常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法定義法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。例1．等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5a52．求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.an=3n52.公式法：已知Sn（即a1a2Lanf(n)）求an，用作差法：anS1,(n1)。SnSn1,(n2)例2：已知數(shù)列{n}n，snn21求{n}的通項(xiàng)公式。的前n項(xiàng)和saa解：（1）當(dāng)n=1時，a1s10，當(dāng)n2時ansnsn1(n21)[(n1)21]2n1由于a1不適合于此等式?！郺n0(n1)2n1(n2)31n-1練習(xí)：數(shù)列{an}滿足an=5Sn－3，求an。答案：an=4（－4）3.累加法：若an1 an f(n)求an：an (an an1) (an1 an2) L (a2 a1) a1(n 2)。例3：（1）數(shù)列{an}滿足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。1（2）數(shù)列{an}滿足a1=1且an=an－1+2n（n≥2），求an。解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，記f（n）=3n－2=an－an－1則an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+?（a2－a1）+a1=f（n）+f（n－1）+f（n－2）+?f（2）+a1=（3n－2）+[3（n－1）－2]+[3 （n－2）－2]+ ?+（3×2－2）+1（n+2）（n－1）=3[n+（n－1）+（n－2）+?+2]－2（n－1）+1=3×2

3n2－n－2n+3=2（2）由a=a1知a－a11=a－a222nn－1nnn－1nnnn－1則an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+?（a2－a1）+a1=f（n）+f（n－1）+f（n－2）+?f（2）+a1111111=2n+2n－1+2n－2+?+22+1=2－2n練習(xí)：已知數(shù)列an滿足a11an131，an1n2，求an。答案：an=-2n2n4.累乘法：已知an1f(n)求an，用累乘法：ananan1La2a1(n2)。anan1an2a1例4：在數(shù)列｛an｝中，a1=1,(n+1)·an1=n·an，求an的表達(dá)式。解：由(n+1)·an1an1n，=n·an得n1anan=a2a3a4?an=123n111a1··a3an1234所以anna1a2nn練習(xí)：已知數(shù)列an中，a11n(2n1)an，試求通項(xiàng)公式an。，前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是Sn3答案：an=1.(2n+1(2n-1)已知遞推關(guān)系求an，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an。①ankan1b解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an1tp(ant)，其中tqp，再利用1換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例5.已知數(shù)列an中，a11，an12an3，求an.解：設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2(ant)即an12antt3.故遞推公式為an132(an3),令bnan3，則b1a134,且bn1an132所bnan3以bn是以b14為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則bn42n12n1,所以an2n13.②ankanbn解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn1an1pan11，得：n1q?nqqq引入輔助數(shù)列bn（其中bnann），得：bn1pbn1再應(yīng)用ankan1b的方法解決.。qqq例6.已知數(shù)列an中，a15,an11an(1)n1，求an。632解：在an11an(1)n1兩邊乘以2n1得：2n1?an12(2n?an)1322bn32(2)n令bn2n?an，則bn11,應(yīng)用例7解法得：bn3bn33所以an1n1n2n3()2()232n，求an；練一練①已知a11,an3an12，求an；②已知a11,an3an1（2）形如anan1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kanb1例7：anan1,a113an11313an11解：取倒數(shù)：an1an11an1是等差數(shù)列，11(n1)31(n1)3an1anana13n2練習(xí)：已知數(shù)列｛an｝中a11且an1（nN）an，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。an1常見數(shù)列求和公式及應(yīng)用1、公式求和法⑴等差數(shù)列求和公式：Snn(a1an)na1n(n1)d22na1(q1)⑵等比數(shù)列求和公式：Sna1(1qn)a1anq1)1q1q(qn另外，還有必要熟練掌握一些常見的數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.正整數(shù)和公式有：kk1nk2n(n1)(2n1)；nk3n(n1)26[2]k1k1例1：已知log3x1，求xx2x3xn的前n項(xiàng)和.log23解：由log31log3xlog32x1x2log2311由等比數(shù)列求和公式得Snxx2x3xn＝x(1xn)＝2(12n)＝1－11x12n122、倒序相加法則例2：已知，則解：∵由式變式訓(xùn)練：如已知函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)f(1x)1，Snf(0)f(1)f(2)f(3)+?f(n2)f(n1)2nf(1)，（nN*），求Sn3、裂項(xiàng)相消法nnnn一些常見的裂項(xiàng)方法：1111(2n1)(2n1)22n12n11111)；；n(nk)(nnkk例3：求數(shù)列1,1,,1,的前n項(xiàng)和.12nn231解：設(shè)an1n1nnn1則Sn1111223nn1

n(n 1)；2；＝( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n)＝ n 1 1練習(xí)：已知an12n，又bn2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.anan1n1n1n14、錯位相減法設(shè)數(shù)列an的等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，則數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Sn求解，均可用錯位相減法。例4：求例5：設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11，a3b521，a5b313（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn．bnan的公差為d，bn的公比為q，則依題意有q12dq421，解：（Ⅰ）設(shè)0且4dq213，1解得d2，q2．所以an1(n1)d2n1，bnqn12n1．（Ⅱ）an2n1352n32n1bn2n1．Sn12122L2n22n1，①2Sn235L2n32n12n32n2，②2②－①得Sn2222L22n12222n22n11112n1112n12n3221L222n162222n22n1112n12n1．22462n,練習(xí)：3.求數(shù)列2,22,23,,2n前n項(xiàng)的和.小結(jié)：錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列cn的公比q；②將兩個等式相