第九章-拉氏變換(與“變換”有關(guān)的文檔共28張)

第九章拉氏變換第一頁，共28頁。引言Fourier變換的限制:絕對可積在整個數(shù)軸上有定義指數(shù)衰減函數(shù)e-bt(b>0)單位階躍函數(shù)u(t)演變?yōu)槔献儞Q雙邊拉氏變換:傅氏變換:第二頁，共28頁。傅氏變換與拉氏變換的關(guān)系￥<<￥-+=tjswb雙邊拉氏變換￥<<￥-=tjsw傅氏變換￥<<+=tjs0wb單邊拉氏變換第三頁，共28頁?！?.1拉普拉斯變換的概念一、拉氏變換的定義設(shè)函數(shù)f(t)當(dāng)t≥0時有定義，而且積分在s的某一域內(nèi)收斂(s是一個復(fù)參量)，則由此積分決定的函數(shù)可寫為

稱F(s)為f(t)的拉普拉斯變換(簡稱拉氏變換)或象函數(shù)，記為F(s)=L[f(t)].又稱f(t)為F(s)的拉普拉斯逆變換(簡稱為拉氏逆變換)或象原函數(shù)，即f(t)=L-1[F(s)]第四頁，共28頁。解:

由拉氏變換的定義有例1

分別求出單位階躍函數(shù)u(t),符號函數(shù)sgnt,以及f(t)=1的拉氏變換(Res>0)(Res>0)(Res>0)例2

求出指數(shù)函數(shù)f(t)=ekt的拉氏變換解:(Res>Rek)第五頁，共28頁。例3

求正弦函數(shù)f(t)=sinkt(k為實(shí)數(shù))的laplace變換解:

根據(jù)定義有同理可得二、拉氏變換的存在定理拉氏變換存在定理:

設(shè)函數(shù)f(t)滿足下列條件：第六頁，共28頁。2°f(t)在t≥0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點(diǎn)的個數(shù)是有限個，且都是第一類間斷點(diǎn)；3°f(t)是指數(shù)級函數(shù)(增長速度不超過指數(shù)函數(shù))1°當(dāng)t＜0時，f(t)=0；則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)＞c一定存在，F(xiàn)(s)是解析函數(shù)。即存在常數(shù)M>0及c>0使|f(t)|≤Mect

(0≤t<+∞)c稱為f(t)的增長指數(shù)三、關(guān)于拉氏變換的積分下限問題f(t)在t=0附近有界時,f(0)與f(t)的Laplace變換無關(guān)第七頁，共28頁。f(t)在t=0包含了脈沖函數(shù)，我們就必須區(qū)分這個積分區(qū)間包括t=0這一點(diǎn)，還是不包括t=0這一點(diǎn)假如包括，我們把積分下限記為0+；假如不包括，我們把積分下限記為0-，于是得出了不同的拉氏變換。記第八頁，共28頁。例4

求單位脈沖函數(shù)d(t)的laplace變換.顯然L+[d(t)]=0=1.例5

求函數(shù)f(t)=e-btd(t)-be-btu(t)的laplace變換.解:解:[Re(s)>-∞](Res>Reb)第九頁，共28頁。四、常用函數(shù)的拉氏變換公式第十頁，共28頁。(1)線性性質(zhì)設(shè)a、b為常數(shù),

§9.2拉氏變換的性質(zhì)例1:

求常數(shù)A的Laplace變換.例2:

求函數(shù)f(t)=A(1-e-at)的Laplace變換.解:解:第十一頁，共28頁。例3

求正弦函數(shù)f(t)=sinkt(k為實(shí)數(shù))的laplace變換解:第十二頁，共28頁。例4

求余弦函數(shù)f(t)=coskt(k為實(shí)數(shù))的laplace變換(2)相似性質(zhì)(a為正實(shí)數(shù))設(shè)L[f(t)]=F(s),則當(dāng)a為正實(shí)數(shù)時證明：解:第十三頁，共28頁。(3)微分性質(zhì)

推論：

設(shè)L[f(t)]=F(s),則有證明：第十四頁，共28頁。例5求函數(shù)f(t)=coswt的拉氏變換例6求函數(shù)f(t)=tm

的拉氏變換解:

由于故根據(jù)線性性質(zhì)有解:第十五頁，共28頁。故(4)象函數(shù)微分性質(zhì)

一般地，有

例7求函數(shù)f(t)=t的拉氏變換解:

由于故例8求函數(shù)f(t)=te-at

的拉氏變換設(shè)L[f(t)]=F(s),則第十六頁，共28頁。(5)積分性質(zhì)

解:

由于故例9求函數(shù)f(t)=tsinkt的拉氏變換解:

由于故設(shè)L[f(t)]=F(s),則第十七頁，共28頁。推論:

證明：例10求函數(shù)的拉氏變換解:

由拉氏變換積分性質(zhì)有第十八頁，共28頁。由微分性質(zhì)有(6)象函數(shù)積分性質(zhì)

若L[f(t)]=F(s)，則

證明：兩邊對s積分：第十九頁，共28頁。交換積分次序:推論:例11求函數(shù)f(t)=sint/t的拉氏變換解:

由于則由象函數(shù)積分性質(zhì)有=arccots第二十頁，共28頁。令s=0得(7)延遲性質(zhì)若t<0時,則對任一非負(fù)實(shí)數(shù)t0有證明：第二十一頁，共28頁。例11

設(shè)a>0,b>0,求單位階躍函數(shù)1,t>b/a,0,t<b/au(at-b)=的拉氏變換.解:

由于則由延遲性質(zhì)有而由相似性質(zhì)有(8)位移性質(zhì)（設(shè)a為常數(shù)）第二十二頁，共28頁。例12求函數(shù)f(t)=te-at

的拉氏變換解:

由于則由位移性質(zhì)有例13求函數(shù)f(t)=e-atsinwt的拉氏變換解:

由于則由位移性質(zhì)有同理第二十三頁，共28頁。§2.3拉氏逆變換由拉氏變換的定義有由傅氏逆變換的定義有兩邊同乘以ebt1.反演積分公式第二十四頁，共28頁。積分路線是平行于虛軸的直線Res=β反演積分公式第二十五頁，共28頁。一、求解常微分方程(組)§2.4拉氏變換的應(yīng)用象原函數(shù)(方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程取Laplace變換取Laplace逆變換解代數(shù)方程例19求解微分方程解:

設(shè)L[x(t)]=X(s),方程兩邊取拉氏變換第二十六頁，共28頁。解此方程得: