huán)的關系。重點：唯一分解，主理想環(huán)，多項式和多項式的根。難點：唯一分解環(huán)，主理想、最大理想，歐氏環(huán)。（二）、教學基本要求1、了解整除，單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整環(huán)中不等于零的元有真因子的充分而且必要的條件，掌握唯一分解的定義，了解整環(huán)中的元是否都有唯一分解。2、知道唯一分解環(huán)的定義和性質，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判別唯一分解環(huán)的方法。3、理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。4是一個歐氏環(huán)。5進一步的認識。6、了解多項式的根和性質，掌握重根和導數(shù)的定理和推論。第三部分幾點說明1、近世代數(shù)是一門十分活躍又發(fā)展迅速的學科，它的概念眾多、內容豐富，作為一門基礎課，又限于教學時數(shù)，只能擇其最基礎的概念和基本的內容。因此，有的課本就名曰《近世代數(shù)基礎》。本大綱也是著眼這一基礎。2、 高度的抽象是近世代數(shù)的顯著特點，它的基本概念：群、環(huán)、域，對初學者也是很抽象的概念，因此，本課程的講授中，應多講實例以仕解高度的抽象，并舉一些適當?shù)姆蠢?，以加深對概念的正確理解。3、 近世代數(shù)的習題，因抽象也都有一定的難度，但習題也是鞏固和加深理解不可缺少的環(huán)節(jié)，因此 ,適當布置習題是必要的，但為克服做習題的困難，也應適當?shù)纳宵c習題課。4、 伽羅華(Galois)理論，是近世代數(shù)發(fā)展的源泉之一，代數(shù)方程能否用根式解，就是伽羅華理論徹底解決的，因此了解伽羅華理論才顯示出近世代數(shù)抽象的巨大作