西安交通大學(xué)有限元原理與工程應(yīng)用內(nèi)部教材

第一章引言§1-1概述1、有限元方法（TheFiniteElementMethod,FEM）是計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后迅速發(fā)展起來(lái)的一種分析方法。眾所周知，每?種自然現(xiàn)象的背后都有相應(yīng)的物理規(guī)律，對(duì)物理規(guī)律的描述可以借助相關(guān)的定理或定律表現(xiàn)為各種形式的方程（代數(shù)、微分、或積分）。這些方程通常稱為控制方程（Governingequation）o針對(duì)實(shí)際的工程問(wèn)題推導(dǎo)這些方程并不十分困難，然而，要獲得問(wèn)題的解析的數(shù)學(xué)解卻很困難。人們多采用數(shù)值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答。有限元方法就是?種應(yīng)用十分廣泛的數(shù)值分析方法。圖1-1工程問(wèn)題的求解思路有限元方法是處理連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的?種普遍方法，離散化是有限元方法的基礎(chǔ)。然而，這種思想自古有之。齊諾（Zeno公元前5世紀(jì)前后古希臘埃利亞學(xué)派哲學(xué)家）曾說(shuō)過(guò)：空間是有限的和無(wú)限可分的。故，事物要存在必有大小。亞里土多德（Aristotle古希臘大哲學(xué)家，科學(xué)家）也講過(guò)：連續(xù)體山可分的元素組成。古代人們?cè)谟?jì)算圓的周長(zhǎng)或面積時(shí)就采用了離散化的逼近方法：即采用內(nèi)接多邊形和外切多邊形從兩個(gè)不同的方向近似描述圓的周長(zhǎng)或面積，當(dāng)多邊形的邊數(shù)逐步增加時(shí)近似值將從這兩個(gè)方向逼近真解。圖1-2可以用來(lái)表示這一過(guò)程。

近代，這?方法首先在航空結(jié)構(gòu)分析中取得了明顯的效果：一種稱為框架分析法(frameworkmethod)被用來(lái)分析平面彈性體(將平面彈性體描述為桿和梁的組合體)(1941,HrenikofT)；在采用三角形單元及最小勢(shì)能原理研究St.Venant扭轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，分片連續(xù)函數(shù)被用來(lái)在子域中近似描述未知函數(shù)(1943,Courant)o此后，本方法在固體力學(xué)、溫度場(chǎng)和溫升應(yīng)力、流體力學(xué)、流固耦合(水彈性)問(wèn)題，以及航空、航天、建筑、水工、機(jī)械、核工程和生物醫(yī)學(xué)等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。從而，促成了一個(gè)內(nèi)容十分豐富的新興分支——計(jì)算力學(xué)的出現(xiàn)，長(zhǎng)期以來(lái)在力學(xué)中存在的求解手段落后于基本理論的現(xiàn)象得到了根本的扭轉(zhuǎn)。由于擁有了強(qiáng)有力的分析手段，相比之下對(duì)物質(zhì)世界本身(例如本構(gòu)關(guān)系)的了解反而出現(xiàn)了一些新的薄弱環(huán)節(jié)。有限元方法的第二個(gè)關(guān)鍵時(shí)期出現(xiàn)于二十世紀(jì)六十年代中期，歸功于Argyris,和Kelsey(1960)以及Turner,Clough,Martin和Topp(1956)。然而，"有限單元”是由Clough首次提出的(I960).在眾多數(shù)學(xué)家的共同努力下，有限元方法的基本原理被揭示以后，這種方法擺脫了各種各樣的工程背景而成為一種具有普遍意義的數(shù)學(xué)方法。這樣就不僅極大地?cái)U(kuò)展了該方法的應(yīng)用范圍，而且拓寬了人們的思路，在構(gòu)造方法時(shí)人們不再受工程直覺(jué)的束縛。2、眾所周知，一個(gè)連續(xù)體有無(wú)限多個(gè)自由度(屬于無(wú)限維空間)，有限元方法則是將它轉(zhuǎn)化成一個(gè)有限自由度(屬于有限維空間)，建立有限元方程，求其近似解。可以將有限元法理解為在子域內(nèi)應(yīng)用的瑞利―里茲法(Rayleigh—RitzMethod).在傳統(tǒng)的瑞利―里茲法中，必須假定近似的位移函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)有良好連續(xù)性。然而，實(shí)際的工程結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜。例如，變壓器的箱體可以看成是由板和梁的組合結(jié)構(gòu)；管道系統(tǒng)中的閥門(mén)、接頭和三通表現(xiàn)為集中質(zhì)量。在數(shù)學(xué)的描述上，這些實(shí)際情況表現(xiàn)為間斷點(diǎn)，在這些部位函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(及應(yīng)變)是不連續(xù)的。因此，瑞利―里茲法的工程應(yīng)用受到了限制。另外，對(duì)于二維及三維的工程結(jié)構(gòu)，如果其幾何邊界不規(guī)則，要尋找滿足邊界條件的連續(xù)的近似位移函數(shù)是極其困難的。在有限元方法中，由于利用了分片插值技術(shù)，連續(xù)體(區(qū)域)的形狀可以不受任何限制。而這一難題正是以前其他分析方法所難以克服的。圖1-3給出了有限元法與傳統(tǒng)的有限差分法在描述同一對(duì)象時(shí)的比較。有限差分法有限單元法有限差分法建立有限元方程大體有三類方法：（1）直接方法這種方法是直接從結(jié)構(gòu)力學(xué)引伸過(guò)來(lái)的，作為一種建立有限元方程的方法而言，只在簡(jiǎn)單情況下才能湊效。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單、易于理解，一些基本概念和作法的物理意義清晰，對(duì)理解有限元方法的相關(guān)概念和具體作法十分有益。（2）變分方法這種方法是討論有限元方法時(shí)最常用的一種形式。有限元方法最早的嚴(yán)格理論論證就是以這種形式給事的。變分方法主要用于線性問(wèn)題，該方法要求被分析的問(wèn)題存在一個(gè)“能量泛函”，由泛函取駐值建立有限元方程。對(duì)丁?線性彈性問(wèn)題就表現(xiàn)為最小勢(shì)能原理、最小余能原理或其他形式的廣義變分原理。對(duì)?于某些非線性問(wèn)題（彈塑性問(wèn)題）的虛功方程也可歸于這一類。本書(shū)主要利用這種形式。（3）加權(quán)殘值法對(duì)于線性自共瓶形式方程，加權(quán)殘值法可能和變分法得到相同的結(jié)果，這將使我們得到一個(gè)對(duì)稱的剛度矩陣。對(duì)于那些“能量泛函”不存在的問(wèn)題（主要是一些非線性問(wèn)題和依賴于時(shí)間的問(wèn)題）加權(quán)殘值法是一種很有效的方法。伽遼金Galerkin）法（即，選形函數(shù)為權(quán)函數(shù)的加權(quán)殘值法）屬于這一類。3、計(jì)算機(jī)和應(yīng)用程序要用有限元方法的理論來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題離不開(kāi)計(jì)算機(jī)（硬件）和程序（軟件），人們大體要完成以下四方面的工作：（1）數(shù)據(jù)儲(chǔ)存應(yīng)用有限元方法求解實(shí)際問(wèn)題時(shí)，在計(jì)算過(guò)程中要存貯大量數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)、中間數(shù)據(jù)和最終結(jié)果）。對(duì)于一個(gè)中等規(guī)模以上的算題，數(shù)據(jù)量相當(dāng)可觀。例如，一個(gè)不到500個(gè)結(jié)點(diǎn)的板殼結(jié)構(gòu)（中等規(guī)模）的算題，要占用18MB的外存空間，在處理規(guī)模稍大的算題時(shí)一定要有足夠的外存空間。（2）數(shù)據(jù)管理為了充分利用存貯空間，編制程序時(shí)要注意到存貯空間的利用率。（3）數(shù)值計(jì)算計(jì)算成本主要取決于數(shù)值運(yùn)算的時(shí)間，盡量選用先進(jìn)的計(jì)算方法，提高求解效率。（4）前處理及后處理為了減少人工準(zhǔn)備原始數(shù)據(jù)的工作量，程序要有盡可能完善的“自動(dòng)生成“功能。由程序產(chǎn)生一部分原始數(shù)據(jù)。盡管如此，對(duì)于中等規(guī)模以上的算題來(lái)說(shuō)，準(zhǔn)備原始數(shù)據(jù)仍然是一件繁重的工作。數(shù)據(jù)是否沒(méi)有差錯(cuò)，往往決定著一次上機(jī)的成敗。分析計(jì)算結(jié)果也是一件繁重的工作，一個(gè)好的程序應(yīng)有較完善的后處理功能。例如，將計(jì)算結(jié)果繪制成圖形或曲線。有限元分析軟件可分為通用軟件和專用軟件，下面的表格簡(jiǎn)略的介紹了一些近年來(lái)國(guó)內(nèi)外著名的分析軟件，供讀者參考。編號(hào)軟件名稱二維桿單元=維梁?jiǎn)卧矫鎽?yīng)力單元平面成變單元薄膜單兀剪切板單元彎曲板單元薄殼單元厚殼單元旋轉(zhuǎn)克中元軸對(duì)稱體單元三維體單元邊界單元間隙單元啞單元標(biāo)量單元?jiǎng)傂詥卧?ANSYSLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM2ADINALGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM3MARCLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM4NASTRANLGLGMLGMLGMLLGLGLGLGMLLLGMLLGM☆☆☆5ABAQUSLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM6FENRJSLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM7PAFECLGLGLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLLGM8ASKALMLMLMLM1.MLMLMLMLMLMLMLM9EALLGLGLGLG1GLGLGLGLGLG10SAMCEFLGMLLGMLGMLLLLLGMLGMLGMLGMLGIILARSTRAN80LGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGMLGM12HAJIF系列LGMLGMLGMLGM1GMLMLGMLGMLGMLLLGML注：L一線性、G—幾何非線性、M—材料非線性表1-2有限元軟件的應(yīng)用領(lǐng)域編號(hào)軟件名稱線性靜力分析同仃振動(dòng)分析屈曲分析非線性靜力分析后屈曲分析非線性接fell分析非線性振動(dòng)分析非線性瞬態(tài)響應(yīng)分析波的傳播分析流體與構(gòu)耦合分析熱叮機(jī)械耦A(yù)口分析粘塑性分析動(dòng)力粘塑性分析靜力敏度分析固有特性敏度分析屈曲敏分析動(dòng)態(tài)響應(yīng)敏度分析iANSYS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2ADINA☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3MARC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4NASTRAN☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5ABAQUS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6FENRJS