腫瘤生長的模型課件

腫瘤的生長規(guī)律倪致祥教授腫瘤的生長規(guī)律倪致祥教授1問題惡性腫瘤是目前威脅人類的一個主要的殺手，研究惡性腫瘤的生長規(guī)律，有助于人類認識其生長特點，尋找控制消滅它的措施。為了定量地研究腫瘤的生長規(guī)律，我們希望建立一個腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的第一步是從實踐的觀察結(jié)果出發(fā)。問題惡性腫瘤是目前威脅人類的一個主要的殺手，研究惡性腫瘤的生2觀察數(shù)據(jù)通過臨床觀察人們發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞的生長有下列現(xiàn)象：1.

按照現(xiàn)有手段，腫瘤細胞數(shù)目超過1011時，臨床才可能觀察到。2.

在腫瘤生長初期，每經(jīng)過一定的時間，腫瘤細胞數(shù)目就增加一倍。3.

在腫瘤生長后期，由于各種生理條件的限制，腫瘤細胞數(shù)目逐漸趨向某個穩(wěn)定值。根據(jù)上面的觀察結(jié)果，你能不能建立一個簡明的數(shù)學(xué)模型，來描述惡性腫瘤的生長規(guī)律？

觀察數(shù)據(jù)通過臨床觀察人們發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞的生長有下列現(xiàn)象：3模型一設(shè)時刻t腫瘤細胞數(shù)目為n(t)，由觀察2我們可以假設(shè)腫瘤細胞的增長速度與當時該細胞數(shù)目成正比，比例系數(shù)（相對增長率）為k。則可以得到如下方程：n’(t)=kn(1)其解為n(t)=n(0)ekt(2)據(jù)臨床觀察1，可令n(0)=1011；據(jù)臨床觀察2，設(shè)細胞增加一倍所需時間為T，則有n(t＋T)=2n(t)(3)模型一設(shè)時刻t腫瘤細胞數(shù)目為n(t)，由觀察2我4模型一n(t)=n(0)ekt(2)據(jù)臨床觀察1，可令n(0)=1011；據(jù)臨床觀察2，設(shè)細胞增加一倍所需時間為T，則有n(t＋T)=2n(t)(3)將(2)式代入(3)式后，有T=ln2/k。由此可以得到腫瘤細胞的生長規(guī)律為n(t)=1011etln2/T=10112t/T(4)上面得到的模型稱為指數(shù)模型，它能夠很好地反映臨床觀察1和觀察2。但是該模型未能反映出臨床觀察3，因此需要進一步修改。模型一n(t)=n(0)ekt5模型二考慮到臨床觀察3，我們需要對指數(shù)模型進行修正。荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst提出設(shè)想：相對增長率隨細胞數(shù)目n(t)的增加而減少。若用N表示因生理限制腫瘤細胞數(shù)目的極限值，f(n)表示相對增長率，則f(n)為n的減函數(shù)，為處理方便，令f(n)為n的線性函數(shù)：f(n)=a–bn(5)顯然當n=N時，f(n)＝0；假設(shè)當n=0時，f(n)=k，代入上式即可解得a=k,b=k/N(6)模型二考慮到臨床觀察3，我們需要對指數(shù)模型進行修正。6模型二a=k,b=k/N(6)f(n)=k(1–n/N)則n(t)滿足微分方程n’(t)=kn(1-n/N)(7)該方程稱為Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滯方程，廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、生態(tài)和商業(yè)等領(lǐng)域。Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下理解：k是腫瘤的固有增長率(Potentialrate)，即如果沒有生理限制而且細胞之間互不影響時的增長率。模型二a=k,b=k/N7模型二Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下理解：k是腫瘤的固有增長率(Potentialrate)，即如果沒有生理限制而且細胞之間互不影響時的增長率。由于有生理限制和細胞之間的相互影響，存在一個最大可能的細胞數(shù)目N。細胞數(shù)目為n的腫瘤中還未出生部分所占的比例為1－n/N。因此，腫瘤細胞數(shù)目的實際增長率應(yīng)為其固有增長率乘以上述比例，即k(1–n/N)(8)這個結(jié)果與方程(7)完全一致。模型二Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下8模型二n’(t)=kn(1-n/N)(7)利用分離變量法，上述方程可以化為(9)由此可以解出(10)模型二n’(t)=kn(1-n/N)9模型二由上面的結(jié)果，n(0)=n0=1011；在腫瘤生長初期，t～0，因此有n(t)=n0ekt容易驗證n(t＋ln2/k)=2n(t)，即每經(jīng)過一定的時間，腫瘤細胞數(shù)目就增加一倍；在腫瘤生長后期，t

