測度與積分知識結(jié)構(gòu)整理

約定G和O為開集，F(xiàn)為閉集，0為開覆蓋，函數(shù)f：<X,p>Y,g>。以下所有概念均在一個度量空間X中討論。第七章度量空間定義E的閉包點E:點xeX，VS>0,3yeE,s.tp(x,y)<6。EuE。定義度量空間X可分:由可數(shù)個點構(gòu)成的稠密子集D,即D二X。命題度量空間可分可數(shù)開集族｛O｝，s.t.WOuX,O=UO。ii0產(chǎn)0定義函數(shù)ff在點x連續(xù)：Vs>0,36>0,s.t若p(x,y)<6,則q[f(x),f(y)]<s0f連續(xù)則f在每一點連續(xù)。命題f連續(xù)oVOuY,f-i[O]uX是一個開集。定義f為X與丫間的同胚：f雙射，連續(xù)且f-1連續(xù)。若X與丫間存在一個同胚，稱X與Y是同胚的。(拓撲學本質(zhì)上是研究在同胚下保持不變的性質(zhì)，這樣的性質(zhì)稱為拓撲的。根據(jù)開集定義的性質(zhì)都是一個拓撲性質(zhì)。一致性質(zhì)，在一致同胚下保持不變的性質(zhì)；度量性質(zhì)，在等距同構(gòu)下保持不變的性質(zhì))定義X與Y之間的等距同構(gòu)(保持距離不變的同胚)：在某個同胚下，Vx1.x2gX,o[h(x),h(x)]=p(x,x)。若X與Y之間存在一個等距同構(gòu)，X和Y是等距的。1212定義p和o是等價度量：<X,p><X,o>映上的恒同映射idX是一個同胚(o若集合O在<X,p>是開的，貝I」在<X,o>也是開的)。定義<xn>收斂于點x：Vs>0,3N,Vn>N，s.tp(x,x)<s，即關(guān)于x的每個球包含了該nn序列除有限項外的一切項。定義聚點：關(guān)于x的球包含序列的無限項，(Vs>0,VN,3n>N,s.tp(x,x)<s)n定義柯西序列：Vs>0,3N,s.tVm,n>N,p(x,x)<s。若每個柯西序列都收斂，則稱該mn空間是完備的。定理若<X,p>不完備度量空間，貝歸是完備度量空間，則X可作為一個稠密子集等距嵌入X*。若XuY(任意完備空間)，則X*等距于X在丫中的閉包。定義f一致連續(xù)：Vs>0,36>0,s.t.Vx,x'若p(x,x')<s,則p(f(x),f(x'))<6。命題f一致連續(xù)n若<xn>是柯西序列，貝l」<f(Xn)>也是柯西序列。定義同胚f稱為一致同胚：f,f-1一致連續(xù)。(一致性質(zhì)：在一致同胚下保持不變的性質(zhì))定義p和o—致等價(與等價比較)：<X,p>T<X,o>映上的恒同映射是一致同胚。(Vs>0,38>0,s.t.Vx,y,p(x,y)<8o(x,y)<￡且0(x,y)<8 p(x,y)<s)命題丫完備，EuX,f:E-丫，f一致連續(xù)，則弓！連續(xù)映射g：E^Y,VxeE,f(x)=g(x)(即g是f的擴張)，且g是一致連續(xù)的。定義S是X的一個子空間：S是X的一個子集，VX，yeSuX，p|S(x,y)=p|X(x,y)。(相對閉包的概念，EuS，則E在S中的閉包和E在X中的閉包通常是不一樣的。但如果x是E在X閉包上的點，則若它屬于S它就是E在S閉包上的點)命題S是X的子空間，EIS=E|XnS。集合AUS相對S閉oTF是X的閉集，A=SnFo集合AUS相對S開0弓0是X的開集，A=SnOo命題可分度量空間的每個子空間都是可分的。命題若度量空間X的子集A完備，則A閉；完備度量空間的閉子集A完備。定義X緊空間：X的每個開覆蓋0有一個有限子覆蓋，即弓有限簇｛01，02，…，OJU0,s.t.Xu%。(oV閉集簇｛FuX｝,AF=0,3｛F,F，…,F｝，件F=0)i i i 1 2Nii=1 i>1 i=1定義X中集簇B具有有限交性質(zhì)：B任何有限子集簇有非空交。