《線性代數(shù)》教案教案整本書全書電子教案

《線性代數(shù)》 教案課時安排：2 學(xué)時

編號教學(xué)課型：理論課√實驗課□ 習(xí)題課□其它□題目：第一章行列式§1.1二階、三階行列式§1.2n階行列式教學(xué)目的要求：使學(xué)生掌握二、三階行列式的定義及計算方法；理解逆序數(shù)的定義及計算方法教學(xué)重點、難點：二、三階行列式的定義及計算方法；逆序數(shù)的計算方法教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等導(dǎo)入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識點新授課內(nèi)容（75分鐘）二、三階行列式的定義一、二階行列式的定義從二元方程組的解的公式,引出二階行列式的概念。a xa x b設(shè)二元線性方程組11

12 2 1a x a x b212

22 2

a ba

a b a b用消元法,當(dāng)a a11 22a a

a a12

0 時,解得x 221 a a11 22

122 ,xa a 12 21

11aaa11 22

211a a12 21令a1121

12a aa 11 22

a a12

,稱為二階行列式,則如果將D中第一列的元素a ,a11 21

換成常數(shù)項bb1 2

,則可得到另一個行列式,用字D表示,于是有1b aD 1 121 b a2 22按二階行列式的定義,它等于兩項的代數(shù)和：ba1 22

ba2

,這就是公式（2）中

x的表達(dá)1式的分子。同理將D中第二列的元素a 1

b

,可得到另一個行列式,2用字母D 表示,于是有2

12 22 1 2a baD 11 1a2 b21 2按二階行列式的定義,它等于兩項的代數(shù)和：a b

b,這就是公式（2）x2的表達(dá)式的分子。于是二元方程組的解的公式又可寫為

112

2111x D11 D

其中D02x D22 D3x 2x 121 2例1. 解線性方程組 .2x x 1 1 2a xa x a x b111 12 2

13 3 1同樣,在解三元一次方程組a x211

a x22

a x23

b 2a xa x a x b可采用如下的定義.二、三階行列式的定義

311

32 2 33 3 3a xa x a x b111 12 2 13 3 1設(shè)三元線性方程組a x211

a x22

a x b23 3 2a xa x a x b用消元法解得

311

32 2 33 3 3933a a a11 12 13a a a21 22 23a a a31 32 33a a記11 12記Da a

a13a aa

aaa

aaa

aa

aa

aa

,稱為三階行21 22

112233

122331

132132

132231

112332

122133a a a31 32 33列式,則6元素相乘取正號,從右上角到左下角三個元素取負(fù)號,即12124221.(-14)3422xyz2例3.解線性方程組xy4z0 .3x7y5z5解 先計算系數(shù)行列式D 13

1 11 41012735656907 5再計算DDD1 2 32 1 1

2 2

2 1 2D 01

1 451,

D 2

0 431,D1 3

055 7 5 3 5 5 3 7 5D 17 D 31 D 5得x 1 ,y 2 ,z 3D 23

D 69

D 69全排列及其逆序數(shù)1、2、3一、全排列把n個不同的元素排成一列,叫做這n個元素的全排列（簡稱排列）.可將n個不同元素按1~n進(jìn)行編號,則n個不同元素的全排列可看成這n個自然數(shù)的全排列.n個不同元素的全排列共有n!種.二、逆序及逆序數(shù)兩個元素的次序相反時,則稱有一個逆序.通常取從小到大的排列為標(biāo)準(zhǔn)排列,即1~n的全排列中取123(n逆序數(shù)的定義：一個排列中所有逆序數(shù)的總數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列,標(biāo)準(zhǔn)排列規(guī)定為偶排列.例1:討論1,2,3的全排列.全排列123231312132213321逆序數(shù)022113奇偶性偶奇逆序數(shù)的計算：設(shè)p1

pp2

為123(n的一個全排列,則其逆序數(shù)為ttt t1 2tni1t .i其中t為排在p 前,且比p大的數(shù)的個數(shù).i i i定理1任意一個排列經(jīng)過一個對換后奇偶性改變。2n（n>1）n！n總結(jié)（5）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2 學(xué)時

編號教學(xué)課型：理論課√實驗課□ 習(xí)題課□其它□題目：第一章行列式§1.2 n階行列式的定義(續(xù))教學(xué)目的要求：掌握n階行列式的定義教學(xué)重點、難點：n階行列式的定義，特殊行列式的計算公式教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）回顧二階,三階行列式的共同特點.a二階行列式 a21

aa 11 22

a a12 21aa11 12 aaaaa a 11

aa12

()ta a .1p 2p1 221 22其中：①pp1 2和.

是的全排列,②t是pp1 2

的逆序數(shù),③是對所有1,2的全排列求三階行列式a a11 12Da a

a13a a a

a a

a a

a a

aa

a a a21 22 a a a31 32

11 22

12 23

13 21

132231

112332

12 2133ppp1 2 3

是tppp1 2 3

的逆序數(shù),③是對所有1,2,3的全排列求和.a a11 12a a21

a13a ()ta a1323 1p 2

a .3'pa a a31 32 33

1 2 n其中:①pp1 2

p是1,2,ntppn 1

p的逆序數(shù),③是對所有n1,2,,n的全排列求和.板書給出n階行列式語言定義和計算定義：a a11 a a21

a1na2n(1)N(pp

p)a a a .a a an1 n2

12 n

1p 2p np1 2 n舉例進(jìn)行練習(xí)n階行列式的等價定義為：a a11 a a21

a1na2n(1)N(pp

p)a a a .a a an1 n2

12 n

p1 p2 pn1 2 nn階行列式的等價定義為：a a11 a a21

a1na2n(1)N(ii

i)N(jj

j)a a a .a a an1 n2 nn

12 n

12

ij ij ij11 22 nn特殊公式1：112n

, 1 2 n n

12nn2

1 2 n特殊公式2：特殊公式2：下三角行列式Da11a21an10a22an2aa1122a.nnann總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2 學(xué)題目：第一章行列§1.3

