正四面體性質(zhì)及其應(yīng)用

正四面體是四個(gè)面都是等邊三角形的凸多面體，有它是一個(gè)很規(guī)則的幾何體，因此具些特有的性質(zhì)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則（1）全面積S全=3a正四面體是四個(gè)面都是等邊三角形的凸多面體，有它是一個(gè)很規(guī)則的幾何體，因此具些特有的性質(zhì)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則（1）全面積S全=3a2;（2）高h(yuǎn)=Y-a；（3）體積V-12a3；（4）對(duì)棱中點(diǎn)的連線是對(duì)棱的公垂線，其長(zhǎng)為d=W~a；（5）相鄰兩面所成的二面角oearccoA；3（6）棱與其相交的面所成的角伊arctag/2；（7）正四面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合，內(nèi)切球半徑r=-Aya,外接球半徑R=_6O到平面ABC的a,r:R=i:3；（8O到平面ABC的n例1:已知半徑為1的球面上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，且它們之間的球面距離都為3，則球心°到平面ABC的距離為（）解析：如右圖所示，OA=OB=OC=1ccC又AB=BC=CA，球的半徑r=13nZAOB=ZBOC=ZCOA=3，貝yAB=BC=CA=13所以O(shè)-ABC為棱長(zhǎng)為1的正四面體，則由正四面體的性質(zhì)得球心距離即其高為-3-，答案B。3例2:（05年湖南省十所示范校聯(lián)考）已知棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD有內(nèi)切球O,經(jīng)過(guò)該棱錐A-BCD的中截面為M，則O到平面M的距離為（）a6.6f.2AbaCaDa46128

解析：直接運(yùn)用正四面體的性質(zhì)，內(nèi)切球的半徑r二〒]a,中截面到底面的距離為高的::-'6"J6劣636一半盲a，貝uO到平面m的距離為*a—石a二〒"a,因此選C。例3:（06年陜西卷）將半徑為R的四個(gè)球兩兩相切地放在桌面上，則上面一個(gè)球的球心到桌面的距離為。解析：注意分析四個(gè)球的球心的位置關(guān)系。設(shè)四個(gè)球心分別為A、B、C、D,因?yàn)樗膫€(gè)球兩兩相切，則ABCD是棱長(zhǎng)為2R的正四面體，A到面BCD的距離為2R的正四面體，A到面BCD的距離為離為R+#R=（1+等）R。言丁匕只，則上面一個(gè)球的球心A到桌面的距例4:（06年山東卷）如圖1,在等腰梯形AC的中點(diǎn)，將△ADE與么BEC分別沿ED、棱錐P-DCE的外接球的體積為（）AWnB號(hào)nC尋ABCD中，AB=2DC=2，/DAB=60°,E為EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,則三解析：三棱錐P-DCE實(shí)質(zhì)上是棱長(zhǎng)為則其外接球的體積為V=3用敘好=^nTOC\o"1-5"\h\z例5:（06年湖南卷）棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若過(guò)該球球心的一個(gè)截面如圖1,則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（.--封B土D-/M\\解析：由截面圖形可知，正四面體恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)在球面上，,且截面圓經(jīng)過(guò)其外接球的球心（正四面體的中心），由&/B正四面體的對(duì)稱性可知M為AB對(duì)棱CD的中點(diǎn)，M到AB的距離即為正四面體對(duì)棱公垂線的長(zhǎng)號(hào)a，所以1SxABC=2X2X2x2=.2。1，則正四面體1arccos（）TOC\o"1-5"\h\z例6:（07年安徽卷）半徑為1的球面上的四A、B、C、D是正四面體的頂點(diǎn)，貝yA點(diǎn)與B1，則正四面體1arccos（）Aarccos—3）3barccos（-3）Carccos（）%解析：由題意可知，此球0為正四面體的外接球，且外接球的半徑為,2晶2濁1+1-（3）1的棱長(zhǎng)為2子，根據(jù)余弦定理得cos/AOB=3=—3,