齊魯醫(yī)學(xué)損傷力學(xué)講義資料

巖土損傷力學(xué)西安科技大學(xué)葉萬軍2014年9月?lián)p傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!目錄

第1章?lián)p傷力學(xué)基礎(chǔ)

1.1材料的損傷與損傷力學(xué)1.2損傷力學(xué)的研究方法和內(nèi)容1.3損傷力學(xué)的熱力學(xué)基礎(chǔ)1.4損傷變量和有效應(yīng)力第2章巖體損傷力學(xué)2.1巖石材料的損傷及損傷現(xiàn)象2.2巖體損傷及層次分析2.3巖石損傷狀態(tài)的幾何描述2.4節(jié)理巖體損傷力學(xué)分析2.5巖體動力損傷力學(xué)分析第3章巖體損傷檢測方法第4章巖體細(xì)觀損傷的CT識別損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!第3章巖體損傷檢測方法3.1質(zhì)量密度變化檢測法3.2彈模變化檢測法3.3彈性應(yīng)變檢測法3.4電阻率變化檢測法3.5塑性特征變化檢測法3.6粘塑性特征變化檢測法3.7聲發(fā)射檢測法3.8超聲波檢測法3.9光學(xué)技術(shù)檢測法3.10掃描電鏡檢測法損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!第1章?lián)p傷力學(xué)基礎(chǔ)

1.1材料的損傷與損傷力學(xué)

損傷是指材料或介質(zhì)中各種非設(shè)計缺陷的存在和發(fā)展。材料力學(xué)中假設(shè)材料是均勻的各向同性介質(zhì)，但在顯微鏡或光學(xué)顯微鏡下看到的材料組織并非均勻，存在著如裂紋、夾渣、氣泡、孔穴等缺陷。巖石、混凝土材料由于是一種地質(zhì)材料或人工合成材料，本身就在其內(nèi)部存在各種各樣的缺陷。這種缺陷就是其損傷的實質(zhì)性表現(xiàn)。

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巖體工程的失穩(wěn)，大多是由斷層和裂隙擴(kuò)展促成的。地下工程中由于開采引起頂板上覆巖層的破壞、圍巖松動、離層的形成顯然也是巖體中微裂紋擴(kuò)展匯合造成的。長期以來，人們對材料和介質(zhì)宏觀力學(xué)性能的劣化直至破壞全過程的機(jī)理、本構(gòu)關(guān)系、力學(xué)模型和計算方法都非常重視，并且用各種理論和方法進(jìn)行了研究。材料和物理學(xué)家從微觀的角度研究微缺陷產(chǎn)生和擴(kuò)展的機(jī)理，但是所得結(jié)果不易與宏觀力學(xué)量相聯(lián)系。力學(xué)工作者則著眼于宏觀分析，其中最常用的是斷裂力學(xué)的理論和方法。斷裂力學(xué)主要研究裂紋尖端附近的應(yīng)力場和應(yīng)變場、能量釋放率等，以建立宏觀裂紋起裂、裂紋的穩(wěn)定擴(kuò)展和失穩(wěn)擴(kuò)展的判據(jù)。斷裂力學(xué)無法分析宏觀裂紋出現(xiàn)以前材料中的微缺陷或微裂紋的形成及其發(fā)展對材料力學(xué)性能的影響，而且許多微缺陷的存在并不都能簡化為宏觀裂紋，這是斷裂力學(xué)的局限性。經(jīng)典的固體力學(xué)理論雖然完備地描述了無損材料的力學(xué)性能（彈性、粘彈性、塑性、粘塑性等），然而，材料或介質(zhì)的工作過程就是不斷損傷的過程，用無損材料的本構(gòu)關(guān)系描繪受損材料的力學(xué)性能顯然是不合理的。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!