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7PAFEC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8ASKA☆☆☆☆☆9EAL☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10SAMCEF☆☆☆☆☆☆☆☆☆11LARSTRAN80☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆12HAJIF系列☆☆☆☆☆☆表1-3有限元軟件的載荷計(jì)算功能編號(hào)軟件名稱集'I1找荷紋載荷對(duì)稱我荷面我荷體積我荷力我荷初始變形熱我荷離心我荷跟隨力1活我循環(huán)我荷隨機(jī)載荷陀螺載荷非比例我荷瞬態(tài)沖擊我荷接觸我荷IANSYS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2ADINA☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3MARC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4NASTRAN☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5ABAQUS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6FENRJS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7PAFEC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8ASKA☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆9EAL☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10SAMCEF☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆11LARSTRAN80☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆12HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆編號(hào)軟件名稱各向同性正交各向異性多層材料非均質(zhì)材料熱彈性熱塑件線彈性非線性彈性彈邛性彈性力硬化粘彈性粘塑性高溫端變1ANSYS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2ADINA☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3MARC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4NASTRAN☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5ABAQUS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6FENR1S☆☆☆☆☆☆7PAFEC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8ASKA☆☆☆☆☆☆☆☆☆9EAL☆☆☆☆☆☆10SAMCEF☆☆☆☆☆☆☆☆☆11LARSTRAN80☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆12HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆表1-5有限元軟件的模塊化功能編號(hào)軟件名稱固定格式數(shù)據(jù)riIII格式數(shù)據(jù)面向問(wèn)即的語(yǔ)言用戶安排的數(shù)據(jù)順序系統(tǒng)安排的數(shù)據(jù)順序節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)自由生成單元連接信息自由生成約束對(duì)稱性邊界條件口動(dòng)生成子結(jié)構(gòu)連接信息自動(dòng)生成相同部件的h動(dòng)重復(fù)生成載荷fl動(dòng)生成維單元信息的自動(dòng)生成角形單元的自動(dòng)生成四邊形單元的II動(dòng)生成旋轉(zhuǎn)體殼單元的自動(dòng)生成維實(shí)心單元的自動(dòng)生成1ANSYS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2ADINA☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆3MARC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4NASTRAN☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5ABAQUS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6FENRIS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7PAFEC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8ASKA☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆9EAL☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10SAMCEF☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆11LARSTRAN80☆☆☆☆☆☆☆☆12HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆表1-6有限元軟件的前后處理功能編號(hào)軟件名稱維單元ri動(dòng)生成相貫線自動(dòng)生成數(shù)據(jù)檢作的交國(guó)形技術(shù)未變形結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格圖形'|1<示窗口顯示隱藏線消除軸側(cè)視圖透視圖剖面圖節(jié)點(diǎn)與單元重新編號(hào)數(shù)據(jù)的列表檢杳法固定格式的列表輸出由用戶確定的數(shù)組和順年輸出最大lj最小吊輸出按節(jié)點(diǎn)分區(qū)的最?大值與最小值輸出應(yīng)力溫度流量極限輸出用于用戶后處理的文件1ANSYS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆2ADINA☆☆☆☆☆☆☆☆-V☆☆☆☆☆3MARC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆4NASTRAN☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆5ABAQUS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆6FENRIS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆7PAFEC☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆8ASKA☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆9EAL☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆10SAMCEF☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆J1LARSTRAN80☆☆☆☆☆☆☆12HAJIF系列☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆編號(hào)軟件名稱溫度、流量與應(yīng)力等直線繪圖面函數(shù)繪圖用戶選擇項(xiàng)目繪圖1按元素或區(qū)域時(shí)間歷程繪圖參數(shù)規(guī)定奇異性檢查錯(cuò)誤修正對(duì)用戶的服務(wù)熱線電話咨詢培訓(xùn)錄像帶信息報(bào)刊開(kāi)發(fā)單位編程語(yǔ)言（程序規(guī)模）1ANSYS☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆SwansonAnalysisSystem（美國(guó)）F0RTRAN77（150000行）2ADINA☆☆☆☆☆☆☆A(yù)DINA工程公司（美國(guó)）FORTRAN（150000行）3MARC☆☆☆☆☆☆☆☆☆MARC公司（美國(guó)）F0RTRAN4F0R66F0R77（100000行）4NASTRAN☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆NASA（美）主持MSC公司（美）開(kāi)發(fā)F0RTRAN4Assembler（600000行）5ABAQUS☆☆☆☆☆☆Hilbitt,Karlson,andSorensen公司（美）F0RTRAN77（140000行）6FENRIS☆☆☆☆☆☆☆NTH,SINTEF（挪威）F0RTRAN77（160000行）7PAFEC☆☆☆☆☆☆☆☆☆PAFEC公司（美）FORTRAN（400000行）8ASKA☆☆☆☆☆☆☆斯圖加特大學(xué)靜動(dòng)力學(xué)研究所（西德）F0RTRAN4（600000行）9EAL☆☆☆☆☆☆☆☆E1SE公司（美）ANSIF0R66Assembler（150000行）10SAMCEF☆☆☆☆☆☆L.T.A.S（比利時(shí)）FORTRAN4（300000行）11LARSTRAN80☆☆☆☆斯圖加特大學(xué)靜動(dòng)力學(xué)研究所（西德）F0RTRAN4FORTRAN77（200000行）12HAJIF系列☆☆航空部（中國(guó)）FORTRAN4（280000行）至今，有限單元方法已有50多年的歷史，盡管研究工作目前仍在繼續(xù)進(jìn)行，應(yīng)該說(shuō)該方法已經(jīng)是?種成熟的分析方法，而且已經(jīng)十分普及。在許多高等院校，該方法已成為研究生和高年級(jí)本科生的選修課或必修課，眾多的工程技術(shù)人員已經(jīng)將該方法作為常用的分析工具。§1-2典型問(wèn)題在有限元分析具體問(wèn)題時(shí)，其基本未知量為某種場(chǎng)變量。場(chǎng)變量可以是標(biāo)量（溫度t）,也可以是矢量（位移3,E,日）。（最后處理的實(shí)際上都是標(biāo)量）每個(gè)具體的工程問(wèn)題總有一個(gè)確切的定義域空間：絕大多數(shù)具體的工程問(wèn)題是二維或三維的（二維往往是對(duì)三維的筒化）。另外還可以將問(wèn)題分為有限維問(wèn)題和無(wú)限維問(wèn)題，例如:有限維：曲軸、飛機(jī)構(gòu)件、汽輪機(jī)葉片；無(wú)限維：電場(chǎng)、磁場(chǎng)、聲場(chǎng)、水壩。適用有限元方法分析的工程問(wèn)題中最具代表性的問(wèn)題是力學(xué)問(wèn)題，由于有限元方法的問(wèn)世源于力學(xué)問(wèn)題，因此許多概念帶有明顯的力學(xué)特征，其次，力學(xué)問(wèn)題代表性強(qiáng)，力學(xué)量的矢量特性。共粗量（位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)）直觀性強(qiáng)。（1）力學(xué)：位移場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、速度場(chǎng)（2）傳熱學(xué)：溫度場(chǎng)（3）電學(xué)：電場(chǎng)、磁場(chǎng)（4）流體力學(xué)：流場(chǎng)（5）聲學(xué)：聲場(chǎng)§1-3有限單元方法處理問(wèn)題的基本步驟(文本或圖形)