編號教學(xué)課型：理論課√實驗課□ 習(xí)題課□其它□教學(xué)目的要求：掌握n階行列式的性質(zhì)，會利用n階行列式的性質(zhì)計算n階行列式的值；教學(xué)重點、難點：行列式的性質(zhì)教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）轉(zhuǎn)置行列式的定義a11記Da21

a a1na a

a11DT=a

a aa a

(D) a a an2

12 22 n2 a a a1n 2n nnDTD的轉(zhuǎn)置行列式（依次將行換成列）一、n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1： 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.由此知，行與列具有同等地位.關(guān)于行的性質(zhì)，對列也同樣成立，反之亦然.如:Da b DTa cc d b dri作cci j

icj.

j列.交換

j兩行記為ri

ri,j兩列記j性質(zhì)2： 行列式互換兩行（列），行列式變號.推論： 行列式有兩行（列）相同，則此行列式為零.性質(zhì)3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以數(shù)k,等于用數(shù)k乘以該行列式推論1： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符號外.推論2： 行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零.性質(zhì)4： 若行列式中某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式等于兩個列式之和.a a

a

) a11a即若D

a12

1na a2i 2n a a

a an2a a a11 12 a a a

ni ni a a11 a a

nna a a12 1na a a則D 21 22 2i

2n+21 22

2i 2n. a a a an2 ni

a an

a ani nn性質(zhì)5： 把行列式某一行（列）的元素乘以數(shù)k再加到另一行（列）上，則該列式不變.二、n階行列式的計算：1.計算D

2 5 1 23 7 45 9 2 7.4 6 1 2解：D

3

r r25121251215223714cc173459272957461216421522021601130120r2rr3r1r2r

1 5

4111522012000300003rr2rr

0 0

3 6 3 3

9.3 40 1 2 0b ba b

bbrrrr

aaaab a b b例2.Db b

1 23 ba

b b a bb b b ar 1

1 1 1 1rbr

1 1 1 11a3b

a b

i

ab 0 0b b ab b b

bi2,3,4 0 0 ab 0a 0 0 0 ab(ab).(推廣至n階，總結(jié)一般方法)pq qr rp p q r例3.證明：pq1 1p q2

qr1 1r2

rp1 1p2

2p1p2

q r.1 1q r2 2p qr r

q q

rp證明： 左端第列p1性質(zhì)4p2

qr1 1qr2

rp q1 1 rp q2 2

qr1 1r2

rp1 1p2 2pqrrqrrppqrqrppqrrqrrppqrqrp1 1 1 p q r r2 2 2

1 1 1 1q r rp2 2 2

1 1 q r2 2

1 1 1r p2 2 2p q r2p q r.1 1 1p q r2 2 2例4.計算2n階行列式.a ba bab abD (adbc)nc d c dc d(利用遞推法計算)a a a11 1k 0例5.Dak1c11cn1cakk，1k cb11b n1nkb1nbnnbDdet(a)ija11ak1a1k,akkD det(b)2ijb11b1n.1n1bnn則DDD.1 2總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2學(xué)時

編號教學(xué)課型：理論課√實驗課□ 習(xí)題課□其它□題目：第一章行列式§1.4行列式按行（列）展開教學(xué)目的要求：了解余子式和代數(shù)余子式的概念；掌握行列式按行（列）展開；教學(xué)重點、難點：行列式按行（列）展開教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）定義在n階行列式中，把元素aij

所處的第ij構(gòu)成的n1階行列式，稱為aij式.

的余子式，記為Mij

Aij

(1)ijMij

稱為aij

的代數(shù)余子引理如果n階行列式中的第i行除aij

外其余元素均為零，即：a a a11 1j 1n D

a ij

.則：DaA.0ij ij0a a an1 nj nn定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即按行： aA a A aA i1 j1 i2 j2 in jn

ij按列： aA1j

a A2i 2

a A ni nj

ij舉例講解并練習(xí)范德蒙行列式

1x1D x2n 1

1 x 2x2 2

1x2xn 2n

xi j

nij1xn11

xn12

xn1n其中，記號“ ”表示全體同類因子的乘積.定理的推論 行列式一行（列）的各元素與另一行（列）對應(yīng)各元素的代數(shù)余子式乘積之和為零，即 aA a A aA i1 j1 i2 j2 in jn

ij按列：aA1j

a A2i 2

a A ni nj

ij結(jié)合定理及推論，得n n

1,(ij) ，其中 a A D , a AD , .ik jk ijk

ki kj ij

0(ij)總結(jié)（5）教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2學(xué)時題§1.5

編號教學(xué)課型：理論課√實驗課□ 習(xí)題課□其它□教學(xué)目的要求：了解克拉默法則的內(nèi)容,了解克拉默法則的證明,會利用克拉默法則求解含有n個未知數(shù)n個方程的線性方程組的解；教學(xué)重點、難點：克拉默法則的應(yīng)用教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）研究對象：含有nxx1 2

,...,xn

的n個方程的線性方程組a xa x a x b111 12 2

1n n 1a xa x a x b211 22 2 2n 2 2 （1） a xn11

a xn2

a x bnn n n與二、三元線性方程組相類似,它的解可以用n階行列式表示.定理1（Cramer法則）如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,即a a11 1n則方程組(1)有且僅有一組解：D