1.2損傷力學(xué)的研究方法和內(nèi)容

損傷力學(xué)的研究方法從立足點和研究尺度大致可分為微觀方法、細(xì)觀方法與宏觀方法，而損傷變量的選取和意義直接與研究方法有關(guān)。

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微觀損傷力學(xué)主要在分子、原子層次上研究材料損傷的物理過程，用量子力學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)方法確定損傷對微觀結(jié)構(gòu)的影響，并推求其宏觀力學(xué)效果。

方法：從微觀裂紋的位錯機(jī)理出發(fā)，用非平衡統(tǒng)計的概念和方法，對材料的本質(zhì)進(jìn)行微觀與宏觀相結(jié)合的理論概括，并能統(tǒng)一求得微裂紋的擴(kuò)展速率、分布函數(shù)、延伸率等宏觀力學(xué)量及它們的統(tǒng)計分布。

缺點：微觀方法因其理論不夠完善，且統(tǒng)計量浩繁，使之僅能處理某些損傷現(xiàn)象，并且對于大部分工程材料來講，在分子、原子層次上認(rèn)識其損傷機(jī)理也不一定是最合適的研究方法。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!

Costin（1983）從脆性材料的微裂紋發(fā)育的角度建立了一個微裂紋損傷細(xì)觀模型，用于分析脆性巖石材料的變形和破壞；

Krajcinovic（1985）指出唯象學(xué)模型不能有效地處理材料損傷的細(xì)觀過程，建立了一個以細(xì)觀力學(xué)為基礎(chǔ)的損傷理論；

Hult（1985）依據(jù)材料孔洞的形態(tài)、尺寸和密度定義了細(xì)觀損傷變量，并根據(jù)孔洞的自相似擴(kuò)展原理，建立了損傷率與應(yīng)變率之間的關(guān)系；1987年從孔隙介質(zhì)的延性變形和材料彌散引起的損傷發(fā)展兩方面提出了適用了于多晶體材料的細(xì)觀損傷模型，但主要是適應(yīng)于多晶體金屬材料的蠕變分析。

國內(nèi)余壽文在材料斷裂損傷的細(xì)觀力學(xué)方面進(jìn)行了較早的研究；夏蒙芬提出了統(tǒng)計細(xì)觀力學(xué)的思想，他認(rèn)為材料細(xì)觀損傷力學(xué)應(yīng)該包括3個層次的描述，即細(xì)觀描述、統(tǒng)計描述，然后才能上升到宏觀層次上進(jìn)行描述分析。這種思想很值得借鑒，它既包含了細(xì)觀力學(xué)的基本思想，又為細(xì)觀描述到宏觀分析找到橋梁。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!

連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)分析過程一般分為4個階段（1）選擇合適的損傷變量

描述材料中損傷狀態(tài)的場變量稱為損傷變量，它屬于本構(gòu)理論中的內(nèi)部狀態(tài)變量。從力學(xué)意義上說，損傷變量的選取應(yīng)考慮到如何與宏觀力學(xué)量建立聯(lián)系并易于測量。不同的損傷過程，可以選取不同的損傷變量。即使同一損傷過程，也可以選取不同的損傷變量。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!（2）建立損傷演化方程

材料內(nèi)部的損傷是隨外界因素（如載荷、溫度變化等）作用的變化而變化的。為了描述損傷的發(fā)展，需要建立描述損傷發(fā)展的方程，即損傷演化方程。選取不同的損傷變量，損傷演化方程也就不同，但它們都必須反映材料真實的損傷狀態(tài)。

（3）建立考慮材料損傷的本構(gòu)關(guān)系

這種包含了損傷變量的本構(gòu)關(guān)系，即損傷本構(gòu)關(guān)系或損傷本構(gòu)方程，在損傷力學(xué)計算中占有重要的地位，或者說起著關(guān)鍵或核心的作用。

（4）根據(jù)初始條件（包含初始損傷）和邊界條件求解材料各點的應(yīng)力、應(yīng)變和損傷值

由計算得到的損傷值，可以判斷各點的損傷狀態(tài)。在損傷達(dá)到臨界值時，可以認(rèn)為該點（體積元）破裂，然后根據(jù)新的損傷分布狀態(tài)和新的邊界條件，再作類似的反復(fù)計算，直至達(dá)到材料的破壞準(zhǔn)則而終止。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!1.3損傷力學(xué)的熱力學(xué)基礎(chǔ)

