概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)老師-第七章第2節(jié)

§2

正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)X的樣本，x

,,x，X

,,X

為1

n

1

n2總體X

~

N

(,

)為觀測(cè)值。（一）

方差

2

已知時(shí)均值

的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)

2為已知時(shí)，在給定顯著性水平下，關(guān)于的檢驗(yàn)問題有以下三種：（1）

H0

:

0

,

H1

:

0（雙側(cè)檢驗(yàn)）一、單個(gè)正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)(2)

H0

:

0

,

H1

:

0H0

:

0

,

H1

:

0（右側(cè)檢驗(yàn)）1

00

0H

:

H

:

(3)

H0

:

0

,

H1

:

0,（左側(cè)檢驗(yàn)）其中0為常數(shù)現(xiàn)H0

:

0

,

H1

:

0對(duì)于正態(tài)總體，X的是

。若XMLE0比較大，則應(yīng)該認(rèn)定H0為真時(shí)出現(xiàn)了小概率事件，應(yīng)該取P{X

0

k

|

H0為真}

因?yàn)樵贖0下N

(~0,1

),nU

X

0(2)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)定義可得

z

,

nP

X

0所以檢驗(yàn)的域?yàn)?/p>

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

再H0

:

0

,

H1

:

0在H0為真時(shí)，有X

kH

P00H0P當(dāng)H

為真X

X

0

n

n由于

0

,00n

n

P

X

0

k

所以

n

n

nnX

k

X

k

:000

:由于總體X

~

N(,

2

)，因此nX

~

N

(0,1),

,

:0000X

k即

P當(dāng)H

為真

H0

PH00

0n

Pn

PnX

k

nX

k

znk

0

分位點(diǎn)故有

z

z

P

:

P

nX

nX

0:n域?yàn)?/p>

是Hz0為真時(shí)的小概率事件，故X

0也就是說

:

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

根據(jù)類似的

可以得到問題（3）H0

:

0

,

H1

:

0

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

問題(1)的

z

.2nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

域?yàn)椋?）

H0

:

0

,

H1

:

0Z檢驗(yàn)法的域?yàn)樵嚿?，其初速?/p>

Nvsm,經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間

后，現(xiàn)取出9發(fā)例1：有一批

102

)，,(~其中950

sm，測(cè)其初速度，得樣本值如下（單位：sm）914,

920,

910,

934,

953,

945,

912,

924,

940給定顯著性水平

0.05，問這批是否起了變化（假定沒有變化）？解：H0

:

950

H1

:

950此檢驗(yàn)的

域?yàn)?/p>

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

有n

9，易算得x

928，則10u

x

0

928

950

6.6n

9查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表可得

0.05

1.96因?yàn)?/p>

619..610n

9u

x

0

928

950

所以，應(yīng)

原假設(shè)，認(rèn)為這批經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的

后初速度已經(jīng)發(fā)生了變化，變小了。（二）方差

2

未知時(shí)均值

的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)

2為未知時(shí)，在給定顯著性水平下，關(guān)于的檢驗(yàn)問題有以下三種：（雙側(cè)檢驗(yàn)）H0

:

0（1）

H0

:

0

,

H1

:

0,

H1

:

0,(2)

H0

:

0H1

:

0,

H1

:

0,

H1

:

0（右側(cè)檢驗(yàn)）(3)

H0

:

0H0

:

0其中0為常數(shù)（左側(cè)檢驗(yàn)）現(xiàn)H1

:

0H0

:

0v.s.對(duì)于正態(tài)總體，X的M是LE。若0

X比較大，則應(yīng)該認(rèn)定H0為真時(shí)出現(xiàn)了小概率事件，應(yīng)該

H0。取P{0

X

k

|

H0為真}

因?yàn)樵贖0下~

t(n

1),T

X

0nS根據(jù)t分布的分位數(shù)定義可得

t

(n

1)

,

n

SP

X

0所以檢驗(yàn)的域?yàn)?/p>

t

(n

1).nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

S再在H0為真時(shí)，有

X

kP當(dāng)H

為真

H

P0

0

H0

0X

X

0S

Sn

n由于

0

0,

n

SknS

P

X

0

H1

:

0H0

:

0v.s.所以n

n

SkSnS

:

:

X

k0X

Sn由于總體X

~

N(,

2

)，因此

,

:00n

Pn

PSn

S0

X

kknX

S

S即nS

k

t n

1nSX

~

t(n

1),0當(dāng)HP為真0故有t n

1)

(

P

:0nSX

t n

P1:)(nX

Sn域?yàn)閄

0

tSn

1)(是H0為真時(shí)的小概率事件，故也就是說

:x

0

t

(n

1).W

x

,,

x

)

:(

1

nns根據(jù)類似的可以得到問題（2）的域?yàn)閤

0

t

(n

1).W

x

,,

x

)

:(

1

nns問題(1)的域?yàn)?/p>

t

(n

1).2W

x

,,

x

)