輸出結(jié)果(文本或圖形)

輸出結(jié)果圖is有限元方法處理問(wèn)題的流程1、將給定的區(qū)域離散化為子區(qū)域（單元）的集合。離散化的目的是使問(wèn)題的性質(zhì)在每一單元內(nèi)盡量簡(jiǎn)單。一般情況下，單元內(nèi)部不能存在任何間斷性。離散化的目的另一作用是使單元的幾何形狀盡可能的吻合實(shí)際問(wèn)題的幾何邊界。（i）用預(yù)先選定的單元類型來(lái)劃分求解域，創(chuàng)建有限元網(wǎng)格；（ii）給單元及節(jié)點(diǎn)編號(hào)；（iii）創(chuàng)建幾何特性（例如：坐標(biāo)系，橫截面的面積等）。2、對(duì)有限元網(wǎng)格中現(xiàn)存的各種典型單元進(jìn)行單元分析。利用各種方法形成單元的剛度矩陣、載荷矩陣及質(zhì)量矩陣（動(dòng)力分析需要質(zhì)量矩陣），這里就需要選擇近似的插值函數(shù)（位移模式），在直角坐標(biāo)系中通常采用多項(xiàng)式函數(shù)，在圓柱坐標(biāo)系中則常采用三角函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的混合形式。山于同類的單元可以采用相同的位移模式，因此只需對(duì)典型的單元進(jìn)行單元分析。(i)對(duì)各典型單元?jiǎng)?chuàng)建與其微分方程等價(jià)的變分形式；(ii)假設(shè)典型的獨(dú)立變量(Trialfunction)(例如〃)的形式為/=1(iii)將上式代入變分形式，并得到卜的=\f\(iv)推導(dǎo)或選擇單元插值函數(shù)已計(jì)算相關(guān)的單元矩陣。3、將單元方程合并為總體方程組(i)給出局部自由度與總體自由度之間的關(guān)系(此關(guān)系反映了基本變量在單元之間的連續(xù)性或單元之間的連接性)：(ii)給出二階變量之間的“平衡條件”(局部坐標(biāo)系中的力分量與總體坐標(biāo)系中的力分量之間的關(guān)系)；(iii)依據(jù)迭加性質(zhì)及以上兩步對(duì)單元方程進(jìn)行合并。4、施加邊界條件。5、求解總體方程。6、輸出結(jié)果§1-4有限元方法的組成模塊§1-5基本未知量的選擇和有限元方法的分類1、位移單元以位移做為基本未知量，幾何關(guān)系和彈性關(guān)系精確滿足，平衡方程只能近似滿足(近似解)。優(yōu)點(diǎn)：未知量少；缺點(diǎn)：位移精度好，應(yīng)力精度低。位移單元又分為兩種：協(xié)調(diào)單元和非協(xié)調(diào)單元。位移單元是目前應(yīng)用最廣的一類單元。2、平衡單元以應(yīng)力或應(yīng)力函數(shù)為基本未知量，以應(yīng)力協(xié)調(diào)關(guān)系(或最小余能原理)建立有限元方程。3、雜交(混合)單元同時(shí)以位移和應(yīng)力為基本未知量。這種單元在處理板、殼問(wèn)題時(shí)有顯著的優(yōu)點(diǎn)?！?-6結(jié)束語(yǔ)現(xiàn)代仃限元方法起源「矩陣結(jié)構(gòu)分析方法，經(jīng)過(guò)科學(xué)家和數(shù)學(xué)家的工作已經(jīng)使其不斷成熟完善，從而變成工程分析中一種處理偏微分方程邊值問(wèn)題的最有效的數(shù)值方法之一，對(duì)于工程中的許多場(chǎng)變量的定解問(wèn)題，通過(guò)此方法可以得到滿足工程要求的近似解。應(yīng)用此方法在對(duì)于連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題分析時(shí)，首先要將求解域離散化，然后的中心工作是單元分析(要用插值函數(shù)近似表達(dá)場(chǎng)變量)，即建立結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系(形成單元?jiǎng)偠染仃?。此后的工作可以認(rèn)為是程式化的工作，即組裝總體方程和求解此方程，在解方程時(shí)要用到數(shù)值積分。變分原理在有限元方法中有重要的作用，在許多場(chǎng)合依據(jù)變分原理可以給出總體方程合理性的滿意解釋。創(chuàng)建新型單元的工作仍在不斷進(jìn)行，人們始終沒(méi)有放棄構(gòu)造新型的功能更強(qiáng)、性質(zhì)更優(yōu)的單元的努力。參考文獻(xiàn)P-G?西阿萊，“有限元素法的數(shù)值分析”，蔣爾雄等譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版(1978)。G?斯特朗，G?J費(fèi)克斯，“有限元法分析”，崔俊芝等譯，科學(xué)出版社(1983)。[3]姜禮尚，龐之恒，''有限元方法及其理論基礎(chǔ)”。人民教育出版社(1979)。[4]陳傳淼，''有限元方法及其提高精度的分析”，湖南科學(xué)技術(shù)出版社(1982)*[5]歐陽(yáng)#，馬文華等，“彈性塑性有限元”，湖南科學(xué)技術(shù)出版社(1983)R?DCook,“有限元分析的概念和應(yīng)用”，程耿東譯，科學(xué)技術(shù)出版社S?S?RAD,"THEFINITEELEMENTMETHODINENGINEERINGS1980)R,Glowinski,E,YRodin,O,CZienkiewicz,“EnergyMethodsinFiniteElementAnalysis”,。978)J,E,AKIN,“ApplicationandImplementationofFiniteElementMethods”(1982)I?霍拉德，K?貝爾，“有限單元法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用"，凌復(fù)華譯，國(guó)防工業(yè)出版社(1978).[11]董平，J?N?羅賽托斯，“有限單元法一一基本方法與實(shí)施”，張圣坤等譯，國(guó)防工業(yè)出版社,(1979)G,P,Bazeley,Y?K?Cheung,B?M,Irons,C,C,Zienkiewicz,''Triangularelementsinplatebending conformingandnonconformingsolutions”,Wright----pattersonI(1965)H?G,Schaeffer,“AreviewoftheinternationalSymposiumonstructuralmechanicsSoftware”,ComputersandStructuresVol.8No.51978*[14]J.N.Reddy:ANINTRODUCTIONTOTHEFINITEELEMENTMETHOD.McGraw-HillBookCompany.1984.*[15]王勖成，邵敏：“《有限單元法基本原理和數(shù)值分析方法》清華大學(xué)出版社，1997[16]譚建國(guó)：《使用Ansys6.0進(jìn)行有限元分析》北京大學(xué)出版社，2002.5.*[17]吳鴻慶，任俠：《結(jié)構(gòu)有限元分析》中國(guó)鐵道出版社，2000*[18]朱伯芳：《有限單元法原理與應(yīng)用》中國(guó)水利水電出版社，1998.10注：* 主要參考書(shū)第二章結(jié)構(gòu)矩陣分析由于有限元方法起源于力學(xué)中的結(jié)構(gòu)分析，本章的作用是通過(guò)三個(gè)典型問(wèn)題說(shuō)明有限元方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析時(shí)的?般步驟，并借此了解有限元方法的一些基本概念?！?-1平面桁架（直接法，結(jié)構(gòu)矩陣分析中常用的力法，處理靜定問(wèn)題，位移法，可處理靜定&靜不定）本節(jié)討論的時(shí)象是圖2-1所示的平面桁架。組成桁架的各桿為等截面直桿，外載荷p直接作用于桿的錢接點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）上。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)不妨設(shè)各桿的截面積均為A,材料的彈性模量均為E。我們可按下述步驟求得桁架的變形和內(nèi)力。圖2圖2—1圖2—21、結(jié)構(gòu)的離散化對(duì)結(jié)點(diǎn)及單元編號(hào)取組成桁架的每根桿為一個(gè)單元（該問(wèn)題本身為一離散結(jié)構(gòu)的力學(xué)問(wèn)題），以①，②，③加以編號(hào)；取桿的較接點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，以1、2、3加以編號(hào)（總體結(jié)點(diǎn)序號(hào)）。如圖2—2所示，即：我們所討論的桁架包括三個(gè)單元、三個(gè)結(jié)點(diǎn)。各單元（桿）僅在結(jié)點(diǎn)處連接。2、建立總體坐標(biāo)系并確定結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和自由度為了描述結(jié)構(gòu)的平衡需要建立一個(gè)坐標(biāo)系，稱為總體坐標(biāo)系，以區(qū)別于以后出現(xiàn)的“局部坐標(biāo)系”。總體坐標(biāo)系的選擇原則上不受限制，但希望使用方便。本節(jié)所選的總體坐標(biāo)系示于圖2-2,坐標(biāo)原點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)1重合。以u(píng),v分別表示沿方向的位移分量，p.q分別表示力沿乂y軸的力分量（投影）。在總體坐標(biāo)系中各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（xi,yi）=（0,0（X2,y2）=（a,a）、（x3,y3）=（a,0） xupTOC\o"1-5"\h\z它們將作為程序的輸入數(shù)據(jù)（幾何參數(shù)）。 /每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)自由度，對(duì)結(jié)點(diǎn)1、2、3分別為T(mén) T T yVq /1{?/.V/} 、{U2>V2} 、 {W5.Vj}yvq/若暫時(shí)不考慮支承約束條件，整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)自由度 \ 7為 \/\u {tilV1U2v2U3V）}' y1? xup3、單元分析（建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系） *取一個(gè)一般性的單元，設(shè)它的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)中的編號(hào)為（單元內(nèi)部的結(jié)點(diǎn)序號(hào)）。由材料力學(xué)可知，桿 圖2.3的軸向剛度為EA/L。其中L為桿的長(zhǎng)度：

L= +(yj-yi)（1）單元局部坐標(biāo)系現(xiàn)選取一典型單元對(duì)其進(jìn)行單元分析，對(duì)所分析的單元按如下方式建立一個(gè)坐標(biāo)系：原點(diǎn)：與結(jié)點(diǎn)i重合，x軸：沿ij方向,y軸：與x軸垂直。如圖2?3所示。這個(gè)坐標(biāo)系只屬于一個(gè)單元，故稱為單元局部坐標(biāo)系，不同單元的單元局部坐標(biāo)系一般是不相同的。在單元局部坐標(biāo)系中可以規(guī)定：結(jié)點(diǎn)自由度 {〃jN：}'， {UJVy}T；單兀結(jié)點(diǎn)自由度 =V,iMj%}丁。（2）局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囋谕廨d荷作用下，結(jié)構(gòu)發(fā)生變形，單元必受到來(lái)自結(jié)點(diǎn)的作用力。桁架中的桿只承受軸向力S,大小與桿的軸向伸長(zhǎng)△L成正比在局部坐標(biāo)系中這種特性可以得到清楚的表述（這一點(diǎn)也是引入局部坐標(biāo)系的理由之一）。若以pt,qi,pj,qj分別表示結(jié)點(diǎn)i,/作用于單元的力在x,y軸上的投影，由①號(hào)單元的靜力平衡有（圖2-3）有，_EA.,,、Pj= （"二％） 、*=q：=Q -p[=—s= ~u，*=q：=Q -用矩陣的形式可以寫(xiě)成若引入單元廣義力矢量：{/}={p；q\*則上式可縮寫(xiě)為(2-1-2)0(2-1-2)00(2-1-3)0■10-1陽(yáng)2°°°A-101000

稱為局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，它只與桿的幾個(gè)參數(shù)E、A、L有關(guān)，與桿的方位無(wú)關(guān)。(3)坐標(biāo)變換局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚬胶?jiǎn)捷。但不同單元的局部坐標(biāo)系一般不同，為了研究結(jié)構(gòu)整體的平衡，必須將結(jié)點(diǎn)給單元的力以及相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換到統(tǒng)的坐標(biāo)系——總體坐標(biāo)系。在總體坐標(biāo)系中單元結(jié)點(diǎn)自由度 ｛0｝=｛斯V；UjVj｝T結(jié)點(diǎn)給單元的力 ｛工｝=｛科QiPj%｝T在圖2-3中，x'軸與x軸的夾角為a結(jié)點(diǎn)的位移分量的坐標(biāo)變換為sina=八%>=cosasina>=[4Uj一sinacosaVjY,Lu結(jié)點(diǎn)的位移分量的坐標(biāo)變換為sina=八%>=cosasina>=[4Uj一sinacosaVjY,Luj\/>―cosasina■=Huj一sinacosakJ單元的位移分量的坐標(biāo)變換為%cosasina0o—%/匕<r?=-sinacosa00匕■=[t｝匕%00cosasinaUjuj—00一sinacosaVJ.vj.(2-1-4)或縮寫(xiě)為怔｝=［施｝類似，｛[｝與位｝之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為怔｝=[選｝ (*5)由于[]cosasina—sinacosa (2-1-6)是正交矩陣，因此[T]=(2-1-7)也是正交矩陣。所以有將(2-1-4).(2-1-5)代入(2-1-2)有一比—旭｝從上式可得到.=[T]Tk]T旭｝=燉｝ (2-1-8)其中M=[t]T[^It] (2-1-9)稱為單元在總體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。以后將?huì)看到，(2-1-9)是一個(gè)具有普遍意義的公式。它表明，當(dāng)單元的自由度由一種形式換成另一種形式時(shí)，單元?jiǎng)偠染仃囍恍柽M(jìn)行一次相似變換。對(duì)于平面桁架單元，將(2-1-3)、(2-1-6)、(2-1-7)代入(2-1-9)可得到更便于應(yīng)用的單元?jiǎng)偠染仃嚬絚os2a

cos2a

cosasina

-cos2a

-cosasinacosasina

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一cosasina

一sin2a2-cosa一cosasinacos2a

cosasina-cosasina

一sin2a

cosasina*2sina(2-1-10)(4)具體結(jié)果由(2-1-10)可求得各單元的剛度矩陣的具體形式如下：?jiǎn)卧伲簡(jiǎn)卧杂啥龋麑OV；u2v2｝T,a=45°單元?jiǎng)偠染仃嚍閇4=-a[4=-aVI4vi4v2-4后一4-723T一4近一4￥￥￥￥V2-4V2-4V24724單元②：?jiǎn)卧杂啥葅〃2曠2 丫3}Ta=-90°單元?jiǎng)偠染仃嚍?00O'r.1EA010-1陽(yáng)2=a0000(2-1-12)0-101單元③：?jiǎn)卧杂啥葅UjVju3\屋3}T，a=0°單元?jiǎng)偠染仃嚍椤?0-10r.iEA0000l勺3=a-1010(2-1-13)0000請(qǐng)注意，單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元自由度中位移分量的排列次序有關(guān)。如果改動(dòng)這種排列次序,例如對(duì)①號(hào)單兀，將單兀自由度次序山｛〃/V/〃2W｝T改為｛〃2也V/｝T?必然導(dǎo)致剛

