江蘇專轉(zhuǎn)本高等數(shù)學(xué)-第六章-定積分的應(yīng)用習(xí)題課課件

第六章習(xí)題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題1第六章習(xí)題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點(diǎn)解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式主要內(nèi)容2元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量解題步驟定一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標(biāo)情形：【注意】根據(jù)實(shí)際情況還可選擇y為積分變量3一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標(biāo)情如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方程表示4如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方(3)極坐標(biāo)情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等腰三角形面積近似代替小曲邊扇形的面積,是否可以?5(3)極坐標(biāo)情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等2.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)xyo62.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞平行于y

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅲ.繞平行于y

軸的直線x=a旋轉(zhuǎn)ⅳ類似可得繞平行于x

軸的直線y=b旋轉(zhuǎn)的公式7繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ(2)平行截面面積為已知的立體的體積8(2)平行截面面積為已知的立體的體積83.平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)A．曲線弧為弧長(zhǎng)B．曲線弧為C．曲線弧為弧長(zhǎng)93.平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)A．曲線弧為弧長(zhǎng)B．曲線弧為C．曲線弧4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補(bǔ)充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個(gè)問題，作題時(shí)盡量先畫出圖形，以得到直觀的幫助.【注意】若側(cè)面積元素取為2πxf(x)dx，是錯(cuò)誤的,為什么?104.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補(bǔ)充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個(gè)5.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力115.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力7.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根127.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根12二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積?！窘猗瘛窟x取直角坐標(biāo)系（如圖所示）則圓的方程為取x為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（豎矩形條）則于是13二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積?！窘狻窘猗颉窟x取極坐標(biāo)系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分變量，考慮小區(qū)間元素為（小扇形）于是則【解Ⅲ】選取極坐標(biāo)系（如下圖所示），圓的方程為：取ρ

為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（圓環(huán)條）則于是相應(yīng)的面積14【解Ⅱ】選取極坐標(biāo)系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線的折線之和的極限即為曲線之長(zhǎng).【解】所求曲線段之長(zhǎng)為即不是所求之弧長(zhǎng).因此,小段弧長(zhǎng)之近似應(yīng)看成是弦長(zhǎng)15【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線【例3】【解】由對(duì)稱性,有由對(duì)稱性,有16【例3】【解】由對(duì)稱性,有由對(duì)稱性,有16由對(duì)稱性,有17由對(duì)稱性,有17【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)試證x0(0,1)，使得在區(qū)間[0,x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等于在區(qū)間［x0,1］上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明(1)中的x0是唯一的.【證】則在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)據(jù)羅爾定理x0(0,1)，使得即則F(x)在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)單調(diào)減少，于是可知(1)中的x0是唯一的.故F(x)在[0,1]上18【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負(fù)連【例5】【解】如圖所示建立坐標(biāo)系.半圓方程為于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有19【例5】【解】如圖所示建立坐標(biāo)系.半圓方程為于是對(duì)半圓上任一故所求速度為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為(2)將滿池的水全部抽出所需的最小功即將池內(nèi)水全部提升到池沿高度所需的功20故所求速度為故將滿池水全部提升到池沿高度所需功為(2)將滿池【例6】【解】如圖建立坐標(biāo)系,此閘門一側(cè)受到靜水壓力為21【例6】【解】如圖建立坐標(biāo)系,此閘門一側(cè)受到靜水壓力為21第六章習(xí)題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題22第六章習(xí)題課定積分的應(yīng)用一、定積分應(yīng)用的常用公式二、典型例題元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量的特點(diǎn)解題步驟定積分應(yīng)用中的常用公式主要內(nèi)容23元素法理論依據(jù)名稱釋譯所求量解題步驟定一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標(biāo)情形：【注意】根據(jù)實(shí)際情況還可選擇y為積分變量24一、定積分應(yīng)用的常用公式1.平面圖形的面積(1)直角坐標(biāo)情如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方程表示25如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積(2)曲線用參數(shù)方(3)極坐標(biāo)情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等腰三角形面積近似代替小曲邊扇形的面積,是否可以?26(3)極坐標(biāo)情形【思考】若面積元素采用等腰三角形面積,即用等2.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)xyo272.體積(1)旋轉(zhuǎn)體的體積：ⅰ.繞x軸旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞y軸旋轉(zhuǎn)繞坐繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ.繞平行于y

軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅲ.繞平行于y

軸的直線x=a旋轉(zhuǎn)ⅳ類似可得繞平行于x

軸的直線y=b旋轉(zhuǎn)的公式28繞非軸直線旋轉(zhuǎn)yxoxx+dxⅰ.繞平行于x軸的直線旋轉(zhuǎn)ⅱ(2)平行截面面積為已知的立體的體積29(2)平行截面面積為已知的立體的體積83.平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)A．曲線弧為弧長(zhǎng)B．曲線弧為C．曲線弧為弧長(zhǎng)303.平面曲線的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)A．曲線弧為弧長(zhǎng)B．曲線弧為C．曲線弧4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補(bǔ)充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個(gè)問題，作題時(shí)盡量先畫出圖形，以得到直觀的幫助.【注意】若側(cè)面積元素取為2πxf(x)dx，是錯(cuò)誤的,為什么?314.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積（補(bǔ)充）xyo【警示】以上有關(guān)幾何的幾個(gè)5.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力325.變力所作的功（含抽水作功—變距離作功）6.水壓力7.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根337.引力8.函數(shù)的平均值9.均方根12二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積?！窘猗瘛窟x取直角坐標(biāo)系（如圖所示）則圓的方程為取x為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（豎矩形條）則于是34二、典型例題【例1】用定積分求半徑為R的圓的的面積?！窘狻窘猗颉窟x取極坐標(biāo)系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分變量，考慮小區(qū)間元素為（小扇形）于是則【解Ⅲ】選取極坐標(biāo)系（如下圖所示），圓的方程為：取ρ

為積分變量，考慮小區(qū)間相應(yīng)的面積元素為（圓環(huán)條）則于是相應(yīng)的面積35【解Ⅱ】選取極坐標(biāo)系（如下圖所示），圓的方程為：取θ為積分【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線的折線之和的極限即為曲線之長(zhǎng).【解】所求曲線段之長(zhǎng)為即不是所求之弧長(zhǎng).因此,小段弧長(zhǎng)之近似應(yīng)看成是弦長(zhǎng)36【例2】【分析】再相加有改寫為再相加,求極限.顯然一曲線【例3】【解】由對(duì)稱性,有由對(duì)稱性,有37【例3】【解】由對(duì)稱性,有由對(duì)稱性,有16由對(duì)稱性,有38由對(duì)稱性,有17【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)試證x0(0,1)，使得在區(qū)間[0,x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等于在區(qū)間［x0,1］上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且證明(1)中的x0是唯一的.【證】則在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)據(jù)羅爾定理x0(0,1)，使得即則F(x)在[0,1]上連續(xù)、在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)單調(diào)減少，于是可知(1)中的x0是唯一的.故F(x)在[0,1]上39【例4】設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0,1]上的任一非負(fù)連【例5】【解】如圖所示建立坐標(biāo)系.半