特殊平行四邊形(一)課件

特殊平行四邊形（一）初二數(shù)學(xué)

特殊平行四邊形（一）初二數(shù)學(xué)

矩形：一．課內(nèi)知識的回顧：

1．矩形的特征：邊：對邊平行且相等；

AB//DC,ABDC，AD//BC

，ADBC．角：四個角相等，都等于90°；

∠A∠B∠C∠D90°對角線：對角線互相平分且相等；

AOCO，BODO，ACBD．對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形．ODCBAABCD矩形：ODCBAABCD2．矩形的識別方法：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形．3個條件1個條件2個條件2．矩形的識別方法：3個條件1個條件2個條件3．與矩形相關(guān)的三角形：注意：當(dāng)邊AB等于對角線AC一半時，矩形中出現(xiàn)的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等邊三角形、含120°角的等腰三角形）．ABCDOABCOBCOBA3．與矩形相關(guān)的三角形：ABCDOABCOBCOBA

利用矩形對角線的特征，可以得到下面結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖：△ABC中，∠ABC90°，點O是AC的中點， 則BO

AC．OACB利用矩形對角線的特征，可以得到下面結(jié)論：OACB二．矩形知識的應(yīng)用舉例：[例1]

在矩形ABCD中，直線DE是△DCE與△DFE的對稱軸,若矩形與四邊形ECDF的周長差是4，且四邊形ECDF的周長是8，(1)求矩形ABCD的周長與面積;(2)直線FE與矩形ABCD有什么關(guān)系？分析:

要想由條件得到圖形中E、F分別是BC、AD中點，先判斷出△DCE與△DFE是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵；矩形與四邊形ECDF的周長差實際就是AF與BE的和；EF垂直平分AD可發(fā)現(xiàn)直線EF是矩形的一條對稱軸．FEACBD213二．矩形知識的應(yīng)用舉例：FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，ADBC又DCE與DFE關(guān)于直線DE對稱∴123，四邊形ECDF中，∵CDCE,

周長為8，ECCDDFFE2DFE90∴ADFDBCEC

即AFBE矩形ABCD的周長四邊形ECDF的周長AFBE4∴AFBE2∴矩形ABCD中，AD4，AB2∴矩形ABCD周長2(ADAB)12矩形ABCD面積ADAB428FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，又[例2]

已知：如圖，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE的度數(shù)．

分析：由矩形的特征及條件不難發(fā)現(xiàn)△OAD是等邊三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用這兩個特殊三角形的特征就可以使問題得以解決．ABCDEO[例2]已知：如圖，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB解∵矩形ABCD∴ACBD

AOODADC90∵DE平分ADCBDE15∵ADOADEBDE451560∴OAD為等邊，BOCAOD60

ADAODAO60又DAE90

∴ADE為等腰Rt

AEAD∴OAE906030

AOAE

ABCDEOABCDEO[例3]

已知：如圖，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB的延長線交DF于F點．請猜測：BF與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

分析：由于矩形ABCD中，ACBD，BF與AC的數(shù)量關(guān)系實質(zhì)就是BF與BD的數(shù)量關(guān)系,由位置可通過角的關(guān)系得到．讓我們先來分析一組圖形：

ABCDEFo325610Q[例3]已知：如圖，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC由位置關(guān)系可知應(yīng)通過角的關(guān)系得到。與之相關(guān)的RtABC三角形中有斜邊上高和中線，RtADC中有中線和角平分線.BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC[例4]

在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一點，CE5，DF⊥CE于F．求DF．

分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、DF可以看作是DEC的底和高，因為可求，所以EC邊上的高可求。FEDCBA[例4]在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一解答：連DE∵矩形ABCD，且AB6，BC4∴S矩形6424又∵AB//DC∴∵DFEC于F∴∵EC5∴FEDCBA解答：連DE∵DFEC于F∵EC5FEDCBA[例5]

有一塊方角形鋼板如下圖所示，請你用一條直線將其分為面積相等的兩部分．（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖中直接畫出）