D 0 ,a annD Dx 11 D

,x 2 ,…,x2 D

n (2)D

jn是把系數(shù)行列式D 中的第j列的元素用方程組右端的常數(shù)列代j替 ,而其余列不變所得到的n階行列式a11aD 21

a b1a b2

aj1a

an1na .2nj a a bn

a aj1 nn當(dāng)b,b1 2

,...,bn

全為零時,即a xa x a x 0111 12 2

1n na xa x a x 0211 22 2 2n 2 a xn11

a xn2

a x 0nn nx1

x2

0,...,xn

0）.根據(jù)克拉默法則,有D0時,則它只有零解（沒有非零解）D01．求解線性方程組x x 8 1 2 3 4x 91 2x2

4x 2x3

5解:系數(shù)行列式

x 4x1

7x3

6x 04212151130602122010D 7

270同樣可以計算8 1 5 19 3 0 6

2 8 5 1, 1 9 0 6 ,521252122 0512047610761

D 1081406147014061470218121581032956227,D4103201951所以x D11 D

3,x2

24 ,xD 3

31 ,xD 4

41.DDDDD注意：DD克萊姆法則的條件：n個未知數(shù) ,n個方程,且D0用克萊姆法則求解方程組運(yùn)算量大一般不采用它求解方程組?？巳R姆法則具有重要的理論意義。2.用克拉默法則解方程組3x3

5x242

2x

x 343 x 2 4234xxxx234

116,x1x1 2

3x3

2x4

56.3.(5)x

2y2z0 2x(6)y 0 2x (4)z0有非零解,問解系數(shù)行列式D(5)(2)(8)由：D0 ,得、、8.總結(jié)（5）教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》教案

編號：課時安排：2 學(xué)時 教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□其它□題目：第二章矩陣§2.1§2.2§2.3n階矩陣（方陣教學(xué)目的要求：了解矩陣的概念；掌握矩陣的運(yùn)算教學(xué)重點、難點：矩陣的概念和矩陣的運(yùn)算教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等導(dǎo)入（10）本章主要內(nèi)容和知識點新授課內(nèi)容（75一、矩陣的定義稱m行、n列的數(shù)表a a a11 12 1na a a21 22 2n a a am2 mn為mn矩陣，或簡稱為矩陣；表示為a a a a

12 1na a A 21 22

2n a a am2 mnA(aij)mnA(aijAmn；其中aijA中第ij列的元素。a11其中行列式Da21a

a a12 1na a22 2n為按行列式的運(yùn)算規(guī)則所得到的一個數(shù)；而 a am2 mnmn矩陣是mn個數(shù)的整體,不對這些數(shù)作運(yùn)算。例如，公司的統(tǒng)計報表,學(xué)生成績登記表等,都可寫出相應(yīng)的矩陣。A(aij

)mn

，Bij

)mn

都是mn 矩陣，當(dāng)ABAB二、特殊形式n階方陣：nn 矩陣行矩陣：1n矩陣（以后又可叫做行向量），記為A(a,a1 2,

,,a)n列矩陣：m1矩陣（以后又可叫做列向量），記為b 1bB 2b m零矩陣：所有元素為0的矩陣,記為矩陣的運(yùn)算一、加法A(aij

)mn

，B(bij

)mn

,都是mn矩陣,則加法定義為a

a

a b 11

12

1n 1na bAB 21a b

a b22 a b

a b 2n 2n a b 顯然,

m2 m2

mn mn①ABBA，②(AB)CA(B二、數(shù)乘設(shè)是數(shù),A(a) 是mn矩陣,則數(shù)乘定義為ij mna a 11

12 1n a a a 21 22

2n am1

a m2 mn顯然①，②，③AB三、乘法ABC

設(shè)A(aij

)ms

，B(bij

)sn

,則乘法定義為其中C(c )ij mn

i1,2,,mc ij

bi11

a b i2 2j

abis

k

a bik kj

j1,2,,n 注：兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)等于后一個矩陣的行數(shù)；乘積矩陣的行數(shù)為前i 陣的第i行元素與后一個矩陣的第j行元素對應(yīng)相乘再相加。4 2 1 0 2 例：設(shè)A1 0 3 1,2 1 0 2

03，則11 3 44 1 0 2 1 0 2AB1 0 3 12 1 0 2 0 114 3 141403211013010033142410221 21110023 20130124 9 119 9 11 2242412，B-3-6

ABBA。2 42 4 16 2 42 4 0 0解：AB1 23 68 16，BA3 61 20 0

1）ABBA（不滿足交換律）（2）AOBOBAOAms

，Bsn

,,則Ams

Bsn

成立,當(dāng)mn 時,

sn

A

不成立；Amn

，Bnm

,則Amn

Bnm

是m

nm

Amn

是n階方陣；2 4 2 43.如果 A,B 都是n階方陣,例如A1 2，B3 6，則 16 32 0 0AB

16

，而BA0 0 綜上所述,一般ABBA（即矩陣乘法不滿足交換率）。下列性質(zhì)顯然成立：ABCABC，②ABABAB，CABAC,CABACA幾個運(yùn)算結(jié)果：b1 b1.a,a,,a 2abab ab；1 2 n 11 22 nn b bnb a

ab ab 1 11 12 1n22.b2

,,

ab ab 21 2

ab；2n； 1

n

b ab ab abn n1 n 2 n n3A為mnI是mIAAI是nAIA；4．線性方程組的矩陣表示：a x a x a x b 11 1 12

1n n 1a x a x a x b21 1 22 2 2n n 2,a x

a xm2

a x bmn n ma

a

b 11

1n

1 1a

a x b A 21 22

2n,x

2,b 2a a

a am2 mn

x n mx則 AxbA2AA3AAAnAAn1.四、轉(zhuǎn)置a

a

a a 11

1n 11 21

n1a a

a a a a 設(shè)A 21 22

2n，記AT 12 22

n2 a a n1

a an2 nn

an a a1 2n nn則稱AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣。顯然，ATTA，②AB

ATBT，③A

AT，④B

BTAT。五、方陣的行列式A為n階方陣，其元素構(gòu)成的nA或detA。結(jié)論結(jié)論ATA，②AT nA，③ABAB?？偨Y(jié)（5）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》教案課時安排：2 學(xué)時