度矩陣(2-1-11)元素位置的變動(dòng)。(5)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x和特點(diǎn)設(shè)平面桁架單元在總體坐標(biāo)系中剛度矩陣的一般形式為同=2131k.k.k.131444同=2131k.k.k.131444由(2-1-8),當(dāng)單元結(jié)點(diǎn)位移為｛10)丁時(shí)，在單元各結(jié)點(diǎn)上施加的力剛好為單元?jiǎng)偠染仃囍械牡谝涣校海鹝u心k3.k“｝\對(duì)［k］的其他各列也可做出類似的解釋。即單元?jiǎng)偠染仃嚨拿恳涣邢喈?dāng)于一組特定位移下的結(jié)點(diǎn)力，如表27所示。由圖24可以獲得更為直觀的理解。表2T平面桁架上臺(tái)元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x單元結(jié)點(diǎn)位移作用于單元的結(jié)點(diǎn)力{1000}T{女〃k21kuk4i}T{0100}T{^12女22女32自2}T{0010}T[如3223%33自3}{0001}T{k[4左24234如}T圖2-4對(duì)圖2-4中的各種情況，據(jù)平面力系的平衡條件應(yīng)有3+*=ok2s+%4s=0(X,fh-(匕-xh=。"(S=l?4)

這三個(gè)關(guān)系說(shuō)明，［k］的四個(gè)行向量中只有一個(gè)線性獨(dú)立（四個(gè)元素有三個(gè)約束方程）。從以上分析可以看出，一般的單元?jiǎng)偠染仃嚲邆湟韵聝蓚€(gè)特征。（對(duì)平面桁架單元而言，從（2-1-10）也可以得出這些結(jié)論）（i）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣，這是線性系統(tǒng)互易定理的具體體現(xiàn)。由于對(duì)稱性，對(duì)行向量或列向量?jī)烧咧坏玫降慕Y(jié)論，對(duì)另一個(gè)也適用。（ii）單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?。它的行向量（或列向量）線性相關(guān)，具有零特征值，det［k］=0.對(duì)平面桁架的單元?jiǎng)偠染仃嚩?，它的四個(gè)行向量（或列向量）中只有一個(gè)線性獨(dú)立，而［k］有三個(gè)零特征值。這三個(gè)零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相當(dāng)于三種獨(dú)立的剛體位移模式：兩個(gè)平移，一個(gè)旋轉(zhuǎn)。這是我們?cè)趩卧治鲋胁豢紤]位移約束條件的自然結(jié)果。4、總體剛度矩陣的組裝 總體平衡方程將圖2-1所示的桁架中的支承約束以約束反力代替，如圖2-5所示。下面來(lái)建立平衡問(wèn)題的有限元方程。（1）結(jié)點(diǎn)平衡條件作用于圖2-5每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的外載荷、支座反力以及來(lái)自單元的力應(yīng)處于平衡。以p產(chǎn)、q!m,示結(jié)點(diǎn)i作用于單元m的力在x,y以p產(chǎn)、q!m,的力在x,丁軸上的投影應(yīng)為一p”、一%的。對(duì)結(jié)點(diǎn)1：對(duì)結(jié)點(diǎn)1：對(duì)結(jié)點(diǎn)2：對(duì)結(jié)點(diǎn)3；可以合并成仇⑴:0圖2—50/⑶&YP2⑴?+?Pl(2)0Pq”0夕2⑵P3⑵?TV0P3⑶00(2-1-14)04、.犬3y.式（2-1-14）的右邊為外載荷和支反力。左邊則為單元給結(jié)點(diǎn)的力，它們是未知的，但可以借助單元?jiǎng)偠染仃囈越Y(jié)點(diǎn)位移來(lái)表示。（2）單元?jiǎng)偠染仃嚨臄U(kuò)充為了表示（2-1-14）左邊的各個(gè)列向量，設(shè)想將每個(gè)單元的自由度擴(kuò)充到與結(jié)構(gòu)總體自由度相同（本例為6）,并在單元?jiǎng)偠染仃囍醒a(bǔ)充零元素，由（2-1-11）、（2-1-12）,（2-1-13）和（2-1-8）可以用結(jié)點(diǎn)位移表示（2-1-14）左邊的各列向量。由單元①(2-1-15)ooooooooooooV24vi4vi-4^-4ooV24&4VI-4VI-4Oo收一4a一4vi4VI40oV24V2一4->/2丁-V240on⑴〕P\c⑴qIP2⑴EA>= 夕2⑴a00由單元②(2-1-16)000000'"1"10000004K000000>=[k]2,M,*2200010-1匕匕000000町"3000-10I_V3.EAa?、?。3⑵S'"由單元③(回+皿+吼乂w,(回+皿+吼乂w,viU2%"3.V3.pF■I000-Io-s<7i<3>000000vlvl0EA000000u2r.iu20?—1，a000000V2>=團(tuán)3,V2> (2-1-17)(3)P3一100010"3“3(3)[<?3000000V3.(3)組裝總體剛度矩陣將(2-1-15)、(2-1-16),(2-P-17)代入(2-1-14)得到&x'&丫

P00.R3y.其中%&x匕段丫"2*=?P>0匕“30&Y.(2-1-18)1+2+3=（2-M9）上式稱為沒(méi)有考慮位移約束條件情況卜的總體剛度矩陣（求和對(duì)所有單元進(jìn)行）。時(shí)本節(jié)所分析的平面桁架有4-14-1000-叵-亞1n4J54V乙00V,R44y\V200u2<p>=<> (2-1-20)44V20V2V2.——+10-1"30440010I'3J3yJ0-101_要形成總體平衡方程（2-1-18）,只需組裝出它的右端項(xiàng)和總體剛度矩陣［?就足夠了，這只是同一件事的兩種不同的提法而已。（2-1-19）用來(lái)“書(shū)寫(xiě)”組裝總剛度矩陣的過(guò)程是簡(jiǎn)單而明了的。但事實(shí)上不能這樣做,將所有［k］m補(bǔ)充零元素?cái)U(kuò)充為［?m極大地浪費(fèi)了寶貴的存貯空間，這些零元素僅起到使白益的元素在總剛度矩陣中就位的作用。實(shí)際上采用的是另一種方法。如果已選定各結(jié)點(diǎn)位移在結(jié)構(gòu)總體自由度中的排列次序?yàn)閧川V,U2V2U3V3}T,對(duì)每個(gè)單元在形成單元?jiǎng)偠染仃嚨耐瑫r(shí)還形成了個(gè)定位數(shù)組LM,它將指出單元自由度的各分量在總體自由度中的序號(hào)，如下表：?jiǎn)卧?hào)單元自由度LM(1)LM(2)LM(3)LM(4)①{UiV1U2V2了1234②T{U2V2U3V3}3456③{uiviU3V3)11256單元?jiǎng)偠染仃囍械趕行第t列的元素kst加到總剛度矩陣的第LM（s）行LM⑴列即可。這一組裝總體剛度矩陣的方法被形象的稱為“對(duì)號(hào)入座二從（2-1-20）可以看出面是奇異陣，它的六個(gè)行向量（或列向量）中只有三個(gè)線性獨(dú)立。這是尚未考慮位移約束條件，結(jié)構(gòu)的剛體位移未受到限制的必然結(jié)果。

(4)引入位移約束條件由圖2-1,平面桁架的位移約束條件為(2-1-21)U］=V|=V3=0(2-1-21)代入方程(2-1-18),得到EAa子后JJL。7EAa子后JJL。7

斗4￥也4。。V2一4后一4V2-4或-40oooO-on一ooo1io0R\x0u2?=?Pv20“300.R3y.它顯然可以分成兩個(gè)方程組oO1V2ZV板一4V2一40oO1V2ZV板一4V2一40-血4企(2-1-23)(2-1-22)就是平常所說(shuō)的平衡問(wèn)題的有限元方程，一般把它寫(xiě)成［kRu｝=｛e｝ (2-1-24)［K］為考慮了約束條件(2-1-21)后的總體剛度矩陣。｛U｝為非約束自由度位移向量，｛F｝為作用于這些自由度上的載荷向量。矩陣［K］相當(dāng)從矩陣因中劃去了第1、2、6行和第1、2、6歹IJ。這說(shuō)明(2-1-21)這種零位移約束條件，可以通過(guò)對(duì)總剛度矩陣劃行劃列的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)二至于其他形式的位移約束條件的實(shí)現(xiàn)方法，后面將有專門(mén)的一章加以討論。實(shí)際上，在組裝總剛度矩陣的過(guò)程中，只要不組裝應(yīng)劃去的行和列即可直接得到［K］和｛F｝,即方程(2-1-24),至于方程(2-1-23),盡管求得結(jié)點(diǎn)位移后可以由它求得支承反力，但是有限元分析中一般不形成這個(gè)方程。如確有必要求支座反力，將另找其他途徑。