，n(t)N，即腫瘤細胞數(shù)目逐漸趨向某個穩(wěn)定值。這些與觀察結(jié)果完全一致。模型二由上面的結(jié)果，n(0)=n0=1011；10Gompertzlan模型在某些情況下，Verhulst模型與實測數(shù)據(jù)吻合得不好，模型的理論增長率下降得過快，小于實際增長率。這時我們可以考慮將相對增長率從n的線性函數(shù)修改為n的對數(shù)函數(shù)，即把相對增長率取為f(n)=-kln(n/N)(11)其中負號表示隨n的增加而減少，但不是線性關(guān)系，而是與n在極限值中所占比例的對數(shù)有關(guān)。由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)Gompertzlan模型在某些情況下，Verhulst模型11Gompertzlan模型由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)解為n(t)=n0[N/n0]1-exp(-kt)(13)在腫瘤生長初期，t～0，exp(-kt)=1-kt因此有n(t)=n0(N/n0)kt容易驗證每經(jīng)過一定的時間，腫瘤細胞數(shù)目就增加一倍；在腫瘤生長后期，t

，n(t)N，即腫瘤細胞數(shù)目逐漸趨向某個穩(wěn)定值。這些與觀察結(jié)果完全一致。Gompertzlan模型由此得到微分方程12一般模型本世紀80年代，有人對腫瘤生長規(guī)律提出了更一般的模型：n’(t)=(kn/a)[1-(n/N)a],a≥0(14)其解為n(t)=N{1+e-kt[(N/n0)a-1]}-1/a(15)顯然當a=1時，我們回到了Logistic模型；而當a

0時，我們又可以得到Gompertzlan模型。由于參數(shù)a可以在大于零的范圍內(nèi)任意取值，故上述模型具有高度的一般性和廣泛的適應(yīng)性。一般模型本世紀80年代，有人對腫瘤生長規(guī)律提出了更一般的模型13結(jié)束語人類的認識就是這樣由簡單到復(fù)雜、由特殊到普遍、由個別到一般的?？戳松鲜龅膽?yīng)用數(shù)學(xué)范例，你能把我們已經(jīng)學(xué)過的各種數(shù)學(xué)物理模型也來改造一番，使其具有更廣泛的適用性嗎？試試看，路就在腳下！結(jié)束語人類的認識就是這樣由簡單到復(fù)雜、由特殊到普遍、由個別到14謝謝同學(xué)們的合作謝謝同學(xué)們的合作15

腫瘤的生長規(guī)律倪致祥教授腫瘤的生長規(guī)律倪致祥教授16問題惡性腫瘤是目前威脅人類的一個主要的殺手，研究惡性腫瘤的生長規(guī)律，有助于人類認識其生長特點，尋找控制消滅它的措施。為了定量地研究腫瘤的生長規(guī)律，我們希望建立一個腫瘤生長的數(shù)學(xué)模型。建立數(shù)學(xué)模型的第一步是從實踐的觀察結(jié)果出發(fā)。問題惡性腫瘤是目前威脅人類的一個主要的殺手，研究惡性腫瘤的生17觀察數(shù)據(jù)通過臨床觀察人們發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞的生長有下列現(xiàn)象：1.

按照現(xiàn)有手段，腫瘤細胞數(shù)目超過1011時，臨床才可能觀察到。2.

在腫瘤生長初期，每經(jīng)過一定的時間，腫瘤細胞數(shù)目就增加一倍。3.