編號：教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□其它□題目：第二章矩陣§2.4幾種特殊的矩陣教學(xué)目的要求：掌握幾個n階特殊矩陣的定義和性質(zhì)教學(xué)重點、難點：三角形矩陣和對稱矩陣的相關(guān)定義和結(jié)論教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5）新授課內(nèi)容（80分鐘）對角陣：對角線元素為1 2

,...,n

D的方陣，記為結(jié)論：同階對角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階對角矩陣a a 數(shù)量矩陣：A a a 結(jié)論：同階數(shù)量陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階數(shù)量矩陣單位陣：對角線元素為1，其余元素為0的方陣，記為1 1 I 1 1 三角形矩陣：a a a 11 1222A0a22

a1n2n00a 00a nna 0 0a11 a 0下三角形矩陣A 21 22aaaa n1 n2

aann同階同型三角陣的和、數(shù)乘、乘積仍是同階同型三角矩陣對稱矩陣AATA（即aij

a ）,A是對稱陣jiA是mnATA是nAAT是m階對稱陣.兩個同階對稱矩陣，當(dāng)且僅當(dāng)二者可交換時，乘積才是對稱矩陣。總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》教案課時安排：2 學(xué)題目：第二章矩陣§2.5

編號：教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□其它□教學(xué)目的要求：掌握矩陣分塊的運(yùn)算和相關(guān)性質(zhì)教學(xué)重點、難點：教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5）新授課內(nèi)容（80引例：設(shè)a aAa11 a12

a a 13 14a a a21 a2231

a23 a2433 34可按以下方式分塊，每塊均為小矩陣：a a

a

，

a )，

a ),A1121

a1222A

A 13a12 a23A

14aa24

21 31 32

22 33 34則A

12。A A21 22矩陣分塊法是用若干條橫線和若干條豎線將矩陣分割成幾個小矩陣。矩陣分塊法的運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)：加法：A

B 11

1r

1r設(shè)A ，A A B B s1 s1 s1 s1A B A B 11 11 1r r1則AB . .A B A B 數(shù)乘：

s1 s1

s1 s1A

A

11

1r

1r設(shè)A

，是數(shù)，則A .A A A A s1 s1乘法：

s1 s1A

B 11

1r設(shè)A ，B ，則A B Cml

A A

lm

B B

ml

ln

mn C C

st t1 tr 11其中

1，

A B ,i1,2,,s,j1,2,rC CC 轉(zhuǎn)置：

C s

ijk1

ik kjA A

AT

AT 11

1r

11

sr設(shè)A ，則AT A A

AT

ATsrs1 sr對角分塊的性質(zhì)：A 12設(shè)A A2設(shè)

A,

A

A,,A 。1 1 A s

1 2 s幾個矩陣分塊的應(yīng)用：1．矩陣按行分塊：a a a a

12 1na a 設(shè)A 21

2n，記a

(a,

,,

),i, a a am2 mn

i

i2, inaT 1 aT則A 2 aTm矩陣按列分塊：a 1ja 記 a 2j,j1,2,naj a則A(a,a1 2,

mj,a)。n線性方程組的表示：a xa x a x b 111 12

1n n 1設(shè) a xa x a x 設(shè) 211 22 2 2n n 2a xm11

a xm2

a x bmn n ma

a

x

b 11

1n

1 1a

a

b若記A 21 22

2n，x

2，b2 a a

a

x m2 mn x 則線性方程組可表示為Axb?？偨Y(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》教案課時安排：2§2.6逆矩陣

編號：教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□其它□教學(xué)目的要求：掌握逆矩陣、伴隨矩陣的定義和性質(zhì)；能夠利用公式計算逆矩陣教學(xué)重點、難點：逆矩陣概念和計算教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5）新授課內(nèi)容（80分鐘）A為n階方陣,若存在一個nB，使得ABBAI,ABAA1B若CAACI,則CA11A1A1必唯一. 1性質(zhì)2若A可逆，則A1也可逆，且A1 A3A可逆,且1A14ABAB也可逆，且B二、逆陣存在的條件及逆陣的求法

B1A1Aij

的行列式a11aA a

a a12 1na a22 2n a an2 nn中元素aij

Aij

(i,jn)

n階方陣,記作A* ,即A A A 11 21 A A A A的伴隨矩陣.A* 12 22

n2 A A A1n 2n nn定理方陣

Aa

可逆 A

且A1A*ijA*A為n階方陣,若存在nBABIBAIBA1。注：求A1時，只需要驗算ABI，計算量減半。3 2 1

3 2 例.判斷下列方陣A1 2 2,B1115 1是否可逆?若可逆，求其逆 3 4 3 3 陣。解： A0，B0，所以B不可逆，A可逆，并且2 2 2A* 1 A1

3 6 5A 22 6 4三、用逆矩陣法解線性方程組例：解線性方程組3x2x x 1 1 2 3x2x 2x 21 2 33x4x 3x 31 2 33 2 1

1 解：其矩陣式為 1 2 2

1 3 4 3x2 33 33 2 1因 1 23 4x

2 2 ,3 3 2 111 2 2 21 0x11 2 2 21

6 0所以

52 x2 3 4 3 3

22 6 43 13 31所以其解為x1

0,x2

0,x 13四、分塊矩陣的逆矩陣A A1 1 A 1 結(jié)論：若

A

2 可逆，則

A12 2 AsA O

s A1 O結(jié)論：設(shè)X ，A,C為可逆方陣,則X 。B C C總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：