[例5]有一塊方角形鋼板如下圖所示，請你用一條直線將其分為分析：由于矩形對角線交點就是它的對稱中心，因此經(jīng)過對稱中心的任意一直線都會將矩形分成兩部分仍是關(guān)于中心對稱的圖形，所以面積相等，因此有：只要將圖形化為兩個矩形的和或差，作出經(jīng)過兩個圖形對稱中心的直線即可。分析：由于矩形對角線交點就是它的對稱中心，因此經(jīng)過對稱中心的[例6]

如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，P是AD上任意一點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝。求：PEPF的值．當(dāng)點P在AD上移動時，其它條件不變，PEPF的值會改變嗎？OPFEDCBAQ[例6]如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，P是AD分析：分別求PE、PF困難。由已知得矩形面積，而可知。由于AOD是等腰，聯(lián)想“等腰底邊上任意一點到兩腰距離和等于腰上的高”這一性質(zhì)，由于對角線已知，即等腰可知，由面積就可求出腰的高。問題得解。解：過D點作DQAC于Q∵矩形ABCD中，AB3，AD4∴S矩3412

又∵AC與BD互相平分OPFEDCBAQ分析：分別求PE、PF困難。解：過D點作DQAC于QOPF由

在其它條件不變的情況下,由于不論P點在AD上如何移動，它到等腰AOD兩腰的距離之和永遠等于OA上的高，因此PEPF的值不會改變?！哌BOP∴DQPEPF

∵ACBD5

OPFEDCBAQ由在其它條件不變的情況下,由于不論P點在A[例7]

如圖，在△ABC中，點O是AC上的一個動點，過點O作直線MN//BC．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．（1）OE與OF相等嗎？為什么？（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說明你的結(jié)論？FENMOCBA[例7]如圖，在△ABC中，點O是AC上的一個動點，過點O

分析與解答：（1）由于CE、CF分別是角平分線，因此有ECF為直角，又由于MN//BC，因此OEC與OFC均為等腰，即OEOC，OFOC，故O是EF中點。（2）由于ECF為90，只要四邊形AECF為平行四邊形，則四邊形AECF就為矩形。而（1）已知O是EF中點，只需O是AC中點即可，故點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形。FENMOCBA 分析與解答：FENMOCBA菱形一．課內(nèi)知識的回顧：1．菱形的特征：邊：對邊平行且四條邊相等；

AB//DC,AD//BC

，ABDCADBC．角：對角相等，鄰角互補；

∠A∠C，∠B

∠D

∠A

∠B

180°，……對角線：對角線互相垂直平分；AOCO，BODO，

AC⊥BD．每條對角線平分一組對角∠ADB∠CDB,……對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形．BDACDACOB菱形BDACDACOB2．菱形的識別方法：四條邊相等的的四邊形是菱形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．2個條件1個條件3個條件2．菱形的識別方法：2個條件1個條件3個條件3．與菱形相關(guān)的三角形：注意：當(dāng)邊AB等于對角線BD時，菱形中出現(xiàn)的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等邊三角形、含120°角的等腰三角形）．BCCADDDOABOCAD3．與菱形相關(guān)的三角形：BCCADDDOABOCAD利用菱形對角線的特征，可以得到菱形面積的另一種求法：如圖

l1

、l2分別是菱形的兩條對角線，有S

菱形=l1l2l2l1利用菱形對角線的特征，可以得到菱形面積的另一種求法：如圖二．菱形知識的應(yīng)用舉例：[例1]

已知:菱形兩條對角線的差等于3.2cm，它們的比為1:2.求:菱形的面積．

二．菱形知識的應(yīng)用舉例：[例2]

已知：如圖，正△AMN與菱形ABCD有一個公共點A，且邊長相等，M、N在BC、CD上，求∠BAD的度數(shù)．分析：抓住菱形和正都是軸對稱圖形且邊長相等這一特征，可得ABM為等腰，利用底角與頂點及菱形相鄰兩角的數(shù)量關(guān)系可將問題得以解決。ABCDMN[例2]已知：如圖，正△AMN與菱形ABCD有一個公共點A

