小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理(五)

小學(xué)數(shù)學(xué)方法的梳理五）五．方程和函數(shù)思想、方程和函數(shù)思想的概念。方程和函數(shù)試初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的主要內(nèi)容是解決實(shí)際問題的重要工具們可以用來描述現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系而他們之間有著密切的聯(lián)系此本文將二者放在一起進(jìn)行討論。（1方程思想。含有未知數(shù)的等式叫方程，判斷一個(gè)式子是不是方程，只需要同時(shí)滿足兩個(gè)條件;個(gè)是含有未知數(shù)，另一個(gè)必須是等式。如有些小學(xué)老師經(jīng)常有疑問的判斷;x=0和x=1是不是方程？根據(jù)方程的定義他滿足方程的條件都是方程方程按照未知數(shù)的個(gè)數(shù)和未知數(shù)的最高次數(shù)，可以分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程一次方程等等些是初等數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域最基本的內(nèi)容程想的核心是將問題中未知量用數(shù)字以外的數(shù)學(xué)符號(hào)（常用x、y等母）表示，根據(jù)數(shù)量關(guān)系之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程模型。方程思想體現(xiàn)了已之與未知數(shù)的對立統(tǒng)一。函數(shù)思想。設(shè)集合兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對立關(guān)系f如果對于集合的任意一個(gè)數(shù)在集合b中有唯一確定的數(shù)y和的對應(yīng)，那么就稱是x的函數(shù)，記作y=f(x)。其中叫做自變量x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域y叫函數(shù)或因變量，與相對應(yīng)的的叫做函數(shù)值y的取值范圍做值域。以上函數(shù)的定義是從初等數(shù)學(xué)的角度出發(fā)的自變量只有一個(gè)與之應(yīng)的函數(shù)值也是唯一的樣的函數(shù)研究的是兩個(gè)變量之間的關(guān)系一變量的取值發(fā)生變化一個(gè)變量的取值也相應(yīng)發(fā)生了變化中學(xué)里學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)都是這類函數(shù)實(shí)現(xiàn)實(shí)中變量的變化而相應(yīng)變化樣的函數(shù)是多元函數(shù)雖在中小學(xué)里不學(xué)習(xí)多元函數(shù)，但只機(jī)上它是存在的，如圓柱的體積與底面半r和柱的高的關(guān);πrh.半徑和高有一對取值也就是說體隨半徑和高的變化而變化過對這種變化的探究找出對應(yīng)關(guān)系之間的法則，從而構(gòu)建函數(shù)模型。函數(shù)思想體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的、普遍性的觀點(diǎn)。．方程和函數(shù)的區(qū)別。從小學(xué)數(shù)學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)與代數(shù)領(lǐng)域經(jīng)歷了從算數(shù)到方程術(shù)研究具體確定的常數(shù)以及他們之間的數(shù)量關(guān)系程究定的常數(shù)與未知的數(shù)量之間的關(guān)系數(shù)究變量之間的數(shù)量關(guān)系。方程和函數(shù)雖然都是表示數(shù)量關(guān)系的是他們有本質(zhì)的區(qū)別二一次的不定方程中的未知數(shù)往往是常量，而一次函數(shù)中的自變量和因變量一定是量變，因此二者有本質(zhì)的不同。方程必須有未知數(shù)知數(shù)是常量且一定用等式的形式呈現(xiàn)者一不可2x-4=6而函數(shù)至少要有兩個(gè)變量兩個(gè)變量依據(jù)一定的法則相對應(yīng)現(xiàn)的形式可以有解析式圖像法和列表法等集大小等于1小于等于10的數(shù)合b為于的偶數(shù)。那么兩個(gè)集合的數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系可以用表，還可以用如下的表格表示。xy

人們運(yùn)用方程思想關(guān)注的通過設(shè)未知數(shù)如何找出數(shù)量之間的相等關(guān)系構(gòu)建方程并求出方程的解從而解決數(shù)學(xué)問題實(shí)際問題們運(yùn)用函數(shù)思想一般更加關(guān)注數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系通過構(gòu)建函數(shù)模型并究函數(shù)的一些性質(zhì)來解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題程中的未知數(shù)往往是靜態(tài)的，而函數(shù)的變量則是動(dòng)態(tài)的。方程已經(jīng)有多的歷史，而函數(shù)概念的產(chǎn)生不過才年。