C1《線性代數(shù)》教案課時安排：2學(xué)時

編號：教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□其它□題目：第二章矩陣§2.7矩陣的初等變換教學(xué)目的要求：了解矩陣的三種初等變換，熟悉初等矩陣的定義，掌握矩陣初等變換與對應(yīng)初等矩陣運(yùn)算上的關(guān)系，能夠?qū)⒔o定的矩陣?yán)贸醯茸儞Q化簡成階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形；掌握利用初等變換求逆矩陣的方法教學(xué)重點、難點：矩陣的初等變換，利用初等變換求逆矩陣教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書在本章的§2.6節(jié)中給出了矩陣可逆的充分必要條件，并同時給出了求逆矩陣的一種方法——伴隨矩陣法．但是利用伴隨矩陣法求逆矩陣，當(dāng)矩陣的階數(shù)較高時計算量是很大的．這一節(jié)將介紹求逆矩陣的另一種方法——初等變換法．為此我們先介紹初等矩陣的概念，并建立矩陣的初等變換與矩陣乘法的聯(lián)系．一、初等變換交換矩陣的某兩行的位置；用一個非零的數(shù)去乘矩陣的某一行；用一個數(shù)乘某一行后加到另一行上．這三種變換稱為矩陣的初等行變換．類似地，有1’交換矩陣的某兩列的位置；2’)3’)1’)，2’)，3’)稱為矩陣的初等列變換．矩陣的初等行變換和矩陣的初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．定義1 由單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣．Iij行(列)的位置，得1 1 0 1

i行 1 1 0

j行

1 1 i列 j列111cIic1i行1i列1 1

i行 (3)IjkiI(i，j(k))=

1 j行 1 i列 j列Iikj列所得的初等矩陣．顯然，上述三種初等矩陣就是全部的初等矩陣．初等矩陣具有下列性質(zhì)：初等矩陣都是可逆的．這是因為|I(i，j)|=–1≠0|I(i(c))|=c≠0|I(i，j(k))|=1≠0初等矩陣的逆矩陣仍是同類型的初等矩陣，且有，)–1=(，)1())–1=((c))，())–1=(，(–))引入初等矩陣后，使得矩陣的初等變換可用初等矩陣與該矩陣的乘積來實現(xiàn)．1AAmAAn階初等矩陣．AjkiA，其它兩種初等行變換可類似證明．二、利用初等變換求矩陣的逆利用矩陣的初等變換，可以把任一矩陣化為最簡單的形式．定理2 任意一個m×n矩陣A經(jīng)過一系列初等變換，總可以化成形如1 I 0D 1 =r 0 000 0 0 的矩陣，DA行變換化簡矩陣為行階梯形1，A乘這個矩陣．因此，矩陣與它的標(biāo)準(zhǔn)形D…PPAQQ…Q

(1)s 21 12 tP，P，…，PQ，Q

是初等矩陣．1 2 s 1 2 t由于初等矩陣都是可逆的，所以(1)式又可寫成：=P–1P–1…P–1DQ–1…Q–1Q–1 (2)1 2 s t 2 1推論nA可逆的充分必要條件是A定理3 n階方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成一些初等矩陣的乘積．即Q…Q (3)12 mQ，Q，…Q為初等矩陣．1 2 m推論 若n階方陣A可逆，則總可以經(jīng)過一系列初等行變換將A化成單位矩陣．AnP，P，…P，使得1 2 mP…PP(5)m 21由(5)式右乘–1得 –1=P…PPI (6)m 21(5)(6A化成單位矩陣，那么同樣I–1AI–1．簡示為：(A)──────→(I–1)總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》教案課時安排：2 學(xué)題目：第二章矩陣§2.8

編號：教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□其它□教學(xué)目的要求：掌握矩陣秩的定義,會求矩陣的秩.教學(xué)重點、難點：求矩陣的秩教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5）新授課內(nèi)容（80分鐘）1.在mnAk行k（kmkk2個元素,A中所處的位置次序而得到的kA的k階子式.mnAkCkm

Ck個.n2A中有一個不等于零的r階子式D，且所有的r1階子式都等于0則稱DA的一個最高階非零子式.數(shù)rAARA).零矩0.注解:1.規(guī)定零矩陣的秩規(guī)定為0.AijAij

nnnn

rnA為滿秩矩陣.rnA為降秩矩陣.4..R(AT)R(A).問題：經(jīng)過初等變換矩陣的秩變嗎？定理若A~B,則RARB.初等變換求矩陣秩的方法：矩陣的秩的性質(zhì)(1).0R(Amn

)(2).R(AT)R(;若A~B,RARBQR(PAQ)R.(5).max{R(R(B)}R(B)R(R(B)(6).R(AB)R(R(B).(7).R(AB)min{R(R(B)};Amn

B

ORR(B)AA的秩=此行階梯形矩陣的秩（1．行階梯形矩陣的秩=其非零行的行數(shù)（滿秩陣由Aij

1 2 3 1 0 0 2 2 1~0 1 0， 3 4 3 得到以下等價命題.若A滿秩r(A)n必有A0；A1必存在；為非奇異陣；必能化為單位陣In總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2 學(xué)時 教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□編號：其它□題目：第三章線性方程組§3.1線性方程組的消元解法教學(xué)目的要求：組解的判別定理；教學(xué)重點、難點：利用初等變換求線性方程組的解教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等導(dǎo)入（10分鐘）本章主要內(nèi)容和知識點新授課內(nèi)容（75分鐘）消元法解二元、三元線性方程組時曾用過加減消元法，實際上這個方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元線性方程組的最有效的方法．通過例子介紹如何用消元法解一般的線性方程組．消元方法具有一般性，即無論方程組只有一個解或有無窮個解還是沒有解，都可用消元法將其化為一個階梯形方程組，從而判斷出它是否有解．分析一下消元法，不難看出，它實際上是反復(fù)地對方程組進(jìn)行變換，而所作的變換，也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：交換方程組中某兩個方程的位置；用一個非零數(shù)乘某一個方程；這三種變換稱為線性方程組的初等變換．用消元法解線性方程組的過程就是對線性方程組反復(fù)地實行初等變換的過程．考慮線性方程組a xa x a x b11