材料內(nèi)的損傷是一個不可逆熱力學(xué)過程。熱力學(xué)基本定律是材料損傷研究的基礎(chǔ)。研究不可逆熱力學(xué)是要明確不可逆過程必須滿足的約束條件和基本定律，從而找到建立材料損傷狀態(tài)方程的基準(zhǔn)和方法。1.熱力學(xué)定律

熱力學(xué)定律即能量守恒定律，可表述為：作用于系統(tǒng)上的功的增量加上系統(tǒng)接受的熱的增量等于系統(tǒng)內(nèi)能的增量加上動能的增量

（1-1）式中

——與過程無關(guān)的量變（狀態(tài)增量）；——與過程有關(guān)的量變（過程增量）。當(dāng)增量無限小，且（1－1）式中各量均是時間的可微函數(shù)時，上式可寫成率的表述形式（1-2）

損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!2.熱力學(xué)第二定律——Clausius－Duhem不等式

熱力學(xué)第二定律指出：在自然界中，系統(tǒng)內(nèi)部的無序混亂變化引起的增值不可能小于零。經(jīng)典不可逆熱力學(xué)認(rèn)為：熵是一種同溫度變化有關(guān)的、描述系統(tǒng)內(nèi)部無序混亂變化程度的量。對近平衡態(tài)不可逆熱力學(xué)系統(tǒng)，Prigogine認(rèn)為：系統(tǒng)總熵S是一個具有廣泛性質(zhì)的可加量，熵的變化dS由兩部分組成，即

（1-6）式中

dSe

——外熵增量；dSi

——內(nèi)熵增量。外熵增量是總熵增量中的可逆部分，它是通過與周圍介質(zhì)的熱交換而形成的，且有

（1-7）式中dQ——熱傳導(dǎo)引起的與周圍介質(zhì)交換的熱增量。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!由（1－10）式得

（1-11）

利用散度定理，Clausius－Duhem不等式的局部表達(dá)形式為:（1-12）再利用公式（1-13）則（1－11）式成為（1-14）熱力學(xué)第二定律可用內(nèi)熵增的形式表述為

式中＞0——不可逆過程；＝0——可逆過程。

熱力學(xué)第二定律更具體地規(guī)定了過程的本質(zhì)，指明了哪一些過程在現(xiàn)實中是不可能出現(xiàn)的，而哪一些過程是允許的，它刻劃了過程的性質(zhì)和發(fā)展方向。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!

上述基本狀態(tài)變量和內(nèi)變量的完整集合體的選擇并不是唯一的，取決于力學(xué)模型的層次、實際系統(tǒng)的復(fù)雜過程以及需要在怎樣的精度和變形范圍內(nèi)去描述系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài)等。雖然目前還沒有一種客觀的方法來指導(dǎo)如何選擇最合適的內(nèi)變量數(shù)目與形式。但實踐經(jīng)驗、物理直覺，以及應(yīng)用環(huán)境的限制等，都將會影響到內(nèi)變量的選擇。對建立在唯象學(xué)上的損傷力學(xué)模型來說，重要的是如何選用盡量少的損傷變量來宏觀平均地表征材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的損傷變化對應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系和強(qiáng)度、壽命等力學(xué)特性的影響，并能通過實驗去決定所引入的宏觀參數(shù)。當(dāng)然如果能夠與微觀（或細(xì)觀）的分析（如金相學(xué)或細(xì)觀力學(xué)的分析）結(jié)合起來搞清楚其損傷機(jī)制，則對損傷內(nèi)變量及其發(fā)展規(guī)律的研究無疑是很重要的。但這并不意味著后者是進(jìn)行損傷分析研究的先決條件，這是因為所選擇的損傷模型還可以通過宏觀來加以檢驗和修正。

下表給出了一部分常用的基本狀態(tài)變量（外變量）和內(nèi)變量與對偶變量的關(guān)系。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!

