因式分解法解一元二次方程典型例題

學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載.??5^3x.??5^3x+<3-6=0或<3+6-<3x=0 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載.??5^3x.??5^3x+<3-6=0或<3+6-<3x=0 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載典型例題一例用因式分解法解下列方程：y2+7y+6=0; (2)t(2t—1)=3(2t—1);(3)(2x—1)(x—1)=1.解：(1)方程可變形為(y+1)(y+6)=0y+1=0或y+6=0?y1——1,y2=—6(2)方程可變形為t(2t—1)—3(2t—1)=0(2t—1)(t—3)=0,2t—1=0或t—3=0-11=—,12=3.2(3)方程可變形為2x2—3x=0x(2x—3)=0,x=0或2x—3=0..x〔=0x2=92說明：(1)在用因式分解法解一元二次方程時，一般地要把方程整理為一般

式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積， 而右邊為零時，則可令每一個一次因式為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了.(2)應(yīng)用因式分解法解形如(x—a)(x—b)=c的方程，其左邊是兩個一次因式之積，但右邊不是零，所以應(yīng)轉(zhuǎn)化為形如(x—e)(x—f)=0的形式，這時才有x1=e,x2=f,否則會產(chǎn)生錯誤，如(3)可能產(chǎn)生如下的錯解：原方程變形為：2x—1=1或x—1=1.；x[=1,x2=2.(3)在方程(2)中，為什么方程兩邊不能同除以(2t—1),請同學(xué)們思考典型例題二例用因式分解法解下列方程6x23..3x=2、.2x..6解：把方程左邊因式分解為：(2x、3)(3x-..2)=0「?2x+<3=0n￡3x-v/2=0.3 .2一x1二一一,x2二一2 3說明：對于無理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，若左邊可分解為一次因式積的形式,均可用因式分解法求出方程的解。典型例題三例用因式分解法解下列方程。一2 一2y=y15解：移項(xiàng)得：2y2—y_15=0把方程左邊因式分解得：(2y5)(y-3)=02y+5=0或y—3=0??yi=-2，y2=3.說明：在用因式分解法解一元二次方程時，一定要注意，把方程整理為一般

式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個一次因式的乘積， 而右邊為零時，則可令每一個一次因式都為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了。典型例題四例用因式分解法解下列方程6x2-13x+2=0；3(2x+1)2-9(、Qx—2)2=0；分析：一元二次方程化為一般形式后，在一般情況下，左邊是一個二次三項(xiàng)式，右邊是零.二次三項(xiàng)式，通常用因式分解的方法，可以分解成兩個一次因式的積，從而可求出方程的根.但有些問題，可直接用因式分解法求解，例如(2)符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.解：(1)原方程可變形為(6x-1)(x-2)=0,6x-1=0或x-2=0,v.1V-9,?x1-,x2-2.6(2)原方程可化為(2j3x+J3)2-(3<3x-6)2=0,即 (273x+V3+3&x-6)(2V3x+<3—3^3x+6)=0,(5^3x+V3-6)(73+6-V3x)=0,學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載2x—3=02x—3=0或2x—5=0學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載2x—3=02x—3=0或2x—5=0學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載yy1二23,y2=32.23-1 19q??X1= ,x2=12.3.5說明：因式分解將二次方程化為一次方程求解，起到了降次的作用.這種化未知為已知的解題思想，是數(shù)學(xué)中的“化歸思想” .事實(shí)上，將多元方程組化為一元方程，也是此法.典型例題五例用因式分解法解方程：X2—5x—36=0;2(2x-3)2-3(2x-3)=0;x2-(2-272)x-3+272=0；y2_(2V3+3j2)x+676=0.分析：用因式分解法解一元二次方程時，應(yīng)將方程化為 AB=0的形式，然后通過A=0或B=0,求出xi,x>.解：(1)(x-9)(x+4)=0,x-9=0或x+4=0.x1=9,x2=-4.(2)(2x-3)(4x-6-3)=0,即(2x-3)(4x-9)=0.2x-3=0或4x-9=0,9一x1一—，x2——.4(x+1M—(3-2V2)1=0,即x+1=0mEx-(3-2<2)=0.x1--1,x2=3-2,2.(y-2向)(y-3后)=0,即y—2招=0或y—3d5=0,

說明：有些系數(shù)或常數(shù)是無理數(shù)的一元二次方程，只要熟悉無理數(shù)的分解方法,也可將之和因式分解法求解.典型例題六例用適當(dāng)方法解下列方程：2 2 _ _ 12x2—5=0; (2)5x2+2=2(1—x)—x(x—萬);2(x-3)2+2(x2-1)=4x+1; (4)x2-4%；3x+10=0(5)3x2-7x+4=0(用配方法)解：(1)移項(xiàng)，得方程兩邊都除以2,得解這個方程，得解：(1)移項(xiàng)，得方程兩邊都除以2,得解這個方程，得即(2)展開，整理，得方程可變形為(3)展開，整理，得方程可變形為2x2=5,1一x=±—M10,

2x1=—V10,x2=--T10.2 24x2x=0.x(4x1)=0x=0或4x+1=0,八 1x1=0,x2=--.44x2-16x+15=0,(2x-3)(2x-5)=0學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載va=1,b=sT3,c=10,b2-4ac=(-4<3)2-4父1父10=8>0,一i3)'8=43-2.2=2..3_2. x1. x1-2,3,2,(5)移項(xiàng)，得X23x2—7x=4,方程各項(xiàng)都除以3,方程各項(xiàng)都除以3,得27 4x一一x二一—3 3配方，得7x(一7x(一7)2=一3 64 72(--)3 6；(X-7)2=」