解：∵菱形ABCD及等邊AMN關(guān)于AC對稱

∴BAMDAN

又∵菱形和等邊邊長相等

∴在ABM中有ABAM，設(shè)BAM為x，則

BAD2x60 ∵AD//BC∴

即 解得x20 ∴BAD2x60100ABCDMN 解：∵菱形ABCD及等邊AMN關(guān)于AC對稱ABCDMN[例3]

已知：如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點，ABAE，∠EAD2∠BAE．求證：BEAF．分析：線段BE和AF在位置上沒有特殊關(guān)系，應(yīng)考慮等量代換，因此應(yīng)從角的關(guān)系入手找到BF和AF的中間量ABCDEF[例3]

已知：如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點，AB解答：

∵菱形ABCD∴AD//BC∴EADAEB ∵ABAE∴ABEAEB

又∵EAD2BAE

又BD平分ABC

即ABFEBF ∴BAEABF∴AFBF ∵BFEBAFABF2BAE ∴BFEBEF∴BFBE∴BEAFABCDEF解答：ABCDEF[例4]

已知：如圖，△ABC中，∠BAC90°，AG、BD分別是高線和角平分線，且交于E，F(xiàn)D⊥BC于F，連EF．求證：四邊形AEFD為菱形．ABCDGEF[例4]已知：如圖，△ABC中，∠BAC90°，AG、B

分析：若要判斷四邊形AEFD為菱形，可先證明四邊形AEFD為平行四邊形.

由于AG是ABC的高，DFBC，故AE//DF，只需再尋找一個條件。ABCDGEF 分析：若要判斷四邊形AEFD為菱形，可先證明四邊形AEFD[例5]

已知：如圖，分別以△ABC的各邊為邊，在BC邊的同側(cè)作等邊△ABE、等邊△CBD和等邊△ACF，連結(jié)DE、DF．問：當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形DEAF為矩形、菱形．FEDCBA[例5]已知：如圖，分別以△ABC的各邊為邊，在BC邊的同

分析與解答：從圖形中可分析出：

EBD與ABC是繞B點旋轉(zhuǎn)對稱的圖形，有EDACAF，同理AEDF，因此四邊形AFDE為平行四邊形，ABC的形狀對這個四邊形有影響，當(dāng)EAF90時，AFDE為矩形，此時BAC36090260150，即ABC中BAC150時，當(dāng)AEAF時AFDE為菱形，此時ABAEAFAC，即ABC中ABAC時，四邊形DEAF為矩形、菱形．FEDCBA 分析與解答：從圖形中可分析出：FEDCBA小結(jié)：1．矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，在學(xué)習(xí)這部分知識時可以通過類比的方法來研究圖形的特征及識別方法；2．既然矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，因此要注意到它們與一般平行四邊形比較，特殊在什么地方；3．矩形、菱形在我們?nèi)粘Ｉ钪卸紩?jīng)常遇到，學(xué)習(xí)這些知識也是為了更好的解決實際問題；4．在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，要注意提高說理的水平，真正做到出言有據(jù)．小結(jié)：特殊平行四邊形（一）初二數(shù)學(xué)

特殊平行四邊形（一）初二數(shù)學(xué)

矩形：一．課內(nèi)知識的回顧：

1．矩形的特征：邊：對邊平行且相等；

AB//DC,ABDC，AD//BC

，ADBC．角：四個角相等，都等于90°；

∠A∠B∠C∠D90°對角線：對角線互相平分且相等；

AOCO，BODO，ACBD．對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形．ODCBAABCD矩形：ODCBAABCD2．矩形的識別方法：有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形．3個條件1個條件2個條件2．矩形的識別方法：3個條件1個條件2個條件3．與矩形相關(guān)的三角形：注意：當(dāng)邊AB等于對角線AC一半時，矩形中出現(xiàn)的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等邊三角形、含120°角的等腰三角形）．ABCDOABCOBCOBA3．與矩形相關(guān)的三角形：ABCDOABCOBCOBA

利用矩形對角線的特征，可以得到下面結(jié)論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖：△ABC中，∠ABC90°，點O是AC的中點， 則BO