4.狀態(tài)函數(shù)與損傷本構(gòu)關(guān)系

應(yīng)用Caratheodor定理可以證明：對于任何一個經(jīng)受熱力學(xué)過程的不可逆系統(tǒng)，存在一個稱為“熵”的狀態(tài)變量，

并且由“熵”可推出“自由能”狀態(tài)函數(shù)（熱力學(xué)中所謂的自由能是指等溫過程中可用于對外作功的內(nèi)能部分）。后者起著一種廣義勢函數(shù)的作用，以至作用于該系統(tǒng)的應(yīng)力、廣義力及熵的數(shù)值大小均可通過自由能狀態(tài)函數(shù)的各相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)給出。因此，一旦規(guī)定出狀態(tài)變量之后，就可以假定存在著某種熱力學(xué)勢，它是一個標(biāo)量函數(shù)，對溫度具有凹性，對其它變量具有凸性。在不同的獨立狀態(tài)變量為基底的熱力學(xué)空間上，有可能提出不同的、但又彼此等價的勢函數(shù)。基本狀態(tài)變量為應(yīng)變和溫度如果將其相關(guān)變量即對偶力——應(yīng)力和熵S加在一起，這4個狀態(tài)變量僅有兩個是獨立的。任取其中兩個獨立的狀態(tài)變量為自變量（對于不可逆過程自變量還包括內(nèi)部狀態(tài)變量），則可組成4個不同的狀態(tài)函數(shù)即能量函數(shù)（這些狀態(tài)函數(shù)對可逆過程是勢函數(shù)，對不可逆過程是泛函數(shù)）。

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由于Q是一個過程量，不是狀態(tài)函數(shù)，因此dQ不是全微分。但當(dāng)內(nèi)變量保持不變（包括可逆過程），（1－18）式具有局部可積性，根據(jù)Caratheodory定理的推論，dQ與絕對溫度T的熵是單位質(zhì)量熵S的全微分。

（1-19）推導(dǎo)得

（1-20a）（1-20b）

（1-20c）

（1-20d）

常用的狀態(tài)函數(shù)是Helmholtz自由能和Gibbs自由能。在無耗散和等溫條件下，自由能為應(yīng)變能函數(shù)，為余能函數(shù)。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!由于和的任意性，則得材料的本構(gòu)關(guān)系為

（1-24a）（1-24b）令廣義力為則（1－23）式簡化為

（1-25）內(nèi)稟耗散功率為

（1-26）（1－25）式為熱力學(xué)第二定律的另一表達(dá)形式，它表示材料損傷、塑性、粘性等過程與熱耗散之間的耗散關(guān)系，又稱為耗散不等式。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!1.4損傷變量和有效應(yīng)力

連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)屬于唯象學(xué)理論，采用“連續(xù)損傷介質(zhì)”假設(shè)，通過宏觀無窮小、微觀無限大的模型，把“實際粒子加以離散”，從數(shù)學(xué)上抽象為“模型損傷介質(zhì)連續(xù)”，該模型認(rèn)為：在連續(xù)損傷介質(zhì)中所使用的特征微元體（CharacteristicElement）或微系統(tǒng)不是一個幾何點，應(yīng)包含大量的粒子和許多微缺陷，以便從物理的觀點來看，能使溫度、熵、質(zhì)量和能量密度等具有確定的物理內(nèi)涵，從而在微觀上可以看作是“無限”大的；另一方面該特征微元體又足夠小，從連續(xù)場的分析觀點來看，在無窮小的尺寸范圍內(nèi)均勻性的假設(shè)對連續(xù)場論中數(shù)學(xué)分析引起的誤差可以忽略不計。這樣處理的結(jié)果使得在微觀上看來不連續(xù)的損傷缺陷現(xiàn)在有可能如像溫度、位移等一樣，在宏觀上可作為連續(xù)變量來處理，從而為采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)方法來研究損傷問題提供了可行性。