12 2

1n n 1a xa x a x b211 22 2 2n n 2

(I) a xm11

a xm2

a x bmn n m方程組(I)的全部解稱為(I)的解集合．如果兩個方程組有相同的解集合，就稱它們是同解的或等價的方程組．下面來說明，如何利用初等變換來解一般的線性方程組．1121對于方程組(I)，首先檢查x1的系數(shù)．如果的系數(shù)a ，a ，…，am1全為零，那1121么方程組(I)x1沒有任何限制，x1(I)x2…xn的x1

≠不等于零，否則可利用初等變換，0 0 交換第一個方程與另一個方程的位置，使得第一個方程中x1的系數(shù)不為零．然后利用初等變換3，分別把第一個方程的(

ai1)a

倍加到第i個(i=2，3，…，m)方程，于是方程組(I)變成a

x

11x a x b11

12 a x22 2

1n n 1a x b2n n 2

(Ⅱ) a xm2 2

a x bmn n m其中 a'

, i2,,m, j2,,naij ija

a 1j11顯然方程組(Ⅱ)與(Ⅰ)是同解的．對方程組(Ⅱ)再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步一步做下去，必要時改變未知量的次序，最后就得到一個階梯形方程組．為了討論方便，不妨設(shè)所得到的階梯形方程組為c x

x

x c x d111

12 c x22

1r rc x2r

1n n 1c x d2n n 2 c x rr

c x drn n r

(Ⅲ) 0d 00r 00其中cii≠0，i=1，2，…，r．方程組(Ⅲ)中“0=0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解．與(Ⅲ)(Ⅲ)r+1個方程0=dr+1(I)dr+1r=n時，階梯形方程組為c xc x c x d11

12 c x22 2

1n n 1c x d2n n 2

(Ⅳ) c x dnn n n其中cii≠0，i=1，2，…，n．由克萊姆法則(Ⅳ)有唯一解，從而(I)有唯一解．c x

x

x c x d111222222

12 c x

1r r2rr2rr

1n n 12nn2c x 2nn2 c xc rr

c x drn n r

(Ⅲ) 0d 00r 00其中cii≠0，i=1，2，…，r．方程組(Ⅲ)中“0=0”是一些恒等式，可以去掉，并不影響方程組的解．r<n時，這時階梯形方程組為c x

x

x

x c x d111

12 c x

1r rc x

1rc

rx

1n n 1c x d 22 2

2r

2r

r

2n n 2 c xrr r

crr

xr

c x drn n 2其中cii≠0，i=1，2，…，r，寫成如下形式c x

x c

d

x c x111

12 c x

1rc

rnx

1 1rc

r

1nc x 22 2

2r

2 2r

r

2n n

(Ⅴ) c xrr r

d 2

rr

xr

c xrn n值，也就是定出方程組(Ⅴ)的一個解，一般地，由(Ⅴ)x1，x2…，xrxr+1，…，xn表示出來．這樣表示出來的解稱為方程組(I)的一般解，因xr+1，…，xn們?yōu)樽杂晌粗浚@然，(Ⅴ)有無窮多個解，即(I)有無窮多個解．定理：非齊次線性方程組，RA)RAb)RA)RAbn方程組有無窮多組解的充分必要條件是RA)RAbrn,且在任一解中含有nr個任意常數(shù).0程是零等于一個非零的數(shù)，那么方程組無解，否則有解．方程組有解時，如果階梯形方程組中方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)，則方程組有唯一解；如果階梯形方程組中方程個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則方程組有無窮多個解．當(dāng)線性方程組(1)中的常數(shù)項b1=b2=…=bm=0時，即a xa x a x 011

12 2

1n na xa x a x 0211 22 2 2n n

(Ⅵ)a xm11

a xm2

a x 0mn nx1x2=…xn=0就是它的一個解．這個解稱為齊次方程組的零解．我們所關(guān)心的是它除了零解之外，還有沒有非零解？把上述對非齊次線性方程組討論的結(jié)果應(yīng)用到齊次線性方程組，就有如下定理．(Ⅵ)m<n總結(jié)（5）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2 學(xué)時

編號教學(xué)課型：理論課√實驗課□ 習(xí)題課□其它□題目：第三章線性方程組§3.2教學(xué)目的要求：了解n維向量的基本概念，理解線性組合、線性表示、向量組等價的定義；教學(xué)重點、難點：線性表示和向量組等價的定義、定理教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）一、n維向量定義1nAaa1 2

,,am

所組成的數(shù)組稱為n維向量這n個數(shù)稱為該向量的n個分量第i個數(shù)a稱為第i個分量in維向量可寫成一行也可寫成一列按第二章中的規(guī)定分別稱為行向量和列向量也就是行矩陣和列矩陣并規(guī)定行向量與列向量都按矩陣的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算aa1因此n維列向量a 2與n維行向量aT(a,

,,

)總看作是兩個不同的向量 a a n

1 2 m本書中ab,等表示aTbT,TT等表示都當(dāng)作列向量向量的運(yùn)算類似于矩陣的運(yùn)算，也有類似的運(yùn)算性質(zhì)二、向量組的概念若干個同維數(shù)的列向量(或同維數(shù)的行向量)所組成的集合叫做向量組矩陣與向量組的對應(yīng)一個mn矩陣的全體列向量是一個含nmm個n維行向量的向量組a

a

(a

)

a

a

)

a1n

2

,

2,,

2na

(a

)

a

a

mn

mn

m1

m2

mnm個nAaa1 2

,,am

構(gòu)成一個nm矩陣A(a,a1 2

,,a );mn個mBTT,

構(gòu)成一個mn矩陣T

1 2 m 1TB 2 m又如線性方程Ax0的全體解當(dāng)R(A)n時是一個含無限多個n維列向量的向量組三、向量組的線性組合與線性表示定義2給定向量組A:a,a1 2