5、解有限元方程對(duì)于平衡問(wèn)題，歸結(jié)為解一個(gè)代數(shù)方程。本例的自由度較少，從(2-1-22)可以方便地求得非約束自由度的位移.、(2-\/2+1) 4 EA* aP《V、》《 >被約束自山度根據(jù)(2-1-21)可直接賦零6、求單元內(nèi)力桁架單元的內(nèi)力只有一個(gè)軸力S。由(2-1-1)S的大小和正負(fù)與pj相同。由(2-1-2)和(2-1-4)也｝=卜恒｝=[k[T版｝取出它的第三行即得到(2-1-24)cEAr . .］匕(2-1-24)S=—I—cosa-sinacosasina\L Uj3對(duì)單元①、②、③求得內(nèi)力S于下表單元號(hào)單元結(jié)點(diǎn)位移內(nèi)力(以拉為正)①(00(272+1)---}TEAEA41P②{(2V2+1)---00}TEAEA一產(chǎn)③{0000}T0由于本節(jié)所討論的桁架是一個(gè)十分簡(jiǎn)單的靜定桁架，用理論力學(xué)的知識(shí)即可得到各桿的內(nèi)力，結(jié)果相同。但是，若桁架為靜不定桁架且桿的數(shù)目有上千個(gè)，那么本節(jié)所討論的方法原則上不會(huì)遇到任何困難，我們要解決的課題將轉(zhuǎn)為如何管理有關(guān)的大量數(shù)據(jù)和如何解?個(gè)數(shù)下階的代數(shù)方程組這樣一些技術(shù)問(wèn)題。

§2-2平面框架本節(jié)將討論另一個(gè)典型問(wèn)題——平面框架，示于圖2—6。構(gòu)成它的元件是梁。為討論簡(jiǎn)單，不妨設(shè)外我荷只作用于梁的剛結(jié)點(diǎn)上。我們用同上節(jié)類似的步驟求得框架的變形和內(nèi)力。1、結(jié)構(gòu)的離散化取每根梁為一個(gè)單元，編號(hào)為①、②、③。取梁之間的剛結(jié)點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，以1、2、3、4對(duì)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)。2、總體坐標(biāo)系結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和自由度軸在框架平面內(nèi)，原點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)1重合，z軸與框架平面垂直，如圖2—6所示。"/分別表示各結(jié)點(diǎn)沿x,y方向的位移，。為繞z軸的轉(zhuǎn)角。p,q;分別表示力在x,y軸上的投影，M為繞z軸之力偶矩。不難定出框架四個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為（陽(yáng)，必）=（。，0）。3，%）=（2凡。）（》4，、4）=（2。,0）暫時(shí)不考慮支承約束，整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)總自由度為考慮1、4結(jié)點(diǎn)處的約束條件=匕=4=〃4=二°(2-2-1)考慮1、4結(jié)點(diǎn)處的約束條件=匕=4=〃4=二°(2-2-1)(2-2-2)V2(2-2-2)V202〃3匕結(jié)構(gòu)的非約束結(jié)點(diǎn)自由度為3、單元分析取一個(gè)一般性的單元進(jìn)行分析，設(shè)它的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)在結(jié)構(gòu)中的編號(hào)為i、j?見(jiàn)圖2—7。（1）建立單元局部坐標(biāo)系原點(diǎn)：與結(jié)點(diǎn)i重合；x軸：沿i,，方向；V軸：在xy平面內(nèi)，與x軸垂直;Z軸：與Z軸一致。單元局部坐標(biāo)系中，各結(jié)點(diǎn)自由度為單元結(jié)點(diǎn)自由度可表示為[={〃：/4UjM打(2)局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x，它的元素相當(dāng)單元結(jié)點(diǎn)位移在六種位移模式{10000o}T-{o00001}T情況下的結(jié)點(diǎn)力。如果我們約定：(i)單元內(nèi)彎曲剛度EI為常數(shù)；(ii)單元只在端點(diǎn)受到外力；(iii)不計(jì)剪切變形。則”將是x的線性函數(shù)，v是x的三次函數(shù)，8=骼。利用材料力學(xué)知識(shí)不難求得梁的變形曲線和結(jié)點(diǎn)力，如表2—2所示。設(shè)單元長(zhǎng)度為L(zhǎng),截面積為A。圖中實(shí)線為現(xiàn)實(shí)構(gòu)形，虛線為參照構(gòu)形。

由此求得平面梁?jiǎn)卧诰植孔鴺?biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕跼■EA~L00EA~L00\2EI6EI\2EI6EI001}I?I?片6E14EI6EI2EI001=EAL2LEAL2L(2-2-3)0000LL12EI6EI\2E16E100I?I?I?L-6E12EI6EI4￡70ITL0[2L.它是一個(gè)對(duì)稱陣；也是一個(gè)奇陣。在單元分析中沒(méi)有考慮位移約束條件，允許單元作剛體運(yùn)動(dòng)。我們還可以看到，局部坐標(biāo)系為單元分析提供了方便。(3)坐標(biāo)變換為了討論結(jié)構(gòu)的平衡，需要把局部坐標(biāo)系中形成的單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換到總體坐標(biāo)系。若圖2—7中x軸與x的夾角為a,則兩個(gè)坐標(biāo)系中位移分量(以結(jié)點(diǎn)i為例)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為cosasina0‘外一-sinacosa0匕?=H%(2-2-4)0 0 1同同每個(gè)單元有兩個(gè)結(jié)點(diǎn)，單元結(jié)點(diǎn)自由度的轉(zhuǎn)換關(guān)系為W｝=j［也｝=T應(yīng)｝ (2-2-5)利用與2-1節(jié)中類似的步驟，可推出單元?jiǎng)偠染仃嚨淖儞Q公式為同向卜什］ (2-2-6)形式上與(2?1?9)完全相同。但請(qǐng)注意，矩陣口］的定義不同，因而［T］的具體表達(dá)式也不同。

利用(2-2-3)和(2-2-6)可求得單元①、②、③在總體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕踜h、［k］2>［k］3o4、總體剛度矩陣和載荷向量的組裝本節(jié)側(cè)重討論在組裝剛度矩陣的過(guò)程中實(shí)現(xiàn)劃行劃列，即由因直接組裝［K］的方法。對(duì)每個(gè)單元，根據(jù)(2-2-1)和(2-2-2)可形成一個(gè)數(shù)組LM,如下表所示：?jiǎn)卧?hào)單元自由度LM(I)LM(2)LM(3)LM(4)LM(5)LM(6)①{"1V,d"2 %000123②{"2V202 "3匕/}'123456③{%匕“4V4456000每個(gè)LM數(shù)組有六個(gè)元素，分別與單元自由度中的各位移分量對(duì)應(yīng)。當(dāng)這個(gè)位移分量根據(jù)(2-2-1)被約束時(shí)(例如?/,v/(0,.u4,v4,%)對(duì)應(yīng)的LM元素取零；若這個(gè)位移屬于非約束自由度，對(duì)應(yīng)的LM元素取該位移在(2-2-1)中的序號(hào)，利用LM數(shù)組即可實(shí)現(xiàn)由［k］直接組裝［K］。對(duì)于［k］的第s行第t列的元素卻若LM?和LM(t)中至少一個(gè)為零，則對(duì)該元素不予組裝(相當(dāng)于劃行劃列)；否則將右迭加入總剛度矩陣［K］的第LM(s)行LM⑴第列。非約束自由度中只有“2的自由度上作用外載荷P，故總體載荷向量為/}={p0000o}T最后得到有限元方程[kRu}={丹最后得到有限元方程[kRu}={丹(2-2-7)圖2圖2—85、有限元方程(2-2-7)得到非約束自由度結(jié)點(diǎn)位移，被約束自由度上的位移，據(jù)(2-2-1)直接賦零。6、由結(jié)點(diǎn)位移求單元內(nèi)力。例如：軸力、剪力、彎矩，對(duì)空間梁?jiǎn)卧€可求扭矩?！?-3平面應(yīng)力問(wèn)題常應(yīng)變?nèi)切螆D2-8為一邊長(zhǎng)為a、厚度為t的正方形薄板。其中AB邊固定，BC、CD邊自由，AD邊作用均布?jí)毫ν鈱?duì)這一問(wèn)題，有限元分析的步驟是：1、將ABCD劃分(離散)為8個(gè)三角形(單元)，編號(hào)①1⑧。各單元僅在頂點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))較接，結(jié)點(diǎn)編號(hào)1—9。建立坐標(biāo)系后，不難定出各結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)2、單元分析任取一個(gè)一般性的單元，如圖2-9所示。三個(gè)結(jié)點(diǎn)的編號(hào)為i.j,鼠結(jié)點(diǎn)位移為(Ub片)、(Uj,Vj),(uk,vk)單元結(jié)點(diǎn)位移為

8}={%匕"jVjukvJT(1)假定單元內(nèi)位移場(chǎng)",V是x,y的一次函數(shù)〃=?+%x+a3yv=cr4〃=?+%x+a3yv=cr4+cx5x+a6y(2-3-1)名?&6為待定常數(shù)，在結(jié)點(diǎn)處應(yīng)有可解出:,1y, , 1y>2A=2A=detDA=a,+aj+ak當(dāng)i,_/,左的位置為逆時(shí)針排列時(shí)，2△恒正，且等于三角形單元面積的兩倍。將這些結(jié)果代入(2-3-1)有〃=白(4+3+C/H+20+與x+c/)。+白(4+bkx+cky)uk=Ni(x,y)ui+N/x,y)“j+Nk(x,y)uk

類似可得到v=Ni(x,y)vi+Nj(x,y)vj+Nk(x,y)vk可以合并成o0*lvd0NjN：00Nk*類似可得到v=Ni(x,y)vi+Nj(x,y)vj+Nk(x,y)vk可以合并成o0*lvd0NjN：00Nk* 0也｝(2-3-2)(2)單元的應(yīng)變、應(yīng)力利用(2-3-1)不難求得oa￥Aaxa-dxo}.也.- _oMsoON，5ooMMo_一oa蘇a-ax其中bj0bj0c1.0J瓦Cj040c,0ckJ nbj。卜bk{?}=歷應(yīng)}(2-3-3)J 0 c*號(hào) c* bk(2-3-4)在假定單元內(nèi)位移場(chǎng)是xj的一次函數(shù)的前提下，單元內(nèi)的應(yīng)變和應(yīng)力將是常數(shù),故這種單元又稱為常應(yīng)變?nèi)窃?/p>