損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!2.有效應(yīng)力的概念

現(xiàn)用材料受單軸拉伸的例子說明有效應(yīng)力的概念。圖a為一初始無損傷的材料，假設(shè)受F力到一定大小后產(chǎn)生均勻的損傷（圖b）。若材料的初始橫截面積為A，受損后損傷面積（包括微裂紋和空隙）為，材料的凈面積或者有效面積為。在均勻損傷狀態(tài)下，損傷變量取為標(biāo)量。Kachanov在研究金屬的蠕變斷裂時，次提出用連續(xù)性變量描述材料的損傷狀態(tài)，定義ψ為

（1-27）損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!3.應(yīng)變等價原理

在受損材料中，測定有效面積是比較困難的，為了能間接地測定損傷，Lemaitre提出了應(yīng)變等價原理。這一假設(shè)認(rèn)為，應(yīng)力σ作用在受損材料上引起的應(yīng)變與有效應(yīng)力作用在無損材料上引起的應(yīng)變等價。根據(jù)這一原理，受損材料的本構(gòu)關(guān)系可通過無損材料中的名義應(yīng)力得到，即

（1-31）或（1-32）

式（1－32）表示一維問題中受損材料的本構(gòu)關(guān)系。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!下圖是用測量卸載彈性模量的方法得到99.99%銅的塑性損傷的變化過程，為損傷變量的臨界值，為損傷開始時的塑性應(yīng)變，為斷裂時的塑性應(yīng)變。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!

4.有效應(yīng)力張量

在多軸應(yīng)力作用下，若損傷是各向同性的，則可將單軸應(yīng)力下的有效應(yīng)力推廣表示為張量，

（1-39）式中——Cauchy(柯西)應(yīng)力張量。設(shè)在材料內(nèi)取一體元，該體元任一方面的截面為A，該截面的法向單位矢量為n，則截面的面積矢量為

（1-40）當(dāng)材料損傷后，設(shè)有一虛構(gòu)的體元，其法線的的面積矢量為

（1-41）式中

——面法線方向的損傷變量。現(xiàn)定義二階對稱張量，，為單位張量，使

（1-42）

，

損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!第4章巖體細(xì)觀損傷的CT識別4.1巖體（石）初始細(xì)觀損傷的CT檢測4.2巖石細(xì)觀損傷CT數(shù)分布的特性規(guī)律4.3巖石細(xì)觀損傷CT數(shù)分布規(guī)律的數(shù)學(xué)分析4.4巖石細(xì)觀損傷CT數(shù)與巖石損傷密度的關(guān)系4.5巖石細(xì)觀損傷CT數(shù)據(jù)傷變量公式討論損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!

損傷力學(xué)是研究材料或介質(zhì)從原生缺陷到形成宏觀裂紋直至斷裂破壞的全過程，也就是通常指的微裂紋的萌生、擴(kuò)展或演變、宏觀裂紋形成、裂紋的穩(wěn)定擴(kuò)展和失穩(wěn)擴(kuò)展的全過程。損傷力學(xué)主要是在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和熱力學(xué)的基礎(chǔ)上，用固體力學(xué)的方法，研究材料或介質(zhì)宏觀力學(xué)性能演變直至破壞的全過程。損傷理論旨在建立受損材料的本構(gòu)關(guān)系、解釋材料的破壞機(jī)理、建立損傷的演變方程、計算材料的損傷程度，從而達(dá)到預(yù)估其剩余壽命或評價介質(zhì)穩(wěn)定程度的目的。因此，它是經(jīng)典的固體力學(xué)理論的發(fā)展和補(bǔ)充。損傷的概念最早起源于1958年Kachanov研究蠕變斷裂時引用“連續(xù)性因子”和有效應(yīng)力的概念。Rabotnov又進(jìn)一步引進(jìn)“損傷因子”的概念。在此基礎(chǔ)上他們采用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的唯象方法，研究了材料蠕變損傷過程。此后20年，這些概念和方法僅局限于分析蠕變斷裂。到70年代后期，原子能工業(yè)和航天技術(shù)工業(yè)材料行為的研究遇到許多問題，損傷的概念又開始被重視起來。經(jīng)Lemaitre（1978，1981）、Chaboche（1980，1981），Hult（1979），及Krajcinovic（1981）等學(xué)者的努力，在內(nèi)變量理論和不可逆熱力學(xué)一般框架的支持下，逐漸形成了“損傷力學(xué)”這門學(xué)科。