,,am

對于任何一組實數(shù)kk1 2

,,km

表達(dá)式ka ka1 1 2 2

k am m稱為向量組A的一個線性組 k,k,,k 稱為這線性組合的系數(shù)1 2 mAaa1 2

,,am

和向量b，如果存在一組數(shù)1 2

, 使mba a a11 2 2 m m則向量b是向量組A的線性組合這時稱向量b能由向量組A線性表示向量b能由向量組A線性表示，也就是方程組xa xa1 1 2

x am m

b 有解定理1向量b能由向量組Aaa1 2

,,am

線性表示的充分必要條件是矩陣A(a,a1 2

,,am

B(aa1 2

,,am

,b即RA)R(B)四、向量組的等價性定義3 設(shè)有兩個向量組A:a,a1 2

,,am

Bbb1

,,bl

若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示則稱向量組B能由向量組A線性表示若向量組A與向量組B能相互表示相互表示則稱這兩個向量組等價總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2 學(xué)時 教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□編號：其它□題目：第三章線性方程組§3.3向量組的線性相關(guān)性教學(xué)目的要求：了 理解向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義及對應(yīng)的判定定理教學(xué)重點、難點：判斷給定向量組的線性相關(guān)性。教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）定義1 對于向量組

，如果存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，k，使得k1 1

+

2+…+km

m mm=0 (2)則稱向量組1，2

，…，m

是線性相關(guān)的．定義2 一個向量組如果不是線性相關(guān)就稱為線性無關(guān)．也就是當(dāng)且僅當(dāng) k1=k2=…=k=0kk+…k=0成立，則稱，，…，

線性無關(guān)．m 1 1 2 2 m m 1 2 m

，2

，…，k 都有 k+k+…+k≠0．m 1 1 2 2 m mAaa1 2

, ,am

線性相關(guān)m2的情形m1的情形m1時向量組只含一個向量a的向量組當(dāng)a0時是線性相關(guān)的當(dāng)a0時是線性無關(guān)的對于含2aa1 2

的向量組它線性相關(guān)的充分aa1 2

的分量對應(yīng)成比例其幾何意義是兩個向量共線 3個向量線性相關(guān)的幾何意義是三向量共面結(jié)論：一個零向量必線性相關(guān)，而一個非零向量必線性無關(guān)；含有零向量的任意一個向量組必線性相關(guān)；1n維基本單位向量組1

， ，…，2

線性無關(guān)．定理1 m個n維向量組a a a a11 a12 a1m= 21，= 22，…，= 2m1

2

m a a a a n2 nm線性相關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組a xa x a x 011

12 2

1m ma xa x a x 0211 22 2 2m m

(3)a xn11

a xn2

a x 0nm m有非零解．推論1向量組1，2，…，m線性無關(guān)的充分必要條件是齊次線性方程組(3)只有零解．推論2 當(dāng)m=n時，即n個n維向量a

a 11

12

1n=a ，

=a

=a 1 21

2 22

n 2n

n2 nna a11 122122線性無關(guān)的充分條件是行列式D=a a2122

an≠0 ≠0n a a an1 n2 nn推論3 m>n時，任意m個n維向量都線性相關(guān)．即當(dāng)向量組中所含向量個數(shù)大于向量的維數(shù)時，此向量組線性相關(guān)．定理2 向量組線性相關(guān)的充分必要條件是其中至少有一個向量可由其余m–1個向量線性表出．推論向量組，，…，(m≥2)線性無關(guān)的充分必要條件是其中每一個向量都不能1 2 mm–1個向量線性表出．定理3若向量組1，2，…，m線性無關(guān)，而向量組β，1，2，…，m線性相關(guān)，則可由

，，…，2

線性表出，且表達(dá)式唯一．4(稱為部分組)例如，含有兩個成比例的向量的向量組是線性相關(guān)的．因為兩個成比例的向量是線性相關(guān)的，由定理5知該向量組線性相關(guān)．推論若向量組線性無關(guān)，則它的任意一個部分組線性無關(guān)．如，n維單位向量組ε，ε

線性無關(guān)，因此它的任意一個部分組線性無關(guān)．1 2 ns5n維向量組mn+m維向量組*也線性無關(guān)．s推論如果n維向量組1，2，…，s線性相關(guān)，則在每一個向量上都去掉m(m<n)n–m維向量組6設(shè)有兩個向量組,,1 2及 ,,1 2

,（A）s,（B）t向量組（B）可由向量組（A）st，則向量組（B）線性相關(guān)推論向量組（A）與向量組B）等價，如果向量組（A（B）則s=t總結(jié)（5）教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2學(xué)時 教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□編號：其它□題目：第三章線性方程組§3.4向量組的秩教學(xué)目的要求：掌握極大無關(guān)組與向量組的秩的概念，能求給定向量組的極大無關(guān)組及秩教學(xué)重點、難點：向量組的極大無關(guān)組及秩教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）一、向量組的極大無關(guān)組定義1 設(shè)有向量組

i1 i2 iri1(1)i1

，，…，i2

m線性無關(guān)；1(2)向量組1

，2

中的任意一個向量都可由部分組i1

，i2

線性表出．則稱部分組i1，i2大無關(guān)組．

，…，ir

是向量組，1 2

，…，m

的一個極大線性無關(guān)組，簡稱為極從定義可看出，一個線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是這個向量組本身．顯然，僅有零向量組成的向量組沒有極大無關(guān)組．為了更深入地討論向量組的極大無關(guān)組的性質(zhì)，我們先來討論兩個向量組之間的關(guān)系極大線性無關(guān)組有下列性質(zhì)：1向量組，

，…，m

與它的極大無關(guān)組，i1 i2

，…，ir

等價．推論向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價．性質(zhì)2向量組的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同．定理1矩陣的秩等于它的列向量組的秩,也等于它的行量組的秩.定理2對一個矩陣進(jìn)行初等行變換，不改變對應(yīng)列向量組之間的線性關(guān)系。二、向量組的秩由于一個向量組的所有極大無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量，這說明極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)反映了向量組本身的性質(zhì)．因此，我們引進(jìn)如下概念：2m)．規(guī)定零向量組成的向量組的秩為零．1n維基本單位向量組1

