解析函數(shù)(1)(共32張PPT)

第二章解析函數(shù)

1解析函數(shù)的概念第1頁，共32頁。1復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義1設(shè)函數(shù)在包含的某區(qū)域D內(nèi)有定義，當(dāng)變量在點(diǎn)處取得增量時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)取得增量若極限

（或）（2.1）存在，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)第2頁，共32頁。此極限值稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在D內(nèi)可導(dǎo).第3頁，共32頁。例1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（為正整數(shù)）.解因?yàn)?/p>

所以，由導(dǎo)數(shù)定義有

第4頁，共32頁。例2求的導(dǎo)數(shù).解由例1第5頁，共32頁。2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處必連續(xù).證因?yàn)橹试邳c(diǎn)處連續(xù).第6頁，共32頁。導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）：（1）其中為復(fù)常數(shù)；（2）其中為正整數(shù)；（3）；（4）（5）；第7頁，共32頁。（6）；

（7）是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù)，且..第8頁，共32頁。3復(fù)變函數(shù)的微分定義2稱函數(shù)的改變量的線性部分為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作

或，即第9頁，共32頁。當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)處的微分又可記為

亦即由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.第10頁，共32頁。注意雖然復(fù)變函數(shù)和實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上一樣,實(shí)質(zhì)上卻有很大差別.這是因?yàn)閷?shí)變函數(shù)自變量只能沿實(shí)軸趨近于零,而復(fù)變函數(shù)卻沿復(fù)平面上的任意一曲線趨近于零第11頁，共32頁。

4解析函數(shù)1.解析函數(shù)的定義定義:如果函數(shù)不僅在點(diǎn)處可導(dǎo)，而且在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)處解析，并稱點(diǎn)是函數(shù)的解析點(diǎn)；如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱在區(qū)域B內(nèi)解析或稱為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，區(qū)域D稱為的解析區(qū)域.第12頁，共32頁。如果f(z)在z0不解析,那么我們說z0為f(z)的奇點(diǎn).由定義可知,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,函數(shù)在一點(diǎn)解析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)是兩個(gè)不等價(jià)的概念,這就是說,函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析,函數(shù)在一點(diǎn)處解析比該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.第13頁，共32頁。2.解析函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：定理(1）若函數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)解析，則、、在

D內(nèi)也解析；（2）若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析，而在區(qū)域G內(nèi)解析，且，.則復(fù)合函數(shù)在D內(nèi)也解析，且.第14頁，共32頁。復(fù)變函數(shù)的求導(dǎo)法則（以下出現(xiàn)的函數(shù)均假設(shè)可導(dǎo)）：則、、在此極限值稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作（2）其中為正整數(shù)；知，故在點(diǎn)處連續(xù).（1）其中為復(fù)常數(shù)；解因?yàn)槎x2稱函數(shù)的改變量的線性部分例2討論函數(shù)的可導(dǎo)性.處可導(dǎo).例4討論下列函數(shù)的解析性.由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.（2）；由定義可知,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.2函數(shù)解析的充要條件第15頁，共32頁。第16頁，共32頁。第17頁，共32頁。1.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件定理１

設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則在D內(nèi)解析的充分必要條件為在

內(nèi)任一點(diǎn)處（1）（2）滿足上式稱為柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡(jiǎn)稱C—R條件（或方程）.D第18頁，共32頁。第19頁，共32頁。2函數(shù)解析的充要條件定理１

設(shè)函數(shù)在區(qū)域B內(nèi)有定義，則在B內(nèi)解析的充分必要條件為在B內(nèi)任一點(diǎn)處（1）可微；（2）滿足上式稱為柯西—黎曼（Cauchy-Riemann）條件（或方程），簡(jiǎn)稱C—R條件（或方程）.第20頁，共32頁。例1討論函數(shù)的可導(dǎo)性，并求其導(dǎo)數(shù).解由得則

顯然，在復(fù)平面內(nèi)和的偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，第21頁，共32頁。且即和處處滿足C—R條件且處處可微，所以，在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)且.第22頁，共32頁?；?，即定理(1）若函數(shù)和在區(qū)域D內(nèi)解析，若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處必連續(xù).當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記作（2）其中為正整數(shù)；當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)且這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，故若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處必連續(xù).即和處處滿足C—R條件且處處可微，所以，在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo)且定理１設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義，則在D內(nèi)解析的充分必要條件為在內(nèi)任一點(diǎn)處或，即當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)例2討論函數(shù)的可導(dǎo)性.解因?yàn)榈?/p>

顯然，、處處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，但僅當(dāng)時(shí)，、滿足C—R條件.因此，僅在點(diǎn)處可導(dǎo).第23頁，共32頁。例3證明在復(fù)平面上不可微.證由于，于是，從而

顯然，對(duì)復(fù)平面上任意一點(diǎn)，都不滿足C—R條件，所以在整個(gè)復(fù)平面上不可微.第24頁，共32頁。例4討論下列函數(shù)的解析性.（1）；

（2）；（3）.解（1）設(shè)因?yàn)榍疫@四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù)，故在復(fù)平面上處處解析.第25頁，共32頁。（2）因?yàn)?，設(shè)，而所以在復(fù)平面上處處不解析．（3）因?yàn)樵O(shè)，由于