損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!施斌教授提出的界限尺寸為：小于0.002mm的結(jié)構(gòu)單元體及其組合體為微觀范疇，150.002mm的結(jié)構(gòu)單元體及其組合體為細(xì)觀范疇，大于15mm為宏觀范疇。楊更社教授認(rèn)為細(xì)觀研究的界限取決于研究的范圍與工程應(yīng)用背景范圍的比例：金屬材料常在10-6mm內(nèi)；巖土材料以肉眼不可見的尺度作為細(xì)觀上限，小于10-6mm到了微觀界限。

謝爾蓋耶夫所謂的“中觀”，實際上就是現(xiàn)在所說的細(xì)觀（meso)。顧名思義，只有仔細(xì)地看，才能看清（用肉眼看不清，或看不見；借助普通放大鏡，放大數(shù)倍，才可看清）。由此可見，謝爾蓋耶夫劃分的細(xì)觀界限較為合適。故細(xì)觀界限尺寸：1mm~0.001mm.損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!由于材料的損傷現(xiàn)象涉及到從微觀到宏觀各種尺度的過程和各層次的互相耦合。而在遠(yuǎn)離平衡條件下，微觀的原子、分子層次與宏觀層次之間沒有簡單的、直接的聯(lián)系。比較現(xiàn)實的途徑是通過若干中間層次作為聯(lián)系微觀與宏觀的橋梁，這種中間尺度稱為細(xì)觀尺度。

細(xì)觀損傷主要從材料內(nèi)的顆粒、晶體、微裂紋、空洞等細(xì)觀結(jié)構(gòu)層次上研究各類損傷的形態(tài)、分布及其演化特征，從而預(yù)測材料的宏觀力學(xué)特征。細(xì)觀損傷理論是一種多重尺度的連續(xù)介質(zhì)理論。一般認(rèn)為，細(xì)觀損傷模型為損傷變量和損傷演化賦予了較為真實的幾何形狀和物理過程，并為宏觀損傷理論提供較高層次的實驗基礎(chǔ)，有助于對損傷過程本質(zhì)的認(rèn)識。因此，80年代中后期，細(xì)觀損傷力學(xué)成為損傷力學(xué)的主導(dǎo)發(fā)展方向之一。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!

宏觀損傷力學(xué)的方法是通過引進(jìn)內(nèi)變量來把材料內(nèi)結(jié)構(gòu)的變化現(xiàn)象滲透到宏觀力學(xué)現(xiàn)象來加以分析。它基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和不可逆熱力學(xué)理論，將包含各種缺陷的材料視為一種連續(xù)體，認(rèn)為損傷作為一種場變量在其中連續(xù)分布，損傷狀態(tài)由損傷變量進(jìn)行描述。在滿足力學(xué)、熱力學(xué)基本假設(shè)和定理的條件下，唯象地推求出損傷材料的本構(gòu)方程和損傷演化方程。

宏觀損傷力學(xué)用不可逆熱力學(xué)內(nèi)變量來描述材料內(nèi)損傷缺陷及其變化，而不去更細(xì)致地考慮其變化的機(jī)制。它從Kachanov（1958）損傷力學(xué)基本思想的提出到80年代中期一直占主導(dǎo)地位，通常稱之為“連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)”（CDM）。經(jīng)過20多年的不斷發(fā)展，連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論已日趨成熟，并在各學(xué)科、領(lǐng)域得以應(yīng)用。

損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!損傷變量要由物理意義明確的物理量來定義，并且還必須具有一定的物理和數(shù)學(xué)本質(zhì)，早期的以Kachanov-Rabotnov有效面積為基礎(chǔ)所定義的損傷張量均為標(biāo)量，主要適用于各向同性損傷材料。實際上材料的損傷是各向異性的，通過損傷張量可方便地處理各向同性或各向異性材料的各向異性損傷問題，于是人們又致力于矢量或張量性質(zhì)損傷變量的研究。如Krajcinovic（1981）從材料微缺陷模型出發(fā)，對脆彈性材料中的扁平缺陷用矢量作為損傷描述，Vakulenko和Kachanov（1971）在處理脆彈性損傷時，提出用微裂紋的法向矢量。與裂紋面相對位移矢量構(gòu)成2階“損傷張量”