在腫瘤生長后期，由于各種生理條件的限制，腫瘤細胞數(shù)目逐漸趨向某個穩(wěn)定值。根據(jù)上面的觀察結(jié)果，你能不能建立一個簡明的數(shù)學(xué)模型，來描述惡性腫瘤的生長規(guī)律？

觀察數(shù)據(jù)通過臨床觀察人們發(fā)現(xiàn)腫瘤細胞的生長有下列現(xiàn)象：18模型一設(shè)時刻t腫瘤細胞數(shù)目為n(t)，由觀察2我們可以假設(shè)腫瘤細胞的增長速度與當時該細胞數(shù)目成正比，比例系數(shù)（相對增長率）為k。則可以得到如下方程：n’(t)=kn(1)其解為n(t)=n(0)ekt(2)據(jù)臨床觀察1，可令n(0)=1011；據(jù)臨床觀察2，設(shè)細胞增加一倍所需時間為T，則有n(t＋T)=2n(t)(3)模型一設(shè)時刻t腫瘤細胞數(shù)目為n(t)，由觀察2我19模型一n(t)=n(0)ekt(2)據(jù)臨床觀察1，可令n(0)=1011；據(jù)臨床觀察2，設(shè)細胞增加一倍所需時間為T，則有n(t＋T)=2n(t)(3)將(2)式代入(3)式后，有T=ln2/k。由此可以得到腫瘤細胞的生長規(guī)律為n(t)=1011etln2/T=10112t/T(4)上面得到的模型稱為指數(shù)模型，它能夠很好地反映臨床觀察1和觀察2。但是該模型未能反映出臨床觀察3，因此需要進一步修改。模型一n(t)=n(0)ekt20模型二考慮到臨床觀察3，我們需要對指數(shù)模型進行修正。荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst提出設(shè)想：相對增長率隨細胞數(shù)目n(t)的增加而減少。若用N表示因生理限制腫瘤細胞數(shù)目的極限值，f(n)表示相對增長率，則f(n)為n的減函數(shù)，為處理方便，令f(n)為n的線性函數(shù)：f(n)=a–bn(5)顯然當n=N時，f(n)＝0；假設(shè)當n=0時，f(n)=k，代入上式即可解得a=k,b=k/N(6)模型二考慮到臨床觀察3，我們需要對指數(shù)模型進行修正。21模型二a=k,b=k/N(6)f(n)=k(1–n/N)則n(t)滿足微分方程n’(t)=kn(1-n/N)(7)該方程稱為Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滯方程，廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、生態(tài)和商業(yè)等領(lǐng)域。Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下理解：k是腫瘤的固有增長率(Potentialrate)，即如果沒有生理限制而且細胞之間互不影響時的增長率。模型二a=k,b=k/N22模型二Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下理解：k是腫瘤的固有增長率(Potentialrate)，即如果沒有生理限制而且細胞之間互不影響時的增長率。由于有生理限制和細胞之間的相互影響，存在一個最大可能的細胞數(shù)目N。細胞數(shù)目為n的腫瘤中還未出生部分所占的比例為1－n/N。因此，腫瘤細胞數(shù)目的實際增長率應(yīng)為其固有增長率乘以上述比例，即k(1–n/N)(8)這個結(jié)果與方程(7)完全一致。模型二Verhulst-Pearl阻滯方程的意義也可以作如下23模型二n’(t)=kn(1-n/N)(7)利用分離變量法，上述方程可以化為(9)由此可以解出(10)模型二n’(t)=kn(1-n/N)24模型二由上面的結(jié)果，n(0)=n0=1011；在腫瘤生長初期，t～0，因此有n(t)=n0ekt容易驗證n(t＋ln2/k)=2n(t)，即每經(jīng)過一定的時間，腫瘤細胞數(shù)目就增加一倍；在腫瘤生長后期，t

，n(t)N，即腫瘤細胞數(shù)目逐漸趨向某個穩(wěn)定值。這些與觀察結(jié)果完全一致。模型二由上面的結(jié)果，n(0)=n0=1011；25Gompertzlan模型在某些情況下，Verhulst模型與實測數(shù)據(jù)吻合得不好，模型的理論增長率下降得過快，小于實際增長率。這時我們可以考慮將相對增長率從n的線性函數(shù)修改為n的對數(shù)函數(shù)，即把相對增長率取為f(n)=-kln(n/N)(11)其中負號表示隨n的增加而減少，但不是線性關(guān)系，而是與n在極限值中所占比例的對數(shù)有關(guān)。由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)(12)Gompertzlan模型在某些情況下，Verhulst模型26Gompertzlan模型由此得到微分方程n’(t)=-knln(n/N)