(2-3-4)圖(2—10)(3)為了在單元內(nèi)構(gòu)成均勻應(yīng)力場(chǎng)，必須在單元的各邊施加均布載荷，它們的合力一定作用在各邊的中點(diǎn)，如圖2-10(a)所示。再將各邊上的合力平分到這邊的兩點(diǎn)結(jié)點(diǎn)，由圖2-10(b)不難得出Pi=；(凡+心)=:配?一匕4+&-Xj)rxy-(yk-匕-(x,-xk)rxy]=；阮-H沅+&-xj卜孫12 -類似可求得%、0、%、Pk、qk并可合并寫(xiě)成Pi瓦0ci%0Cib.Pj鳥(niǎo)0ci%20CjbJPk4°q4.0ckbk根據(jù)單元?jiǎng)偠染仃囬h的直觀意義，常應(yīng)變?nèi)窃膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚰礊橥?時(shí)團(tuán)團(tuán)(2-3-5)(4)單元①和②的邊上作用著均布的外載荷，可以把它們的合力平分到兩結(jié)點(diǎn)，如圖2-11所示。f\= -X7) Zz=54(X1一工4)

圖（2—11）(5)為了組裝總體剛度矩陣，每個(gè)單元還應(yīng)形成一個(gè)數(shù)組LM。元素LM(1)?LM(6)分別為Ui、Uj、V,'姝、%在總體自由度中的序號(hào)。由于單元的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力都是用總體坐標(biāo)描述的，單元?jiǎng)偠染仃嚥槐卦龠M(jìn)行坐標(biāo)變換。3、組裝總體剛度矩陣和載荷向量。為了實(shí)現(xiàn)位移約束條件〃7='==丫9=0這些自由度對(duì)應(yīng)的行和列可以不必組裝?？傮w平衡方程為國(guó)］｛。｝=｛尸｝ (2-3-6)其中,非約束自山度位移為｛。｝=｛"1匕〃2丫2"3匕〃4V4U5V5UbV6｝T相應(yīng)自由度的載荷向量為伊｝=｛0-/200000-(/,+/2)0000｝T解方程(2-3-6)可得到各非約束自由度的位移，再山(2-3-3)可求得各單元的應(yīng)力?！?-4結(jié)束語(yǔ)1、本章所討論的三具體問(wèn)題盡管力學(xué)背景不同，但分析步驟大體相同。區(qū)別僅在于結(jié)點(diǎn)參數(shù)不同，單元分析公式不同。而組裝總體矩陣的方法、處理約束條件的方法以及代數(shù)方程組的求解方法完全通用。2、從建立有限元方程的方法看，本章屬于直接方法一類。這種方法只在簡(jiǎn)單情況下有效，但是物理意義清晰。盡管今天有限元方法已發(fā)展成為一種抽象的數(shù)學(xué)分析方法，本章提供的直觀解釋仍然常常被用來(lái)說(shuō)明一些問(wèn)題。3、對(duì)于第一、二兩個(gè)問(wèn)題(平面桁架和平面框架)本章求的將是精確解(真實(shí)解)。而對(duì)第三個(gè)問(wèn)題(平面應(yīng)力問(wèn)題)，本章求得的只是近似解(位移場(chǎng)是假設(shè)的)，這樣就自然引出以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)所求的近似解與真實(shí)解的接近程度如何？或者說(shuō)，怎樣才能接近得更好一些？(2)在進(jìn)行單元分析時(shí)，曾作了兩條關(guān)鍵性的假設(shè)：(i)單元內(nèi)位移u、v是坐標(biāo)的一次函數(shù)：(ii)各單元僅在結(jié)點(diǎn)處較接。這樣的假定有沒(méi)有依據(jù)？是否必需？這些問(wèn)題將在后續(xù)的章節(jié)中討論。第三章最小勢(shì)能原理和分片插值最小勢(shì)能原理和分片插值是有限單元方法的核心內(nèi)容之一,在這一章中我們將介紹最小勢(shì)能原理的具體應(yīng)用，同一力學(xué)問(wèn)題的幾種不同的表達(dá)方式及它們之間的聯(lián)系；Ritz方法在單元內(nèi)的應(yīng)用；兩種最常用的插值形式(Lagrange型和Hermite型)。協(xié)調(diào)的位移型單元的收斂條件。§3-1最小勢(shì)能原理一個(gè)平衡問(wèn)題，可以至少用以下叁種不同的方式加以描述:(i)平衡方程(ii)虛位移原理(iii)總勢(shì)能取駐值(函數(shù)的極值問(wèn)題)1、有限自由度系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)系圖3-1(a)為兩個(gè)重分別為已，Pe的小球，由不計(jì)重量，彈性系數(shù)為％的彈簧相連，放置在光滑的曲面尸優(yōu)切=0上。該系統(tǒng)的平衡問(wèn)題可由以下三種方法來(lái)描述：(1)平衡方程(在平衡位置描述平衡)分別取月、6為研究對(duì)象，建立一直角坐標(biāo)系，如圖3-1(b)所示。由？1、3兩球組成的系統(tǒng)的平衡條件為：A：XX=0B：ZX=。Zy=0Xr=0其中，彈簧力以壓力為正，即：T=k(l0-AB)(2)虛位移原理(在平衡位置附近描述平衡)系統(tǒng)的平衡位置可描述為以,rB或XA>yA,kb、ys如圖3-1(c)所示。兩質(zhì)點(diǎn)的虛位移分別為：8rB或8xa,6%,6xb,8yB由虛位移原理可得pAa+QbM-亍3(AB)=0上式也稱為微分型變分原理。進(jìn)一步改寫(xiě)為-。血-P血+他-45?(/3)=0一)PM+PM+5H43-/。丁=0(3)總勢(shì)能取駐值(在全范圍內(nèi)描述平衡(尋找平衡位置))引入總勢(shì)能函數(shù)萬(wàn)p=gk(AB-lJ2+pm+PbYb由總勢(shì)能函數(shù)取駐值，即：6兀p=0尋找平衡位置。以上三種描述系統(tǒng)平衡的方法，對(duì)于有限自由度系統(tǒng)而言是等價(jià)的。然而,三種方法的特殊性是：平衡方程是在平衡位置上描述平衡問(wèn)題；虛位移原理是在平衡位置附近描述平衡問(wèn)題；而最小勢(shì)能原理是在全局范圍上描述(尋找)平衡問(wèn)題。最小勢(shì)能原理可以表述為：在所有滿足給定位移邊界條件和協(xié)調(diào)條件的位移中，滿足平衡條件的位移使總勢(shì)能取駐值，若駐值是最小值，則平衡是穩(wěn)定的。作為?條基本原理，它的正確性應(yīng)由事實(shí)加以檢驗(yàn)，不必從理論上給以證明。但為了便于理解“位移邊界條件“和“協(xié)調(diào)條件”的含義，下面通過(guò)三個(gè)例子對(duì)最小勢(shì)能原理和平衡方程的等價(jià)關(guān)系加以驗(yàn)證。2、無(wú)限自由度系統(tǒng)彈性體(1)軸向受拉的直桿設(shè)桿長(zhǎng)為入，截面積為A,軸向分布載荷f(x)^x=0端固定，戶L端受端點(diǎn)集中力P?設(shè)位移"(X)滿足：(i)〃仰=0(位移邊界條件)(ii)“㈤在上連續(xù)(協(xié)調(diào)條件)

(iii)調(diào)條件)

(iii)使取最小值。[L L7tp(w)=—公一j/udx-Pu(L)o o若u(x)+巾〃㈤為不同于u(x)的另外一種位移分布函數(shù)，也滿足上述的位移邊界條件和協(xié)調(diào)條件，山[w(x)4-血(x)[=o=w(0)+質(zhì)?0)血(0)=0血(0)=0(3-1-2)不難求得：L L .L兀 +3u)_兀p(u)=^EAu8nfdx-^f?企欣-尸加(￡)+-j￡4(式/「治o o 2oL=加〃+-,/(血')2公o因np(u)取最小值，即兀p(w+8u)—兀p(w)>0

的充分必要條件是：對(duì)任意滿足(3-1-2)的5〃㈤有加「=\EAu'dii'dx-J/-8udx-Pdu{L)=0 (3-1-3)0 0式(3-1-3)即勢(shì)能駐值條件。若補(bǔ)充假定“'㈤存在、連續(xù)，則對(duì)(3-1-3)分部積分一次，并利用(3-1-2),可得到+fdudx++fdudx+\EAu'(L)-P]8n(L)=0(3-1-4)(3-1-4)式對(duì)任意Su(x)都成立的充分必要條件是：/(E4/)+/=0 (平衡方程)EAu'(L)-P=0 (力邊界條件)由上述過(guò)程不難看出：①由勢(shì)能取駐值可以推出平衡方程。反之也對(duì)，說(shuō)明兩種描述方法在力學(xué)上等價(jià)。②兩種描述方法對(duì)邊界條件的要求不同。用微分方程描述時(shí)，〃必須滿足：(￡1//)+f—0 (平衡方程)u(0)=0 (位移邊界條件)EAu\L)-P=O (力邊界條件)用最小勢(shì)能原理描述時(shí)，要求函數(shù)滿足位移邊界條件“(0)=0而力邊界條件將作為勢(shì)能取駐值的自然結(jié)果。當(dāng)"④使"P精確取駐值時(shí)，平衡方程和力邊界條件將精確地得到滿足；當(dāng)"㈤使"P近似取駐值時(shí)，平衡方程和力邊界條件只能近似的得到滿足。在這種意義下，力邊界條件又稱為自然邊界條件(NaturalBoundaryCondition),而位移邊界條件由稱為強(qiáng)制邊界條件(EssentialBoundaryCondition)?③兩種描述方法對(duì)函數(shù)的光滑程度(即可微性)要求不同。用微分方程描述時(shí)要求“同有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)(記作"GC2(0,L))。而用最小勢(shì)能原理描述時(shí)，為了保證變形能存在,要求"々平方可積(記作"GH'(0,L))(2)平面應(yīng)力問(wèn)題%("，v)=；JJ{"lE膽}以Mv」正方形區(qū)域邊長(zhǎng)為a,厚度為t,受到體積力區(qū)工),邊界48固定。邊界BC%("，v)=；JJ{"lE膽}以Mv」B o cn 圖3—31H1為一階導(dǎo)數(shù)平方可積的函數(shù)組成的函數(shù)空間，C?為二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)組成的函數(shù)空間。

