七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽常見題型及解析

七年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)常見題有理數(shù)及運(yùn)算篇【核心提示】有理數(shù)部分概念較多，其中核心知識(shí)點(diǎn)是數(shù)軸、相反數(shù)、絕對(duì)值、乘通過(guò)數(shù)軸要嘗試使用數(shù)結(jié)合思想解問(wèn)題，把抽象問(wèn)題簡(jiǎn)單化相反數(shù)看似簡(jiǎn)單，但互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加等于個(gè)性質(zhì)有時(shí)總忘記絕值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難，它貫穿于初中三年年有不同難點(diǎn)們要從七年級(jí)把絕對(duì)值學(xué)好解的幾何意義乘方的法則我們不僅要會(huì)正向用，也要會(huì)逆向用，難點(diǎn)往往出現(xiàn)在逆用法則方.【核心例題】例1計(jì)：

11112006分此共有項(xiàng)通分是太麻有這么多項(xiàng)，我要有一種消想，如能把一些項(xiàng)抵消了不就變得簡(jiǎn)單嗎？由此想到拆項(xiàng)第一項(xiàng)可拆成

1111

可用通項(xiàng)

11

，把每一項(xiàng)都做如此變形，問(wèn)題會(huì)迎刃而.1111解原式......)1320062007111......=2232006200711=20072006=2007例2已有理數(shù)ac在軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為

A

B

CA、B、C(如右圖.化簡(jiǎn)

a

a

Ob

c分從軸上可直接得到a、、c的負(fù)性，但本題關(guān)鍵是去絕對(duì)值，所以應(yīng)斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)表達(dá)式的正負(fù)性.我們知道在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，大減小數(shù)是正數(shù)，小數(shù)減大數(shù)是負(fù)數(shù)，可得到－、c－b>0.解由數(shù)知a<0a－b<0，－b>0所以，

a

=－－(a－b)+(c－a－a+b+c－－2a+c124181920222233322241819224181920222233322241819218317231723例3計(jì)：

1

111100993分本看似復(fù)雜，其實(shí)是紙老虎，只要你敢計(jì)算，馬上就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中的技巧，問(wèn)題會(huì)變得很簡(jiǎn).解原式

99989711=100999832100例4計(jì)：－2－2－2－－－.分本把每一項(xiàng)都算出來(lái)再相加，顯然太麻怎讓它抵消‖？們可先從最簡(jiǎn)單的情況考慮.－=2+2－1+2再考慮2－+2=2（－1+2=2

2

+2

=2+2（－1+2=2+2這么等于了？是否可以把這種方法應(yīng)用到原題呢？顯然是可以.解原式－2－2－2－…－（1+2）－2－－－…－=2－2

2

－2－2

4

－－

18

（1+2）=2－2－2－2－－+2==2－2+2=6【核心練習(xí)】、已知ab－2與－│為相反數(shù)，試求：1ab

的值（提示：此題可看作例升級(jí)版，求出a的代入就成為了例）、代數(shù)式

abababab

的所有可能的值有（）（、3、無(wú)數(shù)個(gè)）【參考答案】、

、222222222222222字母表示篇【核心提示】用字母表示數(shù)部分核心知識(shí)是求代數(shù)式的值和找規(guī).代數(shù)式的值時(shí)，單純代入一個(gè)數(shù)求值是很簡(jiǎn)單的.如果條件給的是方程，我們可把要求式子適當(dāng)變形，采用整體代入法或特殊值法.【典型例題】例1已：3x－6y－則－4y+6=_____分對(duì)這類問(wèn)題我們通常用整體代入法，把條件化成最簡(jiǎn)，然后把要求的代數(shù)式化成能代入的形式，代入就行.類問(wèn)題還有一個(gè)更簡(jiǎn)便的方法，可以特值法取y=0,3x－6y－5=0得