:(

1

nnsx

0T檢驗(yàn)法解：根據(jù)題意做檢驗(yàn)例2：某廠生產(chǎn)的某種鋁材的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，其均值設(shè)定為240cm,現(xiàn)從該廠抽取5件產(chǎn)品，測(cè)得其長(zhǎng)度為（單位：cm）239.7

239.6

239

240

239.2試判斷該廠此類鋁材的長(zhǎng)度是否滿足設(shè)定要求？（取顯著性水平為

0.05）。H0

:

2401域?yàn)?

t n

1)(.2W

x現(xiàn)由樣本計(jì)算可得nx

0

xn

),:,(

ss

0.4，故x

239.5,5

|

239.5

240

0.4

2.795|

t

|

|

x

0

|

sn查表可得t0.025由于2.795>2.776，故

原假設(shè)，認(rèn)為該廠生產(chǎn)的鋁材的長(zhǎng)度不滿足設(shè)定要求。例3某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長(zhǎng)度是32.5毫米.實(shí)際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長(zhǎng)度X假定服從正態(tài)分布

N

(,

2

),

2

未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件,

得尺寸數(shù)據(jù)如下:32.56,

29.66,

31.64,

30.00,

31.87,

31.03問這批產(chǎn)品是否合格?(

0.01)第八章假設(shè)檢驗(yàn)H0

:

32.5,

H1

:

32.5T

X

32.5

~

t(5)S

6解:§2

正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)第八章假設(shè)檢驗(yàn)T

X

32.5

~

t(5)S

6t

2n

§2

正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)域?yàn)閠

/

2

(n

1)W

x

,,

x

)(

1

nx

0s

/

n其中n

6

,

0.01

,

0

32.5

,將樣本值代入算出統(tǒng)計(jì)量

T

的值,|

T

|=2.997<4.0322所以接受H0

,即認(rèn)為這批產(chǎn)品合格.例3（續(xù)）第八章假設(shè)檢驗(yàn)例4

某織物強(qiáng)力指標(biāo)X

的均值0

=21公斤.

改進(jìn)工藝后生產(chǎn)一批織物，今從中取30件，測(cè)得

x

=21.55公斤.

假設(shè)強(qiáng)力指標(biāo)服從正態(tài)分布

N

(,

2

),

且已知=1.2公斤，問在顯著性水平=0.01下，新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力是否有提高?~

N

(0,1)Z

X

0

n解:H0

:

21,

H1

:

21取統(tǒng)計(jì)量§2

正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)第八章假設(shè)檢驗(yàn)這里0

21，

1.2,nZ=2.51,所以

原假設(shè)H0，即認(rèn)為新生產(chǎn)織物比過去的織物強(qiáng)力有提高.域?yàn)?/p>

W

x

,,

x

)(

1

nzx

0

/

n而z0.01Z=2.51>2.33，§2

正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)二、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn)1

1

1

n1X

~

N

(

,

2

),X

,,X

為X的一個(gè)樣本為Y的一個(gè)樣本n2122

2,

),Y

,,YY

~

N

(（一）當(dāng)方差已知時(shí)1

2

的假設(shè)檢驗(yàn)考慮1

22221下，

的假設(shè)檢驗(yàn)問題當(dāng)

,

已知時(shí)，在水平(1)H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

（雙側(cè)檢驗(yàn)）(2)

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

（右側(cè)檢驗(yàn)）(3)

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

（左側(cè)檢驗(yàn)）其中為任意已知的常數(shù)現(xiàn)H1

:

1

2

H0

:

1

2

v.s.H0，于是YX)(比較大就應(yīng)該當(dāng)H0為真時(shí)，P{(X

Y

)

k

|

H0為真}

，其中k為適當(dāng)大的正數(shù)當(dāng)H0為真時(shí)~

N

(0,1),n1

n2

2

2 1

2

U

(

X

Y

)

22

2

1

1

2

由N(0,1)的分位數(shù)知，當(dāng)H0為真時(shí)

nnP

X

Y

z

,域?yàn)?2

2

1

1

所以，此檢驗(yàn)的

2nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.

再v.s.H0

:

1

2

H1

:

1

2

n1

n2n1

n2

2

2

2

2 1

2

1

2

當(dāng)H0為真時(shí)，有

X

Y

(

X

Y

)

(1

2

)由此可得

z

nn

znn

X

Y

2221

2112(

X

Y

)

(

)2221

21所以，在H0為真時(shí)

,2221121221

21

2

2

z

nn(

X

Y

)

(

)

P

znn

X

Y

P域都是22

2

1

1

因此，右側(cè)檢驗(yàn)的

2nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.

同樣，檢驗(yàn)（1）的域?yàn)?2

2

12

1

2

nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.域?yàn)?2

2

1

1

檢驗(yàn)（3）的

2nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.