，，…，2

是線性無關(guān)的，它的極大無關(guān)組就是它本身，因此，r(1，2，…，n)=n．定理3向量組線性無關(guān)的充分必要條件是：它的秩等于它所含向量的個數(shù)．定理4相互等價的向量組的秩相等．定理4的逆定理并不成立．即兩個向量組的秩相等時，它們未必是等價的．例如向量組

=(1，0，0，0)，

=(0，1，0，0)

=(0，0，2120，1)r(，)=r(，212

)=2，而這兩個向量組顯然不是等價的．1 2 1 2定理5 如果兩個向量組的秩相等且其中一個向量組可由另一個線性表出，則這兩向量組等價．總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2學(xué)時 教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□編號：其它□題目：第三章線性方程組§3.5教學(xué)目的要求：掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)和基礎(chǔ)解系的概念；會求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；教學(xué)重點、難點：求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解；教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）一、齊次方程組的解的性質(zhì)：設(shè)有n元齊次線性方程組 Ax0 c1若xc,x c, ,x

是⑴的解，記c21 1 2 2 n n

cnc性質(zhì)1 若,1 2

為（1）的兩個解（向量，則1

也是（1）的解.2性質(zhì)2 若為（1）的解（向量，k為任意實數(shù)，則k也是（1）的解.如果⑴的全體解向量所組成的集合稱為齊次方程組⑴的通解.定義：具體說，如果,1 2

, ,n

是⑴的一組解向量，且滿足[1]向量,1 2

, ,n

組線性無關(guān)；[2]齊次方程組⑴的每個解都可由,1 2

,線性表示；n那么稱,1 2

,為齊次方程組⑴的一個基礎(chǔ)解系.n如果,1 2

,是齊次方程組⑴的一個基礎(chǔ)解系，那么⑴的所有解都可表為nkk k11 22 nn其中k,k1 2

, ,kn

為任意實數(shù),稱上式為齊次方程組⑴的通解.定理1n元齊次線性方程組 Ax0的基礎(chǔ)解系含nrRAr.

1RArA為行最簡形矩陣,不妨令為

1,r2,r

1100bb010b1 b2n A0 0 1 b b 21 r,r

rn0 0 0 0 0 0 0 0 0 0于是得到與⑴同解的方程組：xb

x

x bx1 r

r

r2

r

1nnxb2 2,r

xr

b2,r2

xr

b x2nn

(3)xb x b x bxr r,rrr,r2r2 rnn對自由未知量xr1

,x r2

x分別取值nx 1 0 0xr 0 1 0r2 , , x 0 x 0 代入⑶的右端依次可得：

n

x b

b

b 1

1,r

1,r2

1nx b

b

b 2

2,r,

2,r2, , 2n x b b b r r,r r,r2 rn于是得到⑶的nr個解:x b

b b 1

1,r

1,r2

1nx b

b 2

2,r

2,r2

2n

x b

b b xr

r,r

r,r2

,

rn r1 1

0

0 x 0 1 0 r2

x 0 0 1 下面證明解向量組

n b

b 1,r 1,r2 1n b

b 2,r 2,r2 2n b b b r,r, 1 1

r,r2,, 0

nr

rn 0 0 1 0 0 0 0 0 是⑶的一個基礎(chǔ)解系，從而它們也是⑴的一個基礎(chǔ)解系首先，,,, 線性無關(guān).1 2 nr其次證明⑶的任意解都可由,,, 線性表示.1 2 nr 1 設(shè)

r是⑶的一個解.根據(jù)齊次方程組解的性質(zhì)可知，向量r1 n

r11

r2

nnr也是⑶的一個解，由于與的后面的nr個分量對應(yīng)相等，因此 r11即可由,,, 線性表示.1 2 nr

r22

nnr,1 2

,,

nr

是方程組（3，從而也是齊次方程組（1）的一個基礎(chǔ)解系，所以，⑴的基礎(chǔ)解系含nr個解.例1. 求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.2xx

2x3x 03x122 x32x40xx1 2 3 4xxx 01 2 3 4解:對系數(shù)矩陣A作初等行變換,將其變?yōu)樾凶詈喰尉仃?得2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 4A3 2 1 2r0 1 4 5 r0 1 4 5 r0 1 4 5 1 1 1 1 0 1 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 x3x4x于是得同解方程組1 3 4x2x 10

4x3

5x4x

34令x30,1, 可得

1

,

,即得基礎(chǔ)解系：42 42

x

453 44 5 , .1 1 2 00 0 x1并得方程組的通解x c2

c

, c,

R.x 11 2 2 1 2x34總結(jié)（5分鐘）討論、思考題、作業(yè)：教學(xué)總結(jié)：《線性代數(shù)》 教案課時安排：2學(xué)時 教學(xué)課型：理論課√實驗課□習(xí)題課□編號：其它□題目：第三章線性方程組§3.5線性方程組解的結(jié)構(gòu)（續(xù)教學(xué)目的要求：掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)并會求解非齊次線性方程組；教學(xué)重點、難點：求解非齊次線性方程組的通解；教學(xué)方式、手段、媒介：講授，多媒體、板書（含復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容、引入新課、中間組織教學(xué)以及如何啟發(fā)思維等復(fù)習(xí)（5分鐘）新授課內(nèi)容（80分鐘）一、非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)下面討論當(dāng)非齊次線性方程組有無窮多解時，解的結(jié)構(gòu)問題．設(shè)非齊次線性方程組為a xa x a x b11

12 2

1n n 1a xa x a x b211 22 2 2n n 2

(2) a xm11

a xm2

a x bmn n m當(dāng)它的常數(shù)項都等于零時，就得到前面介紹過的齊次線性方程組(1)，即a xa x a x 0111

12 2

1n na xa x a x 0211 22 2 2n n

(1) a xm11

a xm2

a x 0mn n方程組(1)稱為方程組(2)的導(dǎo)出組．非齊次線性