x

528把xy的代入2x4y+6可得答案這方法只對(duì)33填空和選擇題可用，解答題用這種方法是不合適.解由－－5=0，得

xy

53所以－－

2

5283例2已代數(shù)式

x

n(n

，其中n正整數(shù)，當(dāng)時(shí)代數(shù)式的值是，當(dāng)x=－1時(shí)代數(shù)式的值是

分當(dāng)時(shí)可直接代入得到答但當(dāng)x=，(－1)奇偶性怎么確呢？因n和(－是連續(xù)自然數(shù)，所以數(shù)必一奇一.解當(dāng)時(shí)x

n

x

(

=

(

=3當(dāng)x=時(shí)，x

n

x

(

=(

n

(

=1例3（1+1，

）（3+1）+25，45（4+1）+25…找規(guī)律，把橫線填完整；請(qǐng)用字母表示規(guī);請(qǐng)計(jì)算2005的.

，85322222222分這式子如橫著不好找規(guī)律，可豎著找，規(guī)律會(huì)一目了.100不變的，加是不變的括號(hào)里的加1是變的只有括內(nèi)的加數(shù)和括號(hào)外的因數(shù)隨著平方數(shù)的十位數(shù)在變解(1)75=100×7（），85=100×8）+25(10n+5)=100×n（n+1）+25（200+1）+25=4020025例如圖①是一三角形，分別連接這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)得到圖②，再分別連接圖②中間小三角形三邊的中點(diǎn)，得到圖表三角形的個(gè).（1當(dāng)n=4時(shí)S=

，（2請(qǐng)按此規(guī)律寫出用n表的式①

n=2,S=5②

③分

當(dāng)時(shí)我們可以繼續(xù)畫圖得到三角形的個(gè)怎么找規(guī)律呢？單純從結(jié)果有時(shí)我們很難看出規(guī)律，要學(xué)會(huì)從變化過(guò)程找規(guī)律.如題，可用列表法來(lái)找，規(guī)律會(huì)馬上顯現(xiàn)出來(lái)的.解

S=13可列表找規(guī)律：

……

4(n－的變化過(guò)程1

……+4=4(n－1)+1所以－1)+1.(當(dāng)然也可寫成4n－3.)【核心練習(xí)】、觀察下面一列數(shù)，探究其中的規(guī)律：—1

111，，，，245①填空：第11，12三個(gè)數(shù)分別是，，；422222222第2008數(shù)是什么？如果這列數(shù)無(wú)限排列下去，與哪個(gè)數(shù)越來(lái)越近.、觀察下列各:1+1×32,=3,4,…將你找出的規(guī)律用公式表示出來(lái)【參考答案】、①

11，，;;11121312008、=平面圖形其位置關(guān)系【核心提示】平面圖形是簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)幾何問(wèn)題學(xué)起來(lái)很簡(jiǎn)單，但有時(shí)不好表述，也就是寫不好過(guò)程所以這部分的核心知識(shí)是寫求線段交點(diǎn)或求角的過(guò).個(gè)人寫的可能都不一樣，但只要表述清楚了就可以了，不過(guò)在寫清楚的情況下要盡量簡(jiǎn)【典型例題】例1平內(nèi)兩兩相交的6條線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為_個(gè)，最多為個(gè)分

直線兩兩相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少是怎求呢？我們可讓直線由少多一步步找規(guī)列出表格會(huì)更清.解找交最多的規(guī)律直線條數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)

……

nn2交點(diǎn)個(gè)數(shù)變化過(guò)程

1+2+3=6

…

1+2+3+…+(n－1)圖形

圖

圖2

圖3

…圖1

圖2

圖35例2兩平行直線n上有點(diǎn)和個(gè)點(diǎn)，任選9點(diǎn)的兩個(gè)連一條直線，則一共可以連（）直.A20BCD．22分與讓直線上點(diǎn)和直線n上的5個(gè)點(diǎn)分別連可確定20條直線，再加上直線上點(diǎn)和直線的5個(gè)各確定的一條直線22條線A故選D.