AC．OACB利用矩形對角線的特征，可以得到下面結(jié)論：OACB二．矩形知識的應(yīng)用舉例：[例1]

在矩形ABCD中，直線DE是△DCE與△DFE的對稱軸,若矩形與四邊形ECDF的周長差是4，且四邊形ECDF的周長是8，(1)求矩形ABCD的周長與面積;(2)直線FE與矩形ABCD有什么關(guān)系？分析:

要想由條件得到圖形中E、F分別是BC、AD中點，先判斷出△DCE與△DFE是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵；矩形與四邊形ECDF的周長差實際就是AF與BE的和；EF垂直平分AD可發(fā)現(xiàn)直線EF是矩形的一條對稱軸．FEACBD213二．矩形知識的應(yīng)用舉例：FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，ADBC又DCE與DFE關(guān)于直線DE對稱∴123，四邊形ECDF中，∵CDCE,

周長為8，ECCDDFFE2DFE90∴ADFDBCEC

即AFBE矩形ABCD的周長四邊形ECDF的周長AFBE4∴AFBE2∴矩形ABCD中，AD4，AB2∴矩形ABCD周長2(ADAB)12矩形ABCD面積ADAB428FEACBD213解：∵矩形ABCD中，ADCC90，ABDC，又[例2]

已知：如圖，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB于E，∠BDE＝15°。求：∠BOC、∠AOE的度數(shù)．

分析：由矩形的特征及條件不難發(fā)現(xiàn)△OAD是等邊三角形，△ADE是等腰直角三角形，利用這兩個特殊三角形的特征就可以使問題得以解決．ABCDEO[例2]已知：如圖，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交AB解∵矩形ABCD∴ACBD

AOODADC90∵DE平分ADCBDE15∵ADOADEBDE451560∴OAD為等邊，BOCAOD60

ADAODAO60又DAE90

∴ADE為等腰Rt

AEAD∴OAE906030

AOAE

ABCDEOABCDEO[例3]

已知：如圖，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥AC于E，EB的延長線交DF于F點．請猜測：BF與AC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

分析：由于矩形ABCD中，ACBD，BF與AC的數(shù)量關(guān)系實質(zhì)就是BF與BD的數(shù)量關(guān)系,由位置可通過角的關(guān)系得到．讓我們先來分析一組圖形：

ABCDEFo325610Q[例3]已知：如圖，矩形ABCD，DF平分∠ADC，BE⊥BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC由位置關(guān)系可知應(yīng)通過角的關(guān)系得到。與之相關(guān)的RtABC三角形中有斜邊上高和中線，RtADC中有中線和角平分線.BABCABCHFECA21FEABCH分析：分析BFAC[例4]

在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一點，CE5，DF⊥CE于F．求DF．

分析：分析：由AB、BC可求S矩形，而EC、DF可以看作是DEC的底和高，因為可求，所以EC邊上的高可求。FEDCBA[例4]在矩形ABCD中，AB6，BC4，E是AB上一解答：連DE∵矩形ABCD，且AB6，BC4∴S矩形6424又∵AB//DC∴∵DFEC于F∴∵EC5∴FEDCBA解答：連DE∵DFEC于F∵EC5FEDCBA[例5]

有一塊方角形鋼板如下圖所示，請你用一條直線將其分為面積相等的兩部分．（不寫作法，保留作圖痕跡，在圖中直接畫出）

[例5]有一塊方角形鋼板如下圖所示，請你用一條直線將其分為分析：由于矩形對角線交點就是它的對稱中心，因此經(jīng)過對稱中心的任意一直線都會將矩形分成兩部分仍是關(guān)于中心對稱的圖形，所以面積相等，因此有：只要將圖形化為兩個矩形的和或差，作出經(jīng)過兩個圖形對稱中心的直線即可。分析：由于矩形對角線交點就是它的對稱中心，因此經(jīng)過對稱中心的[例6]