。Murakami&Ohno（1981）應(yīng)用微裂紋的體積配置定義了2階損傷張量。損傷張量階次的增加，可以更多地考慮損傷的影響因素，使損傷的分析更為精細(xì)。而且，早期的標(biāo)量損傷模型均可由張量模型退化而得到。損傷張量的階次不具任意性，最高為8階。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!

損傷實驗研究建立具體問題的損傷模型不可逆熱力學(xué)與連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的均衡定律選擇損傷變量建立損傷材料本構(gòu)方程應(yīng)力分析數(shù)值計算強(qiáng)度分析實驗驗證工程實際應(yīng)用損傷演變方程損傷初始條件損傷破壞準(zhǔn)則損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!對于連續(xù)損傷介質(zhì)，上式中各量均與損傷變量有關(guān)。當(dāng)不考慮體力矩和面力矩時，有（1-3）所以：

（1-4）若考慮到動量守恒定律：則（1－4）式的局部形式為（1-5）

式中——單位質(zhì)量含有的內(nèi)能。

熱力學(xué)定律反映出哪些能量參與了能量的轉(zhuǎn)化與平衡？損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!熱力學(xué)第二定律用內(nèi)熵增量可表示為：

（不可逆過程）

（1－8a）

（可逆過程）

（1－8b）（1－8a）式又被稱為Prigogine“熵平衡方程”，時稱為等熵過程，一個絕熱過程成為等熵過程的充要條件是該過程是可逆的。由（1－6）與（1－8）式可得（1－9）

上式中等號僅對可逆過程成立，不等號適用于不可逆過程。當(dāng)（1－9）式中熵和熱量都是時間的可微函數(shù)時，則可改寫為率的形式（1-10）

上式就是著名的Clausius-Duhem不等式，是熱力學(xué)第二定律的率表達(dá)形式。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!3.熱力學(xué)狀態(tài)變量與損傷變量

狀態(tài)變量在t時刻的數(shù)值大小對于唯一決定t時刻能量密度的數(shù)值是必要的，但不一定是充分的。如果一個狀態(tài)變量不是以前所發(fā)現(xiàn)的那些狀態(tài)變量的函數(shù)，它就被稱為基本的狀態(tài)變量。例如，應(yīng)變，人們確信應(yīng)變張量是描述固體介質(zhì)熱力學(xué)狀態(tài)的基本狀態(tài)變量；當(dāng)應(yīng)變保持常值時，借助于溫度也可以改變固體的內(nèi)能，溫度是一個在系統(tǒng)空間各點上任何瞬間的標(biāo)量函數(shù)，也是基本狀態(tài)變量?；緺顟B(tài)變量是互相獨立的變量。應(yīng)變和溫度都是可觀測量，通常又被稱為外部狀態(tài)變量或簡稱為外變量。內(nèi)部狀態(tài)變量（通常簡稱為內(nèi)變量）是一種不一定能夠被直接測定，但又可觀測、與基本狀態(tài)變量獨立的熱力學(xué)變量，它們與基本狀態(tài)變量一道唯一決定不可逆系統(tǒng)的狀態(tài)。內(nèi)變量的具體物理含義非常廣泛，它取決于具體材料的熱力學(xué)系統(tǒng)歷史和在特定環(huán)境條件下的內(nèi)部組織與結(jié)構(gòu)狀態(tài)。損傷變量是一種用于描述材料內(nèi)部損傷狀態(tài)變化發(fā)展及其對材料力學(xué)作用影響的內(nèi)部狀態(tài)變量。在損傷力學(xué)的局部狀態(tài)方法中，通過損傷內(nèi)變量的變化來刻劃這種不可逆的耗散過程。這些損傷變量表征了材料內(nèi)部微結(jié)構(gòu)（如位錯密度、微裂紋、孔隙等的形貌，以及聚合物分子結(jié)構(gòu)的化學(xué)老化過程等）的演化和發(fā)展過程。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!損傷材料的對偶狀態(tài)變量