M例3如，是AOB的分射線在BOM內(nèi)，是

O

C∠BOC的分線，已知AOC=80°那么MON的小等于______.

B

N分

求∠MON有兩種思路.以利用和來(lái)求，即∠∠∠也利用差來(lái)求就了MON=MOB－∠BON=AON∠AOM=AOB∠AOM－BON.根據(jù)兩條角平分線，想辦法和已知的AOC靠攏解這類問(wèn)題要敢于嘗試，不動(dòng)筆是很難解出來(lái)的解因?yàn)镺M是AOB的平分線ON是∠的分線，所以∠MOB=

1∠，∠COB2所以∠MON=∠11=∠×80°=40°22

111∠－∠（AOBCOB）22例如，已知∠AOB=60°，OC是∠AOB的平分線，ODOE

分別平分∠和AOC.（1求DOE的大小；

（2當(dāng)OC在AOB內(nèi)O旋轉(zhuǎn)時(shí)OD仍∠BOC和AOC的平分線，問(wèn)此時(shí)∠的小是否和1中的答案相同，通過(guò)此過(guò)程你能總結(jié)出怎樣的結(jié)分

此題看起來(lái)較復(fù)雜OC還在AOB內(nèi)O點(diǎn)轉(zhuǎn)，是一個(gè)態(tài)問(wèn).當(dāng)你求出時(shí)現(xiàn)DOE是AOB的半是要求的DOE，和OC在∠AOB內(nèi)的位置無(wú).解

(1)因?yàn)镺C是AOB的分線ODOE分別平分∠BOC和∠所以∠DOC=

11∠，∠22所以∠DOE=∠COE=因?yàn)椤螦OB=60°

1∠∠（∠BOC+∠COA∠AOB226所以∠=

11∠22(2)由（）知∠DOE=

∠AOB和∠AOB的位置無(wú)關(guān)故此時(shí)∠DOE的小和（1）中的答案相同.【核心練習(xí)】、ABD、、是周的六個(gè)點(diǎn)，連接其中任意兩點(diǎn)可得到一條線段，這樣的線段共可連_條、在1小與2小之間，時(shí)鐘的時(shí)針與分針成直角的時(shí)刻是【參考答案】

分、15

、

21

9分54分1111

一元一次程篇【核心提示】一元一次方程的核心問(wèn)題是解方程和列方程解應(yīng)用題。解含分母的方程時(shí)要找出分母的最小公倍數(shù)，去掉分母，一定要添上括號(hào)，這樣不容易出錯(cuò).解參數(shù)方程或絕對(duì)值方程時(shí)學(xué)代入和分類討論方解應(yīng)用題要是列方程注意列出的方程必須能解、易解，也就是列方程時(shí)要選取合適的等量關(guān)系。【典型例題】例1已方程2x+3=2a與2x+a=2的解相同，求a的.分因兩方程的解相同，可以先解出其中一個(gè)，把這個(gè)方程的解代入另一個(gè)方程，即可求解認(rèn)真觀察可知，本題不需出，可把體代入解由，2x=2a把－代2x+a=2得a，a=5,所以

a

53例2解程

x

x27分這一個(gè)非常好的題目，包括了去分母容易錯(cuò)的地方，去括號(hào)忘變號(hào)的情解兩邊時(shí)乘以，得6x－3(x1)=12－去分母，得6x－3x+3=12－－6x－－－3x=

75例3某場(chǎng)經(jīng)銷一種商品，由于進(jìn)貨時(shí)價(jià)格比原進(jìn)價(jià)降低了，使得利潤(rùn)增加了個(gè)百分點(diǎn)，求經(jīng)銷這種商品原來(lái)的利潤(rùn).分