6 36解這個方程，得v4 .x1一3,x2—1.說明：當(dāng)一元二次方程本身特征不明顯時，需先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0(a#0),若b=0,a、c異號時，可用直接開平方法求解，如(1)a、b、c題.若a、b、c均不為零，有的可用因式分解法求解，如(3)題；有的可用公式法求解，如(4)題.配方法做為一種重要的數(shù)學(xué)方法也應(yīng)掌握，如(5)題.而有些一元二次方程有較明顯特征時，不一定都要化成一般形式，如方程(x+3)2-4=0可用直接開平方法或因式分解法求解.又如方程(x-2)(4x+1)+(x-1)(x-2)也不必展開整理成一般形式，因?yàn)榉匠虄蛇叾加?，移?xiàng)后提取公因式，得(x-2)[(4x+1)-(x-1)]=0,用因式分解法求解，得2為=2,x2=-幺,對于這樣的方程，一定注意不能把方程兩邊都除以 (x-2),這3會丟掉一個根x=2.也就是方程兩邊不能除以含有未知數(shù)的整式.學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載mm1=3,m2=1.學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載mm1=3,m2=1.典型例題七例解關(guān)于x的方程20m2x2+11mnx-3n2=0(mw0)解法一：原方程可變形為(5mx-n)(4mx3n)=05mx-n=0或4mx+3n=0TOC\o"1-5"\h\z:m00,n 3n,? xi二 ,x2二一.5m 4m解法二：= a=20m2 ,b=11mn, c=-3n2 ,,2 2 2 2、b2-4ac=(11mn)-420m2(-3n) 22=361mn>0,又m00,-11mn二.36m2n2 -11mn二19mnTOC\o"1-5"\h\z-x= ~~~2 = ~~2 .220m 40mn 3nx1 ，x2 .5m 4m說明解字母系數(shù)方程時，除了要分清已知數(shù)和未知數(shù)，還要注意題目中給出的條件，要根據(jù)條件說明方程兩邊除以的代數(shù)式的值不等于零.對于字母系數(shù)的一元二次方程同樣可以有幾種不同的解法， 也要根據(jù)題目的特點(diǎn)選用較簡單的解法，本題的解法一顯然比解法二要簡單.典型例題八例已知m—2=1,試解關(guān)于x的方程mx(x—2)+2=(x+1)(x—1).分析由|m-2=1,容易得到m=3或m=1.整理關(guān)干x的方程，得(m-1)x2-2mx+3=0.題目中沒有指明這個方程是一元二次方程，因此對二次項(xiàng)系數(shù)要進(jìn)行討論，當(dāng)m-1=0時，方程是一元一次方程；當(dāng)m-1#0時，方程是一元二次方程。解：由m—2=1,得m-2=1,學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載學(xué)習(xí)必備 歡迎下載(3)x1=2,x(3)x1=2,x2=-1(4)x1=26,整理mx(x—2)+2=(x+1)(x—1),得2(m-1)x—2mx3=0.當(dāng)m=3時，原方程為2x2—6x+3=0,解得當(dāng)m=1時，原方程為—2x+3=0,解得3x=一.2當(dāng)m=3時,TOC\o"1-5"\h\z3 3 3-3當(dāng)m=3時,x1= " ,x2= "2 2. . 3當(dāng)m=1時，x=-.2填空題.方程(x-2)2=(x-2)的根是.方程(x+3)(x+1)=6x+4的解是2.萬程(2y+1)+3(2y+1)+2=0的解是答案：1. x1=2, x2 =32.x1=1+、Q, x2=1-423. y1 =-1, y2=-1.解答題.用因式分解法解下列方程：(x+2)2=2x+4； (2)4(x-3)2-x(x-3)=0;(3)10x2—11x—6=0; (4)9(x—2)2=4(x+1)2。2 2(5)x+x=0;(6)x-2x-35=0;2 2(7)x—7x+10=0;(8)x+9x+18=0;(9)10x2-11x-6=0;(10)6x2+11x-7=0.2.用因式分解法解下列方程：(1)(x—3)(x+1)=5;(2)14(x—4)2+9(x—4)—65=0；(3)3(1—x)2—5(x—3)—2=0。3.用因式分解法解下列關(guān)于x的一元二次方程：(1)x2+x-k2x=0;(2)x2-2mx+m2-n2=0;(3)x2+3mx-54m2=0；(4)15m2x2-17mx-18=0(m*0);2,2 2、(5)abx-(ab)xab=0(ab=0)4.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)4x2-49=0；(2)4x2-9x=0;(3)x2-x=2；(4)x2-2x=624;x2—x—1=0;(6)x2_2,5x+2=0.5.已知三角形的兩邊分別是1和2,第三邊的數(shù)值是方程2x2-5x+3=05.已知三角形的兩邊分別是求這個三角形的周長.答案：. (1)x1=-2,x2=0； (2)x1=3,x2=4；3 2 4x[=二，x2=一二； (4)x1=8,乂2=二.2 5 5(5) x(5) x1 =0, x2 = -1 (6) x1 = -5 , x2 =7(7)x1=2,x2=5(8)x1=-3,x2=-6(9)x1=3,x2=-|(10)x1=1,x2=-7.2 5 2 32.(1)x1=