如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，P是AD上任意一點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，若AB3㎝，AD4㎝，BD5㎝。求：PEPF的值．當(dāng)點P在AD上移動時，其它條件不變，PEPF的值會改變嗎？OPFEDCBAQ[例6]如圖，矩形ABCD中，AC與BD交于點O，P是AD分析：分別求PE、PF困難。由已知得矩形面積，而可知。由于AOD是等腰，聯(lián)想“等腰底邊上任意一點到兩腰距離和等于腰上的高”這一性質(zhì)，由于對角線已知，即等腰可知，由面積就可求出腰的高。問題得解。解：過D點作DQAC于Q∵矩形ABCD中，AB3，AD4∴S矩3412

又∵AC與BD互相平分OPFEDCBAQ分析：分別求PE、PF困難。解：過D點作DQAC于QOPF由

在其它條件不變的情況下,由于不論P點在AD上如何移動，它到等腰AOD兩腰的距離之和永遠等于OA上的高，因此PEPF的值不會改變?！哌BOP∴DQPEPF

∵ACBD5

OPFEDCBAQ由在其它條件不變的情況下,由于不論P點在A[例7]

如圖，在△ABC中，點O是AC上的一個動點，過點O作直線MN//BC．設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．（1）OE與OF相等嗎？為什么？（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說明你的結(jié)論？FENMOCBA[例7]如圖，在△ABC中，點O是AC上的一個動點，過點O

分析與解答：（1）由于CE、CF分別是角平分線，因此有ECF為直角，又由于MN//BC，因此OEC與OFC均為等腰，即OEOC，OFOC，故O是EF中點。（2）由于ECF為90，只要四邊形AECF為平行四邊形，則四邊形AECF就為矩形。而（1）已知O是EF中點，只需O是AC中點即可，故點O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形。FENMOCBA 分析與解答：FENMOCBA菱形一．課內(nèi)知識的回顧：1．菱形的特征：邊：對邊平行且四條邊相等；

AB//DC,AD//BC

，ABDCADBC．角：對角相等，鄰角互補；

∠A∠C，∠B

∠D

∠A

∠B

180°，……對角線：對角線互相垂直平分；AOCO，BODO，

AC⊥BD．每條對角線平分一組對角∠ADB∠CDB,……對稱性：既是軸對稱又是中心對稱圖形．BDACDACOB菱形BDACDACOB2．菱形的識別方法：四條邊相等的的四邊形是菱形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．2個條件1個條件3個條件2．菱形的識別方法：2個條件1個條件3個條件3．與菱形相關(guān)的三角形：注意：當(dāng)邊AB等于對角線BD時，菱形中出現(xiàn)的三角形都是特殊的三角形（含30°角的直角三角形、等邊三角形、含120°角的等腰三角形）．BCCADDDOABOCAD3．與菱形相關(guān)的三角形：BCCADDDOABOCAD利用菱形對角線的特征，可以得到菱形面積的另一種求法：如圖

l1

、l2分別是菱形的兩條對角線，有S

菱形=l1l2l2l1利用菱形對角線的特征，可以得到菱形面積的另一種求法：如圖二．菱形知識的應(yīng)用舉例：[例1]

已知:菱形兩條對角線的差等于3.2cm，它們的比為1:2.求:菱形的面積．

二．菱形知識的應(yīng)用舉例：[例2]

已知：如圖，正△AMN與菱形ABCD有一個公共點A，且邊長相等，M、N在BC、CD上，求∠BAD的度數(shù)．分析：抓住菱形和正都是軸對稱圖形且邊長相等這一特征，可得ABM為等腰，利用底角與頂點及菱形相鄰兩角的數(shù)量關(guān)系可將問題得以解決。ABCDMN[例2]已知：如圖，正△AMN與菱形ABCD有一個公共點A

解：∵菱形ABCD及等邊AMN關(guān)于AC對稱

∴BAMDAN

又∵菱形和等邊邊長相等

∴在ABM中有ABAM，設(shè)BAM為x，則

BAD2x60 ∵AD//BC∴

即 解得x20 ∴BAD2x60100ABCDMN 解：∵菱形ABCD及等邊AMN關(guān)于AC對稱ABCDMN[例3]

已知：如圖，菱形ABCD中，E是BC