（2方程和函數(shù)的關(guān)系。（3方程和函數(shù)雖然有本質(zhì)的區(qū)別，但是他們同屬代數(shù)領(lǐng)域，也有密切的關(guān)系。如二元一次不定方程ax+by+c=0和一次函數(shù)如果方程的解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)的定義域和值域都是實(shí)數(shù)那方和過變換可轉(zhuǎn)化為y=-a/bx-c/b,們在直角坐標(biāo)系里畫出來的圖像是一條直線。因此可以說一個(gè)一元一次方程對應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)如果使一次函數(shù)y=kx+b中函數(shù)植等于0,那么一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為這就是一元一次方程因此,可以說求這個(gè)一元一次方程的解,際上就是求使函數(shù)值偽的自變量的值,者說求一次函數(shù)圖象與X軸交的橫坐標(biāo)的.一般地就初等數(shù)學(xué)而言,今令函數(shù)值為0,么這個(gè)函數(shù)就轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的方程;方程的,是求使函數(shù)值為0的變量的,者說求函數(shù)圖像與X軸點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.方程和數(shù)思想的重要意.世以前,人們主要是運(yùn)用算術(shù)和方程方法解現(xiàn)實(shí)生活中的各種實(shí)際問方程與算術(shù)相比由未知數(shù)參與了等量關(guān)系式的夠建更加便于人理解問題\分析數(shù)量關(guān)系并夠建模型而方程在解決以常量為主要的實(shí)際問題中發(fā)揮了重要作用,到世,隨社會(huì)的發(fā)展傳統(tǒng)的研究常量的算術(shù)和方程已經(jīng)不能解決以研兩個(gè)變量之間的關(guān)系為主的經(jīng)濟(jì),技軍事等領(lǐng)域的重要問這時(shí)函數(shù)變產(chǎn)生了函數(shù)為研究運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)量之間的依存應(yīng)關(guān)系和構(gòu)建模型帶來了方便從能夠解決比較復(fù)雜的問題.概括的說程和函數(shù)思想是中小學(xué)數(shù)學(xué)尤是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.方程和函數(shù)在研究和構(gòu)建現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系模型方面揮著重要的不可替代的作用.方程和數(shù)思想的具體運(yùn).小學(xué)數(shù)學(xué)在學(xué)習(xí)方程之前的問題,通過算術(shù)方法解決,在入方程之后,學(xué)數(shù)學(xué)中比較復(fù)雜的有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題,都以通過方程解決,方思想是小學(xué)思想的重要思想其中一元一次方程是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容在學(xué)數(shù)學(xué)里沒有學(xué)習(xí)函數(shù)的概念但是有函數(shù)思想的滲透與正比例函數(shù)和反比例函數(shù)最接近的正比例函數(shù)和反例函數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容另,小學(xué)數(shù)學(xué)的一些知識(shí)中也會(huì)滲透函數(shù)思想如數(shù)與數(shù)的一一對應(yīng)體現(xiàn)了函數(shù)思方程和函數(shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)銜接的紐小學(xué)數(shù)學(xué)中方程和函數(shù)思想的應(yīng)用如下.思想方法方程思想函數(shù)思想

知識(shí)點(diǎn)方程分?jǐn)?shù),百分?jǐn)?shù)和比例等量代換雞兔同籠加法積的變化規(guī)律商的變化規(guī)律

應(yīng)用舉例用一元一次方程解決整數(shù)和小數(shù)等各種問題用一元一次方程解決分?jǐn)?shù),百數(shù)和比例等各種問題二(三)元一次方程思想的滲透用方程解決雞兔同籠問題一個(gè)加數(shù)不變,和著另一個(gè)加數(shù)的變化而變化,可表示為Y=KX.滲正比例函數(shù)思想一個(gè)因數(shù)不變積著另一個(gè)因數(shù)的化而變化,表示為滲正比例函數(shù)關(guān)系除數(shù)不變,商著被除數(shù)的變化變化,可示為滲正比例函數(shù)思想,被數(shù)不變商著除數(shù)的變化而變,可示為Y=X\K,滲反比例函數(shù)思想

正比例關(guān)系反比例關(guān)系數(shù)列空間與圖形統(tǒng)計(jì)圖表程和函數(shù)思想的教

正比例關(guān)系改寫成Y=KX,就是正比例函數(shù)反比例函數(shù)改寫成就反比例函數(shù)等差數(shù)列,等比數(shù)列,般數(shù)列的每一項(xiàng)與序號(hào)之間的對應(yīng)關(guān)系都可以看作是特殊的函數(shù)關(guān).長方形正形,平四邊形,三形梯的面積公式,長體.,正方圓柱,圓的體積公式的周長和面積公式都滲透了函數(shù)思想函數(shù)的列表法與統(tǒng)計(jì)表都有相似之處方程和函數(shù)都是義務(wù)教育階段重要的數(shù)學(xué)思想方用方程和函數(shù)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī),不僅體現(xiàn)方程和函數(shù)的思想的價(jià)值.也助于學(xué)生形成模型思想根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念,方和函數(shù)思想的教學(xué)應(yīng)關(guān)注以下幾方中的字X,Y等表具體的未知的常即未知,是代數(shù)思想和方程思想的基礎(chǔ).正例關(guān)系和反比例關(guān)系等函數(shù)關(guān)系中的字母X,Y代表的是變化的,即變量,且這兩個(gè)量是相關(guān)聯(lián)的量一個(gè)量的變另一個(gè)量也會(huì)隨著變,這是函數(shù)思想的基礎(chǔ),要讓學(xué)生體會(huì)它的區(qū).結(jié)具體情境通分析數(shù)量關(guān)系來理解等量并方程表示等關(guān)再通過解方程解決問題從而認(rèn)識(shí)方程的作用結(jié)簡單情境,認(rèn)成正比例的量或反比例的量,通分析數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)