這類問(wèn)題我們應(yīng)首先搞清楚利潤(rùn)率、銷售價(jià)、進(jìn)價(jià)之間的關(guān)系，因銷售=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率還設(shè)出進(jìn)價(jià)，利用銷售價(jià)不變，輔助設(shè)元建立方解設(shè)原進(jìn)價(jià)為元，銷售價(jià)為元那么按原進(jìn)價(jià)銷售的利潤(rùn)率為yx

100%

原進(jìn)價(jià)降低后在銷售時(shí)的潤(rùn)率為

y93.6%x93.6%

由題意得：y100%x93.6%

解得y=1.17x故這種商品原來(lái)的利潤(rùn)率為

1.17x

例4解程│x－│+5分

對(duì)于含一個(gè)絕對(duì)值的方程我們可分兩種情況討論，而對(duì)于含兩個(gè)絕對(duì)值的方程，道理是一樣我們可先找出兩個(gè)絕對(duì)值‖再‖中數(shù)軸上對(duì)進(jìn)行討論.解由題意可知，│x－時(shí)，；當(dāng)x－時(shí)x=5.1和5兩個(gè)‖x軸分成三部分，可分別討論：8當(dāng)，原方程可化為–(x－－－，得x=1.因，所以舍去.當(dāng)≤x時(shí)原方程可化為(x－－－5)=4，得，所以x在1≤5圍內(nèi)可任意取值.當(dāng)，原方程可化為(x－－，得x=5.因，故應(yīng)舍去.所以，≤x是不過(guò)的?！竞诵木毩?xí)】、已知關(guān)于x方程3[x－2(x－

a31x)]=4x和312

有相同的解，那么這個(gè)解是

.（提示：本題可看作例的級(jí)版）、某人以4千米小時(shí)的速度步行由甲地到乙地，然后又以千米/時(shí)的速度從乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度____米小時(shí).【參考答案】、

、4.8生活中的據(jù)篇【核心提示】生活中的數(shù)據(jù)問(wèn)題我要分清種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)形圖表示數(shù)量多少折線圖表示變化趨勢(shì)，扁形圖表示所占百分.會(huì)觀察，學(xué)會(huì)思考，這類問(wèn)題相對(duì)是較簡(jiǎn)單【典型例題】例面是兩支籃球隊(duì)在上一屆省運(yùn)動(dòng)會(huì)上的場(chǎng)抗賽的比賽結(jié)果位：分）研究一下可以用哪些統(tǒng)計(jì)圖來(lái)分析比較這兩支球隊(duì)，并回答下列問(wèn)題：你是怎樣設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)圖的？你是怎樣評(píng)價(jià)這兩支球隊(duì)的？和同學(xué)們交流一下自己的想.分選什么樣的統(tǒng)計(jì)圖應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和要達(dá)到的目的來(lái)決定本可以用復(fù)式9條形統(tǒng)計(jì)圖，達(dá)到直觀、有效地目解用復(fù)條形統(tǒng)計(jì)圖圖）從復(fù)式條形圖可知乙球隊(duì)勝了場(chǎng)了場(chǎng).例據(jù)下面三幅統(tǒng)計(jì)圖（如下圖答問(wèn)題三幅統(tǒng)計(jì)圖分別表示了什么內(nèi)容？從哪幅統(tǒng)計(jì)圖你能看出世界人口的變化情況？年洲人口大約將達(dá)到多少億？你是從哪幅統(tǒng)計(jì)圖中得到這個(gè)數(shù)據(jù)的？年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，你哪幅統(tǒng)計(jì)圖中可以明顯地得到這個(gè)結(jié)論？分這問(wèn)題可根據(jù)三種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)來(lái)解.解（）折線統(tǒng)計(jì)圖表示世界人囗的變化趨勢(shì)，條形統(tǒng)計(jì)圖表示各洲人囗的多少，扇形統(tǒng)計(jì)圖表示各洲占世界人囗的百分.折線統(tǒng)計(jì)圖億，折線統(tǒng)計(jì).扇形統(tǒng)計(jì)圖【核心練習(xí)】10、如下圖為第27屆奧運(yùn)會(huì)金牌扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中提的信息回答下列問(wèn)題：（1哪國(guó)金牌數(shù)最多？中國(guó)可排第幾位？如果你是中國(guó)隊(duì)的總教練，將會(huì)以誰(shuí)為下一次奧運(yùn)會(huì)的追趕目標(biāo)？【參考答案】）國(guó)2）第位（）俄羅.平行線與交線篇【核心提示】平行線與相交線核心知識(shí)是平行線的性質(zhì)與判定單使用性質(zhì)或判定的題目較簡(jiǎn)單，當(dāng)交替使用時(shí)就不太好把握了，有時(shí)不易分清何時(shí)用性質(zhì)，何時(shí)用判定.們只要記住因?yàn)槭菞l件，所以得到的是結(jié)論，再對(duì)照性質(zhì)定理和判定定理就容易分清.這部分另一核心知識(shí)是寫證明過(guò)程.有我們認(rèn)為會(huì)做了，但如何寫出來(lái)呢？往往不知道先寫什么，后寫什么寫程是為了說(shuō)清楚一件事，是為了讓別人能看懂，我們帶著這種目的去寫就能把過(guò)程寫好【典型例題】例1平面上有5個(gè)，其中僅有3點(diǎn)同一直線上，過(guò)點(diǎn)一條直線，一共可以作直線（）條.A7B．．D．分與樣的5個(gè)我們可以畫出來(lái)直接查就可得到直線的條.也可以設(shè)只有A、B、C三在一條直線上，、兩點(diǎn)分別和A、、各定3條直線共條，A、B、C三點(diǎn)確定一條直線D、兩點(diǎn)確定一條直線，這樣個(gè)共定8條直線故選例知∠B=40°,∠求證：AB∥CD.分要明兩條直線平行，可考慮使用哪種判定方法得到平行？已