命題X(度量空間)是緊的o每個具有有限交性質(zhì)的閉集簇B有一個非空交集oX有波爾查諾-魏爾斯特拉斯性質(zhì)(X的每一個無限序列vxn>至少有一個聚點，即3xeX,stVO(xeO),VN,3n>N,xeO)noX序列緊(X的每個序列<xn>均有收斂的子序列<x>)【比較波爾查諾-魏爾斯特n nk拉斯性質(zhì)和序列緊的定義】o完備+全有界(V￡>0,存在有限點簇｛X［，…，xn｝使得VxeX，x與某個xk的距離不超過￡oW￡>0,X被有限個半徑為￡的球覆蓋）定理f定義在緊空間的連續(xù)實值函數(shù)，則f有界且取到最小值和最大值。引理序列緊空間全有界（眈〉0,m有限點簇｛x,x x｝,VxGX,xGMB）12 N i,￡i=1定義￡為開覆蓋o的勒貝格數(shù)：VxGX,xGOuQ且V8<s，3（x的開球）BuO，即&x,5與x無關(guān)。（以下命題表明&在序列緊空間中一定存在）命題緊空間X的開覆蓋0，則3s>0,s.tVxgX,V5<s,3OgQ,BgO。x,5命題緊空間的閉子集緊。度量空間的緊子集閉且有界。緊集的連續(xù)像是緊的。（比較命題若度量空間X的子集A完備，則A閉；完備度量空間的閉子集A完備。）系實數(shù)的每個緊集閉且有界命題連續(xù)映射f:緊度量空間X-度量空間丫，af一致連續(xù)。定義E是無處稠密的：（E）c稠密oE不包含非空開集定義E是第一范疇的：E是可數(shù)無處稠密集簇的并E是第二范疇的：不是第一范疇的集合。第一范疇集的補集稱為剩余的。性質(zhì)第一范疇集的可數(shù)并和子集都第一范疇集定理｛OJ是X（完備度量空間）的可數(shù)稠密開子集簇，貝ihon稠密（X完備度量空間，則X的任意非空開子集都不是第一范疇的）命題O開F閉，O?O和F?F。無處稠密。完備度量空間中閉F是第一范疇集，則F無處稠密命題完備度量空間的子集K是剩余集oK包含一個稠密的G6o完備度量空間的子集E是第一范疇集oE包含在一個Fo中，其補集是稠密的命題｛Fn｝是可數(shù)閉集簇，X=uFn，則O=UF。是剩余開集。若X是完備度量空間，則O稠密nnn命題一致有界原理：B為完備度量空間X的實值連續(xù)函數(shù)族，且VxeX，3Mx，S.t.VfeB，|f（x）|vMxo弓非空開集OuX和常數(shù)M,s.t.VfeB，VxeO，|f（x）|<M命題<X,p>完備度量空間，EuX是一個G6,貝歸E的度量o,o等價于p,且<E,o>是完備度量空間命題EuX(拓撲空間)，連續(xù)映射f：E-完備度量空間＜丫,0＞。則f可以擴張為連續(xù)函數(shù)f*：E*—Y,其中f*定義在上，EuE*，且為G6命題E為豪斯多夫空間的稠密子集，E同胚與完備空間＜Y,o＞,則E是一個G6系度量空間的子集E同胚于完備度量空間丫，則E是一個G6定義度量空間X到度量空間＜Y,o＞的函數(shù)族B等度連續(xù)：Vs＞0,弓開O,xeO,VyeO,VfeB，s.tb[f(x),f(y)]＜s引理＜fn＞：可數(shù)集D-度量空間丫，使得VxeD集合｛fn(x):0?n＜8｝的閉包是緊的，則存在子序列＜fnk＞在D中的每個x收斂。引理K為緊度量空間，且＜fn＞為到度量空間Y的等度連續(xù)函數(shù)序列，VxwK,fn(x)-f,則在K上vfn＞—致收斂于f。定理(Ascoli)可分空間X到度量空間丫的等度連續(xù)函數(shù)族B，令＜fn＞為B中的序列s.t.VxeX集合｛fn(x)：Ovns｝的閉包是緊的，則存在子序列＜fnk＞點態(tài)收斂于連續(xù)函數(shù)f,且在X中的每個緊集上一致收斂。系可分空間X上的實