UIAB=VIAB=O利用唱｛叫礎(chǔ)￡｝卜|候尸團(tuán)｛￡｝+｛卬歷倏｝)唱｛叫礎(chǔ)￡｝卜|候尸團(tuán)｛￡｝+｛卬歷倏｝)=｛時(shí)展｝=㈤小f?<?k

oAayAax

AaxoAay以及格林公式(其中Lx，5為區(qū)域Q之邊界廣的外法線〃的方向余弦)。勢(shì)能的駐值條件為:Adxoa￥oAblaxAdxoa￥oAblax(3-1-5)注意到沿邊界r,外法線〃的方向余弦為ABBCCDDALx-10I00-101以及沿線ZB：8u=8v=0oa-砂a-dxAaxoa-oa-砂a-dxAaxoa-力沿BC：。.尸t沿CD：o=tx=O沿AD：。，q,txFP關(guān)于邊界條件的討論以及從v可微性的討論與上例相似，這里從略。(3)梁的平面彎曲O對(duì)于圖34所示的彎曲問(wèn)題，總勢(shì)能和強(qiáng)制邊界條件為OL-jq-vdx-Q-v(Z)+M?/(￡)ov(O)=v，(O)=O勢(shì)能駐值條件b兀p= ?加必?涼(L)+A/?蘇'(￡)=0 (3?1?6)對(duì)上式分部積分兩次，并注意到由于必須滿足強(qiáng)制邊界條件5『㈤=3/如=0則有6兀p=J(￡7/)-q3vdx+[￡7v*(￡)4-M^v\L)。|_」一(E")' +Q(5v(L)=0 (3-1-7)_ x=L_使(3-1-7)對(duì)任意Sv(x)都成立的充分必要條件是：〃(EIv")-q=O(平衡方程)EIv\L)+A/=0 ]⑻行+Q=OJ(自然邊界條件)x-L微分方程的階數(shù)為4。關(guān)于一、J的邊界條件為自然邊界條件，關(guān)于V.v的邊界條件為強(qiáng)制邊界條件。當(dāng)用微分方程描述時(shí)要求3市四階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)IvGC,QL)]。用最小勢(shì)能原理描述時(shí)，為保證變形能存在，只要求「㈤平方可積[vGH2(0,L)|。本節(jié)討論的三個(gè)例題，可作為維數(shù)不同，階數(shù)不同的問(wèn)題的代表。現(xiàn)把一些重要結(jié)論歸納如下表。其中，“微分方程階數(shù)”是以位移為基本未知量來(lái)計(jì)算，“可微性要求”是對(duì)最小勢(shì)能原理而言的。問(wèn)題微分方程階數(shù)強(qiáng)制邊界條件協(xié)調(diào)條件可微性要求桿的拉伸2關(guān)于U的邊界條件〃連續(xù)〃平方可積平面問(wèn)題2關(guān)于U,V的邊界條件U,V連續(xù)U,V平方可積梁的彎曲4關(guān)于V.V的邊界條件V,V連續(xù)V,平方可積§3-2Ritz法(有限元方法的基礎(chǔ)之一)由于有限單元方法可以理解為在單元(子域)內(nèi)應(yīng)用的Ritz法。Ritz法是一種求近似解的常用方法，它的基本步驟是：(i)選一組滿足強(qiáng)制邊界條件、協(xié)調(diào)條件和可微性要求的函數(shù)⑺、夕？、……中”這組函數(shù)被稱為基函數(shù)。(ii)假定近似解(試探函數(shù)trialfimction)的形式為 +-小(iii)將試探函數(shù)作為近似解代入描述問(wèn)題的能量泛函中，由泛函取駐值，即圾=0,鬼=0…其=0陽(yáng)da2'四定出系數(shù)四?時(shí)。從而得到近似解。下面以圖3-5所示的簡(jiǎn)支梁為例，求解在集中力尸作用下的變形，分別采用不同的基函數(shù)來(lái)介紹Ritz法。 *解法1：取多項(xiàng)式形式的基函數(shù)： 次(px(x)=x(L-x)*2(X)=X2(L—X)顯然，"八夕/、。2、92連續(xù)，<Pl、(P2平方可積，且(P\(0)=(P\⑷=%(0)=%⑷=o取v=a1^1(x)+a2^2(x)為試探函數(shù),泛函可寫(xiě)成、 Bx7CL >圖3—56，名為待定常數(shù)，則描述這一問(wèn)題的能量兀p=1\EI(yydx+Pv(^)=2EIL(a^由能量泛函的駐值條件 、*0,da,可得到一代數(shù)方程組4%+2La?—2%+4Lc(2—解代數(shù)方程組可得試探函數(shù)中的待定常數(shù)7PL(X,一 ,128EIC點(diǎn)位移的近似值為v(^)=-0.009523 3+cXy￡+a~2￡~)+ a2'應(yīng)=0da23PL16EI3PL64EI1Pa)一■64EIPI}~El解法2：取正弦函數(shù)為基函數(shù)（px（x）=sin——, %（x）=sin—^一這樣選擇的基函數(shù)同樣滿足協(xié)調(diào)性、微性以及強(qiáng)制邊界豪件的要求?？捎?jì)算出:42a\42a\+=-EIL4+^-axP-a1-P也=0, "=。陰oa2可求得axV2PI]1PI}%可求得axV2PI]1PI}%=——7 2 8萬(wàn)4EIc點(diǎn)位移兀4EIPT}=-0.011549—EI該問(wèn)題的精確解為3PI? PI? 3PI? PI? =-0.011719, 256EIEI兩種方法求得的c點(diǎn)位移絕對(duì)值小于精確值。正弦的基函數(shù)，使支座處彎矩為零的條件（不屬于強(qiáng)制邊界條件）也得到滿足。盡管Ritz法本身并不要求這一點(diǎn)，但是第二個(gè)近似解的精度顯然比第一個(gè)要好得多。不難看到，當(dāng)選取多項(xiàng)式或三角函數(shù)為基函數(shù)時(shí),由于這些函數(shù)可以求導(dǎo)任意次，協(xié)調(diào)條件和可微性要求很容易得到滿足，我們要做的事僅為設(shè)法滿足強(qiáng)制性邊界條件。這在一維情況下很容易做到，但在二維、三維情況下，除一些形狀規(guī)則的區(qū)域（例如矩形、園、扇形、長(zhǎng)方體等）外卻很難實(shí)現(xiàn)。因而古典的Ritz法的應(yīng)用受到了限制。§3-3分片插值形式的基函數(shù)和試探函數(shù)（解的收斂性與插值函數(shù)的選取關(guān)系很大）一維Lagrange型插值圖3-6為一軸向受拉的直桿，截面積A和軸向分布載荷/可以是x的函數(shù)。因而軸向位移“㈤可能是x的復(fù)雜函數(shù)。將區(qū)間回〃分成若干（這里是三個(gè)）子區(qū)間（單元），編號(hào)為①?③。取端點(diǎn)和分點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，編號(hào)為1?4。坐標(biāo)為X/?X/.(1)基函數(shù)定義基函數(shù)G(1)基函數(shù)定義基函數(shù)G?卬4。<Pi(Xj)=8t滿足1當(dāng)戶i0當(dāng)尸了設(shè)基函數(shù)在單元內(nèi)是X的一次函數(shù)。試探函數(shù)的形式取為基函數(shù)的線性組4合1=1根據(jù)0,的定義顯然有：〃㈤是X的分段線性函數(shù)，且“(xj=?,系數(shù)"，恰好代表結(jié)點(diǎn)i的位移值，相互之間是獨(dú)立的。這樣分段(片)定義的試探函數(shù)的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是：強(qiáng)制邊界條件很容易得到滿足。例如u(0)=0的條件只要簡(jiǎn)單地令結(jié)點(diǎn)1的位移"產(chǎn)0即可以實(shí)現(xiàn)。而且允許我們?cè)谌魏畏奖愕臅r(shí)候(例如組裝總體剛度矩陣時(shí))引入這些邊界條件。由于強(qiáng)制邊界條件問(wèn)題已經(jīng)有了妥善的解決辦法，我們的注意力將轉(zhuǎn)向協(xié)調(diào)條件和可微性問(wèn)題。(3)協(xié)調(diào)性和可微性上面定義的如㈤和〃④都存在著“尖點(diǎn)“，光滑程度不高。但是：0,和〃㈤在單元內(nèi)連續(xù)，在結(jié)點(diǎn)處也連續(xù)；打和“'㈤在單元內(nèi)連續(xù)，在結(jié)點(diǎn)處可能不連續(xù)。但只有有限的跳躍量。在區(qū)間［0,L］上平方可積。內(nèi)㈤和“㈤屬于同一類型的函數(shù)。對(duì)于軸向受拉桿(二階問(wèn)題),“CW滿足最小勢(shì)能原理對(duì)協(xié)調(diào)性和可微性的要求。由可求得A的=o,加3U4的值,0,從而得到一個(gè)近似解。(4)Lagrange插值可求得A的=o,加3U4的值,0,從而得到一個(gè)近似解。(4)Lagrange插值如㈤、〃㈤都涉及這樣一個(gè)問(wèn)題：由兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值在單元內(nèi)確定一個(gè)線性變化的函數(shù)。圖3-7為一個(gè)一般性的單元，兩個(gè)結(jié)點(diǎn)八)的坐標(biāo)為X”Xj,假定單元內(nèi)"㈤是X的線性函數(shù)u(x)=%+a2x由u{xj)=M(,U(X)=u,定出a\>a2,可得到x—x