AFC

EO

BGD11知三個(gè)角的度數(shù)，但這三個(gè)角并不是同位角或內(nèi)錯(cuò)角.因此可以考慮作輔助線讓他們建立聯(lián)系延長(zhǎng)BE可內(nèi)錯(cuò)角證明平行過(guò)作AB的行線可明FG與也平行此得到ABCD.連接BD，利用同旁內(nèi)互補(bǔ)也可證.解延長(zhǎng)BE交于，∵∠BED=60°,∠，∴∠BOD=－∠D=60°20°=40°,∵B=40°，∴∠BOD=B∴ABCD.其他方法，可自己試試！例如圖，ABC中，⊥AB于，DF⊥于FAC∥ED，是ACB的平分線，求證：∠EDF=∠分由CEDF同垂直于可CEDF，又知AC，利用內(nèi)錯(cuò)角和同位角相等可得到結(jié).

A解∵⊥ABDFAB，

E∴∥

F∴∠EDF=，∠BDF=∠DCE，

B

D

C∵∥ED，∴DEC=，∴∠EDF=ACE.∵CE是∠ACB的分線，∴∠DCE=∠，∴∠EDF=BDF.例圖，在ABC中C=90°，CAB與CBA的平分線相交于O，求AOB的度數(shù)分已可知CAB與∠CBA的為，由角平分線性質(zhì)可得∠OAB與∠OBA和為45°所以可得∠的數(shù)解∵OA是CAB平分線，OB∠CBA的分線，12

COAB∴∠

11∠CAB∠∠CBA22∴∠OAB+∠

1∠CAB+∠CBA=（CAB+∠CBA=（－∠C，2∴∠AOB=180°－∠OAB+∠OBA（注：其實(shí)∠AOB=180°－（∠OAB+∠OBA）=180°－

（180°－∠）=90°+

∠所以∠AOB的度數(shù)只和C的數(shù)有關(guān)，可以作結(jié)記.）【核心練習(xí)】、如圖，∥ED,∠A+E,∠B+C+∠求：β=2α.(提：本題可看作例的升級(jí)版)

E

D、如圖E是DF上一點(diǎn)，B是上一點(diǎn)，∠1=∠2

C∠∠，求證：∠A=F.【參考答案】

A

B、可延長(zhǎng)，也可連接BD，可過(guò)做平行線.