外變量內(nèi)變量對偶變量溫度T熵應(yīng)變應(yīng)力塑性應(yīng)變屈服面變徑累積塑性應(yīng)變損傷對偶力損傷變量對偶力其他內(nèi)變量損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!這4個狀態(tài)函數(shù)為內(nèi)能密度

內(nèi)焓密度Helmholtz自由能密度（1-16）Gibbs自由能密度這四個狀態(tài)函數(shù)之間的關(guān)系為

（1-17）由（1－5）式，得

（1-18）式中

——單位體積的變形功增量；——單位體積輸入的熱量增量。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!

狀態(tài)方程是描述應(yīng)力、廣義力和熵與基本狀態(tài)變量和內(nèi)變量之間關(guān)系的方程，又被稱為本構(gòu)方程。通常也將狀態(tài)變量之間的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系。應(yīng)變可分解為彈性應(yīng)變（無耗散）和非彈性應(yīng)變

（有耗散），則

（1-21）如果用表示損傷變量（一般為張量），其它內(nèi)變量（如表示塑性、粘性等影響）用表示，則Helmholtz自由能可表示為

（1-22）整理得

（1-23）損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!

損傷材料的耗散變量與對偶力的關(guān)系耗散變量對偶變量塑性應(yīng)變量應(yīng)力損傷變量損傷對偶力熱通量熱傳導(dǎo)驅(qū)動力其它耗散變量其它對偶力損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!

1.損傷變量

由于材料的損傷引起材料微觀結(jié)構(gòu)和某些宏觀物理性能的變化，因此可以從微觀和宏觀兩方面選擇度量損傷的基準(zhǔn)。微觀方面，可以選用空隙的數(shù)目、長度、面積和體積；從宏觀方面，可以選用彈性系數(shù)、屈服應(yīng)力、拉伸強(qiáng)度、伸長率、密度、電阻、超聲波速和聲輻射等等。在這兩類基準(zhǔn)中，最常用的是：（1）空隙的數(shù)目、長度、面積和體積；（2）由空隙的形狀、排列取向決定的有效面積；（3）彈性系數(shù)（彈性模量和泊松比）；（4）密度等?？梢杂弥苯臃ê烷g接法測量材料的損傷。例如，對微觀方面的基準(zhǔn)量，可采用直接測定的方法以判定材料的損傷狀態(tài)；而對宏觀方面的基準(zhǔn)量，則可用機(jī)械法和物理法測定，然后間接推算材料的損傷。至于實際采用哪些方法，應(yīng)根據(jù)損傷變量如何定義以及損傷類型而定。在不同的情況下，可將損傷變量定義為標(biāo)量、矢量或張量。從熱力學(xué)的觀點看，損傷變量是一種內(nèi)部狀態(tài)變量，它能反映物質(zhì)結(jié)構(gòu)的不可逆變化過程。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!Rabotnov在研究金屬蠕變時引入了一個與連續(xù)變量相對應(yīng)的變量，稱為損傷變量。

（1-28）式中

，對應(yīng)于無損傷狀態(tài)；，對應(yīng)于完全損傷（斷裂）狀態(tài)；，對應(yīng)于不同程度的損傷狀態(tài)。令為橫截面上的名義應(yīng)力；為凈截面或有效截面上的應(yīng)力，稱為凈應(yīng)力或有效應(yīng)力，則利用式（1－28）并由

（1-29）得

（1-30）當(dāng)材料發(fā)生非均勻損傷時，可在材料內(nèi)一點處取一體元，用相似的方法仍可得到式

（1-30）。損傷力學(xué)講義資料共42頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!

將式（1－32）改寫為為受損材料的彈性模量，稱為有效彈性模量，由此得到

（1-33）由式（1－32）得