w(x)= -ui+x,-X,x-xi=+Nj(x)uj其中Ni、2稱為形函數(shù)，它們?cè)趩卧獌?nèi)是x的線性函數(shù)，且滿足n.=0M(x,)=lNG/)=ON/(xJ=O Nj(x)=\每個(gè)形函數(shù)由分子和分母兩部分組成，分子保證了一個(gè)結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)在其他結(jié)點(diǎn)處為0,而分母的選擇則恰好使得這個(gè)形函數(shù)在自己的結(jié)點(diǎn)個(gè)取值為1。掌握了這些特點(diǎn)就可用“湊”的方法得到形函數(shù)的表達(dá)式。M(x)=[x-X-\x-X/)M(x)=N,(x)=(X—X/\X—Xj)(x-xjx-xj如果在每個(gè)單元內(nèi)在增設(shè)一個(gè)結(jié)點(diǎn)M(x)=[x-X-\x-X/)M(x)=N,(x)=(X—X/\X—Xj)(x-xjx-xj試探函數(shù)m（x）=NjUj+NjUj+N/U,圖3-8是它們的圖形。用插值點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)造的插值函數(shù)通常稱為L(zhǎng)agrange插值。一維Hermite型插值圖3-9為一根梁，橫向載荷q和截面慣性矩I可以是X的函數(shù)。因而撓度V是X的復(fù)雜函數(shù)。梁的彎曲是四階問(wèn)題，試探函數(shù)V及V應(yīng)在［0,〃上連續(xù)。將［0,〃分為若干（這里仍是三個(gè)）子區(qū)間（單元），編號(hào)為①?③。取端點(diǎn)和分點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，編號(hào)為1?4。(1)基函數(shù)定義基函數(shù)處60?%。入M(x)??4(X)滿足(i)(p/x)、M 在單元內(nèi)是x的三次函數(shù)(ii)r1當(dāng)j=i/(X/)=%={ d(X/)=010當(dāng)jW/C1當(dāng)j=i，(xj)=B={ %G)=o0當(dāng)產(chǎn)了(2)試探函數(shù) 4 4/=1/=|根據(jù)3，、。，的定義可知，v㈤是x的分段三次函數(shù)，且滿足v(xi)=V,./(x,)=V；系數(shù)匕、V,恰為結(jié)點(diǎn)處V、V之值。這些值相互之間是獨(dú)立的。這樣定義的試探函數(shù)保證了V、J在單元內(nèi)連續(xù)，在結(jié)點(diǎn)處也連續(xù)，滿足四階問(wèn)題所要求的協(xié)調(diào)條件。由于試探函數(shù)是分段定義的強(qiáng)制邊界條件v(0)=v(0)=0可以簡(jiǎn)單地令V!(0)=Vl(0)=0得以實(shí)現(xiàn)。(3)可微性W，(x)、”,(x)和v㈤是分段定義的三次函數(shù)，函數(shù)本身及一階導(dǎo)數(shù)在［0,L］上連續(xù)。二階導(dǎo)數(shù)是分段線性函數(shù)，在結(jié)點(diǎn)處不連續(xù)，但只有有限跳躍量，在［0,L］上平方可積。滿足最小勢(shì)能原理對(duì)試探函數(shù)可微性的要求。如圖3-9(續(xù))所示。圖3-9(續(xù))(4)Hermite插值定義3i(X)、都涉及這樣?個(gè)問(wèn)題：由函數(shù)及一階導(dǎo)數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的值確定單元內(nèi)的一個(gè)三次函數(shù)。圖3-10為一個(gè)一般性單元。它的長(zhǎng)度為L(zhǎng),結(jié)點(diǎn)為八八i為局部坐標(biāo)原點(diǎn)，孑與x平行。設(shè)梁的撓度函數(shù)(試探函數(shù))為v(J)=%+a古+a3g之+a/3

-=a2+2a34+3a/2以結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)￡=。、/尸/代入則有匕=?!v\—(x2vi=a]+a2L+a3L2+aAI?v'j=a2+2a3L+3a4L2定出4個(gè)常數(shù)代入撓度函數(shù)并整理成/=1/=!的形式，即啥)=。^億+2a.匕L+延727+。3八2加LL?~j)/+F—，匕=A；(x)v,+/7,(x)v.+%(x)%+H/(x)v'j兀、玨、hj、Hj的圖形已示于圖3-10。顯然基函數(shù)的非零部分正是由它們拼成的。用插值點(diǎn)的函數(shù)值及導(dǎo)數(shù)值構(gòu)造的插值函數(shù)通常稱為hermite插值。§3-4常應(yīng)變?nèi)窃睦碚撘罁?jù)現(xiàn)在重新考慮圖2-8所示的平面應(yīng)力問(wèn)題。仍把所研究的區(qū)域Q分為8個(gè)單元。單元和節(jié)編號(hào)方案不變。1、基函數(shù)定義基函數(shù)/i(x,y)?<p9(K,y)滿足 1當(dāng)j=i(i)0，例,力卜^小0當(dāng)產(chǎn)i(ii)0,〃,力在每個(gè)單元內(nèi)是x、y的線性函數(shù)。2、試探函數(shù)“(x,y)=工""v(x,y)=Z/。，圖2-8根據(jù)0/為,力，的定義，在結(jié)點(diǎn)上有

圖2-8u(xi,yiu(xi,yi)^uiv(x,，N)=v：在每個(gè)單元內(nèi)，小v是x、y的完全一次多項(xiàng)式，可以由三個(gè)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值唯一確定,可由第二章的（2-3-2）表示。顯然在單兀內(nèi)心v連續(xù)，且其導(dǎo)數(shù)dudu 3v'dy、Hx、Hy為常數(shù)。沿單元邊界（例如3/邊），〃、v按線性變化，完全由這條邊上兩個(gè)結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值小、片、砂、竹所決定，故穿過(guò)單元邊界時(shí)"'V連續(xù)（如仙圖3-11所示）。但穿過(guò)單元邊界時(shí)其導(dǎo)數(shù)、、dudu9v3vdx'dy'dx'dy卻一般不連續(xù)，有有限的跳躍量，但在Q內(nèi)它們平方可積。所選擇的試探函數(shù)滿足平面應(yīng)力問(wèn)題（二階問(wèn)題）對(duì)協(xié)調(diào)性和可微性的要求?？捎肦itz法求近似解。k3、總勢(shì)能將假定的位移場(chǎng)寫(xiě)成u\viu2.J% o 內(nèi) o % o （p9 0］匕，=［①Ru}［vj0 夕? 0 % 0 必 0 %：%丫9,萬(wàn)尸=；JJW團(tuán)和}以叨-1

2Q AD"仿蚓外力-J“.Ni=\.. An"i=\eiADI:

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r.tdx>tdx萬(wàn)尸=；JJW團(tuán)和}以叨-1

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r.tdx>tdxoAayAayAaxoAax回oAayAayAaxoAax回一畫(huà)一oa-aya蘇Aaxoa一axDe8Z/=1Is,yrHT--[<1>fjw=摳｝］￡叫以一郵型［「J/=匏｝「依應(yīng)｝-的但｝ —I)4、勢(shì)能取駐值W［kM-W｛￡｝=0IK也｝=因強(qiáng)制邊界條件/7=匕="8=%="9=丫9=°可以通過(guò)對(duì)區(qū)］、［￡］劃行劃列或在組裝［K］,［F］的過(guò)程中加以實(shí)現(xiàn)。5、單元?jiǎng)偠染仃嚕邰伲菰谝粋€(gè)單元內(nèi)有12列全零，故［kh有12行、12列全零。［?i就是第二章中“補(bǔ)零擴(kuò)充"后的單元?jiǎng)偠染仃嚒?3-4-1)的推導(dǎo)過(guò)程給出了由單元?jiǎng)偠染仃嘔Kh組裝總體剛度矩陣的另一種解釋：總變形能等于單元變形能之和。去掉［?i中全零的12行和12歹U，可得到一個(gè)6X6的方陣［k］。若單元三個(gè)結(jié)點(diǎn)的編號(hào)為3人k,當(dāng)單元內(nèi)位移按線性分布時(shí),由(2-3-3)有匕回=<￡［=［碎。卜歷應(yīng)｝￡匕I1以其中［B］的表達(dá)式為(2-3-4)o在單元內(nèi)為常數(shù)。單元變形能%=；0缶/歷上》公辦=fjl5K［EfB｝dxdy｛u\e e=*｝「(時(shí)間叫她｝=；也｝也｝

單元?jiǎng)偠染仃嘯k]=[BY[E\B^與（2-3-5）完全相同6.等效結(jié)點(diǎn)載荷載荷q的等效結(jié)點(diǎn)力歸結(jié)為計(jì)算下列兩個(gè)積分單元①有限元方法可以看成采用分片插值形式的Ritz法。由于試探函數(shù)采用分片插值形式。即使在區(qū)域形狀比較復(fù)雜的情況下，強(qiáng)制邊界條件也很容易得到滿足。但所選擇的試探函數(shù)必須滿足協(xié)調(diào)性和可微性要求。這是最早出現(xiàn)的關(guān)于有限元方法的理論論證?！?-5收斂條件一般說(shuō)來(lái)，用分片插值形式定義的試探函數(shù)很難做到與問(wèn)題本身的真實(shí)解（精確解）完全吻合，因而有限元解一般都是近似解。我們希望在網(wǎng)格逐步加密、單元尺度無(wú)限變小時(shí)有限元解能收斂到真實(shí)解。為了保證收斂性，各單元內(nèi)假定的位移場(chǎng)（試探函數(shù)）應(yīng)滿足以下條件（1）假定的位移場(chǎng)在單元內(nèi)連續(xù)。這是最小勢(shì)能原理所要求的，也是很容易做到的。（2）能夠描述任何一種常應(yīng)變狀態(tài)（常曲率）。歸納出這一條件的理由是：當(dāng)單元無(wú)限細(xì)分時(shí)，真實(shí)解在每個(gè)單元內(nèi)都將接近某種常應(yīng)變狀態(tài)。如果有限元解能夠無(wú)限接近總勢(shì)能的真實(shí)最小值，隨之也就逼近了真實(shí)解。滿足這一條件的另一個(gè)好處是，如果真實(shí)解在整個(gè)區(qū)域上為?常應(yīng)變狀態(tài)或者應(yīng)力變化比較平緩，那么大尺度的單元即給出精確解或較好的近似解。（3）包括足夠的剛體位移模式。在假定單元位移場(chǎng)時(shí)不考慮位移約束條件（強(qiáng)制邊界條件），這些條件在組裝總體矩陣時(shí)再加以考慮。如果單元位移場(chǎng)缺少某種剛體位移模式，實(shí)際意味著加上了額外的約束反力。實(shí)現(xiàn)條件（2）和（3）是不困難的。對(duì)于軸向受拉桿，只要包含完全一次多項(xiàng)式"=?+ot-^x —=a,dx即可。其中明為剛體平移，為常應(yīng)變項(xiàng)。對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，只需包含x、y的完全一次多項(xiàng)式即可，即1(a,+a.

y\+\a2x+-yx+abya.-a,u-a}+a1(a,+a.

y\+\a2x+-yx+abyv=a4+a5x+aby-

其中第一個(gè)括號(hào)內(nèi)為三個(gè)剛體型位移：二個(gè)平移一個(gè)旋轉(zhuǎn)。第二個(gè)括號(hào)內(nèi)為常應(yīng)變項(xiàng);加 due——=0C-y. ￡=—=（X, -+-=a?+a”xdx2vdy6