D

E

F3

4、先證BD，再證DF

A

B

C三角形篇【核心提示】三角形全等的核心問(wèn)題是證全根據(jù)全等的判定方法，找出對(duì)應(yīng)的邊和角，注意一定要對(duì)應(yīng)不然會(huì)很容易出錯(cuò)如SAS證等必須找出邊和其夾角對(duì)應(yīng)相.有時(shí)為了證全等，條件中不具備兩個(gè)全等的三角形，我們就需要適當(dāng)作輔助構(gòu)造全.【典型例題】A例圖，在△中AB=ACD、E分別、AC上，E且∠∠B，AD=DE.證：△≌△

B

D

1

C分要和△全，已具備AD=DE一邊由AB=AC可知∠還要一對(duì)邊或一對(duì)由條件∠∠知角比較容通過(guò)外角可得到∠證∵AB=AC∴∠∠，13∵∠∠，∴∠∠C，∵∠BDA=∠DAC+∠C∠∠DAC+∴∠BDA=∠CED.在△和△中

，

∴△≌△DECAAS）例圖∥BDEA分平分CABDBACD過(guò)證分析要AB=AC+BD有種思路，可以把AB分兩段分別和AC、BD相，也可以把ACBD平連接成一條線段，證明其與AB等下面給出第一種思路過(guò).證明在AB上取AF=AC，連接EF∵別平分∠CAB

C

E

D∴∠∠，在△ACE和AFE

AFBAFFAE

，

AE∴△ACE≌△AFE（SAS∴∠∠AFE.∵∥BD∴∠∠D=180°，∵∠AFE+，∴∠∠D.∵平∴∠FBE=DBE在△BFE和中14

∴△≌∴∵AB=AF+BF,∴例3如，、CE分是ABC的AC和AB上高，點(diǎn)在BD的延長(zhǎng)線上，BP=AC點(diǎn)在上求））AP⊥AQ.分析觀AP和AQ所的三角形，明顯要和△全等證出全等可直接得到，通過(guò)角之間的等量代換可得證明（1）BDCE分是ABC的邊AC和的高，

A

P∴∠∠，

E

Q

D∴∠∠BAC=∠，∴∠∠在△ABP和中CACQBA∴△ABP∴AP=AQ.（2由（）△ABP△，∴∠∠QAC∵∠∠PAD=90°∴∠QAC+PAD=90°∴⊥AQ.【核心練習(xí)】、如圖，在ABC，AB=BC=CA，，∠度

BCA

EB

D

C15圖△ABC中為AC中AE⊥，垂足為延AE交BC于F.求證：∠ADB=【參考答案】

AE

D、

B

F

C、提示：作BAC平分線交BD于P，可先證△ABP△CAF，再證△≌△CFD.生活中的對(duì)稱篇【核心提示】軸對(duì)稱核心問(wèn)題是軸對(duì)稱性質(zhì)和等腰三角形.軸稱問(wèn)題我們要會(huì)畫對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱圖形，會(huì)通過(guò)對(duì)稱點(diǎn)找最短線路.等腰三角形的兩腰相等及三線合一，好記但更要想著用，有時(shí)往往忽略性質(zhì)的應(yīng).【典型例題】例斷下面每組圖形是否關(guān)于某條直線成軸對(duì)分與據(jù)軸對(duì)稱的定義和性質(zhì)，仔細(xì)觀察，可知）錯(cuò)誤的是軸對(duì)稱的例列圖形中對(duì)稱軸條數(shù)最多的()正形

長(zhǎng)形

C.等腰三角形

等梯形E.等邊三角形角

線段

圓

I.正五星分與一條對(duì)稱軸的是CDG有三條對(duì)稱軸是，