（二）方差未知但相等時(shí)1

2

的假設(shè)檢驗(yàn)當(dāng)

2

,

2為未知，但

2

2時(shí)，均值差

－

的1

2

1

2

1

2常見的假設(shè)檢驗(yàn)問題，與

2

,

2為已知時(shí)的情況1

2一樣，仍然是那三個(gè)問題。統(tǒng)計(jì)量應(yīng)選為~

t(n1

n2

2).1

121nnT

1

2

X

Y

(

)SW其中21

1

1

2

2

n

n

2(n

1)S

2

(n

1)S

2S

W域把T作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，可得下面的水平為的（1）雙側(cè)檢驗(yàn)112

t

n

n

2()211W

x（2）右側(cè)檢驗(yàn)n

nS

Wn

12

X

Y

||)(

x

),:,(

t

(n1

n2

2)W

x

,,

x

)

:(

1

n1

1

(

X

Y

)

n1

n2SW（3）左側(cè)檢驗(yàn)

t

(n1

n2

2)W

x

,,

x

)

:(

1

n1

1

(

X

Y

)

n1

n2SW例5：在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會(huì)增加鋼的得率，試驗(yàn)是在一個(gè)平爐上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)，除操作方法外，其它條件都盡可能做的相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，各煉了10爐其得率分別為(1)標(biāo)準(zhǔn)方法：78.1

72.4

76.2

74.377.4

78.4

76.0

75.5

76.7

77.3(2)新方法：79.1

81.0

77.3

79.1

80.079.1

79.1

77.3

80.2

82.1設(shè)這兩個(gè)樣本獨(dú)立，且分別來自正態(tài)總體N

(1

,

)2和N

(2

,

)，

,

,

均未知，問建議的新操作方2

21 2法能否提高得率？(取

0.05。)解：需要檢驗(yàn)假設(shè)H1

:

1

2

0H0

:

1

2

0分別求出標(biāo)準(zhǔn)方法和新方法下的樣本均值和樣本方差如下2211s2

2.225x

76.23,

s2

3.325n

10,

y

79.43,n

10,

101020.05t

(1,78752.

7341

1 2

(10

s2

11()0

1)s2w又s2

4.295

1.7341s2x

-

y由于

t

w1

110

10所以

H0，即認(rèn)為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)。三、基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)逐對(duì)比較法：在相同的條件

對(duì)比試驗(yàn)，得到一批成對(duì)的觀察值，然后分析觀察數(shù)據(jù)作出判斷。舉例說明：1.比較甲、乙兩種橡膠輪胎的耐磨性的試驗(yàn)：從甲乙兩種輪胎中各抽取n個(gè)，各取一個(gè)組成一對(duì)。

再隨機(jī)抽取n架飛機(jī)，將n對(duì)輪胎分配給n架飛機(jī)，飛行了一定時(shí)間的起

，測(cè)得輪胎磨損量的n對(duì)數(shù)據(jù)。2.比較兩種測(cè)量方法所得的結(jié)果是否有顯著性的差異。對(duì)同一試驗(yàn)品分別用兩種方法測(cè)量得到成對(duì)數(shù)據(jù)。設(shè)有n對(duì)相互獨(dú)立的觀察結(jié)構(gòu)：(X1

,Y1

),(X

2

,Y2

),,(Xn

,Yn

),令D1

X1

Y1

,,Dn

Xn

Yn

,則D1

,D2

,,Dn相互獨(dú)立，又由于D1

,

D2

,,

Dn是由同一因素所引起的,可認(rèn)為它們服從同一分布.假設(shè)D

~

N

(

,

2

)，i

D

Di

1,2,,n。這就是說D1

,D2

,,Dn構(gòu)成正態(tài)總體N

(

,

2

)的一個(gè)樣本，其中

,

2

未知。D

D

D

D基于這一樣本檢驗(yàn)假設(shè)：H1

:

D

0;H1

:

D

0;H1

:

D

0.H0

:

D

0,H0

:

D

0,H0

:

D

0,)的3(

域分別為(檢驗(yàn)值為,sd2

，則此問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于單個(gè)正態(tài)總體均值D的t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)問題

1)(,

2(),水平為

:)21

,,D,

nD的D樣本均值和樣本方差的觀察分別記

t

(n

1)

t

(n

1),|

t

|2

t

(n

1),t

t

s

nds

ndsD

ndDD第八章假設(shè)檢驗(yàn)§2

正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)例6有兩臺(tái)光譜儀，用來測(cè)量材料中某種金屬的含量，為鑒定他們的測(cè)量結(jié)果有無顯著的差異，

了9件試塊（它們的成份、金屬含量、均勻性等均各不相同），現(xiàn)在分別用這兩臺(tái)儀器對(duì)每一試件測(cè)量一次，得到9對(duì)觀察值如下：x%

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00y%

0.10

0.21

0.52

0.32

0.78

0.59

0.68

0.77

0.89d=x%

-y%0.10

0.09

-0.120.18-0.18

0.11

0.12

0.13

0.11問能否認(rèn)為這兩臺(tái)儀器的測(cè)量結(jié)果有顯著的差異？）（取

0.01）第八章假設(shè)檢驗(yàn)§2

正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)H0

:

0

0,

H1

:

0

0取統(tǒng)計(jì)量查表得t

2n