高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類匯編三種平面向量數(shù)學(xué)思想方法新人教A版

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）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)，求得，利用及平方關(guān)系即可求出的最大值.【詳解】解：設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，則，，因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即取得最大值，所以的最大值為，即的最大值為.故選：A.二、解答題2．（2020·重慶·高一期末）已知點(diǎn)，.（1）求的值；（2）若點(diǎn)滿足，求點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求得向量，利用向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式可求得答案；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，得.代入向量的坐標(biāo)對(duì)立方程組可得答案.【詳解】解：（1）∵，∴；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.由，得解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的模，向量相等，向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．（2021·甘肅張掖·高一期末（理））設(shè)，為兩個(gè)不共線的向量，若，.（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）若，是夾角為的單位向量，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再建立方程求解即可；（2）先求出，再建立方程求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，則，，則所以，解得，（2）因?yàn)椋菉A角為的單位向量，所以，解得：【點(diǎn)睛】本題考查利用向量共線與向量垂直求參數(shù)，是基礎(chǔ)題4．（2021·河南·高一期末（文））已知向量，與的夾角為．（I）若的最小值為，求．（Ⅱ）若向量，且，與的夾角等于，求，的值．【答案】（I）或；（Ⅱ）或．【分析】（Ⅰ）依題意得，結(jié)合可得結(jié)果；（Ⅱ）由可得，由夾角公式可得，聯(lián)立可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）∵，∴，，因?yàn)?，則或．（Ⅱ）方法一：由與的夾角為，可得①，由與的夾角等于，可得②，∴，解得或方法二:取，故，由與的夾角等于可得，由與可得，故或．5．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高一期末）已知向量，，.（1）若點(diǎn)，，不能構(gòu)成三角形，求，滿足的關(guān)系；（2）若且為鈍角，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）由點(diǎn)，，不能構(gòu)成三角形，則，，三點(diǎn)共線，即，根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示即可求得，滿足的關(guān)系；（2）由為鈍角，得出且不共線，從而求出的范圍，再根據(jù)向量的模的坐標(biāo)求法即可得出答案.【詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，不能構(gòu)成三角形，所以，，三點(diǎn)共線，即，，，所以，即；（2）因?yàn)闉殁g角，所以且不共線，由（1）得：當(dāng)，且時(shí)，，因?yàn)椴还簿€，所以，，，，解得：，所以且，，所以且，所以.故答案為：.題型二：數(shù)形結(jié)合思想一、單選題1．（2020·江蘇常州·高一期末）已知是以C為直角頂點(diǎn)且斜邊長為2的等腰直角三角形，P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為（

）.A． B． C． D．【答案】B【解析】利用建系的方法，表示出，然后根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡變形，可得到結(jié)果【詳解】如圖設(shè)點(diǎn)，由是斜邊長為2的等腰直角三角形所以所以所以故化簡得：所以的最小值為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將幾何的問題代數(shù)化，化繁為簡，數(shù)基礎(chǔ)題.2．（2020·江蘇南通·高一期末）平行四邊形ABCD中，已知，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，，若，則等于（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】利用平行四邊形法則，將分別利用平行四邊形的相鄰兩邊表示，然后利用已知計(jì)算向量的數(shù)量積，列出方程求解參數(shù).【詳解】由題意，，，，由圖知?jiǎng)t代入，得解得故選：【點(diǎn)睛】考查幾何圖形中的向量表達(dá)，化成同一組基底進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，典型題，考查熱點(diǎn)，本題屬于中等題型.3．（2020·浙江·高一期末）已知單位向量的夾角為60°，若向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)單位向量,則,,可得,即可求得表示的幾何意義,畫出圖形,由圖形求解即可【詳解】由題,設(shè)單位向量,,,則,由,所以,即,其幾何意義為圓心為,半徑為的圓面,如圖所示,由圖形知,當(dāng)?shù)慕K點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí),取得最大值為,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查向量的模的應(yīng)用,考查向量的坐標(biāo)表示,考查數(shù)形結(jié)合思想4．（2021·安徽黃山·高一期末）已知，存在非零平面向量，滿足，，且，則的最小值（

）A． B．3 C．2 D．【答案】D【分析】設(shè)，則，取的中點(diǎn)，由可得，所以取最小值時(shí)，也取最小值，由圖可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，滿足，，則，，由余弦定理可得，則可求出的最小值，進(jìn)而可求出的最小值【詳解】解：設(shè)，則，取的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，所以取最小值時(shí)，也取最小值，顯然，此時(shí)三點(diǎn)共線，設(shè)此時(shí)，，則，，因?yàn)?，所以由余弦定理得，即，得，由，得，所以，所以的最小值，故選：D5．（2021·廣東肇慶·高一期末）平面四邊形是邊長為的菱形，且，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長度最長，所以此時(shí)最大，由，，可得答案.【詳解】如圖，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，在上的投影向量與同向，且長度最長，所以此時(shí)最大，最大值為，因?yàn)?，，所?故選：C.二、多選題6．（2021·湖北·高一期末）已知平面四邊形，是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列命題正確的是（

）A．若，則是平行四邊形B．若，則是矩形C．若，則為直角三角形D．若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過的重心【答案】ACD【分析】由向量相等可判斷A；由數(shù)量積的性質(zhì)結(jié)合模的運(yùn)算可判斷B和C；由向量的線性運(yùn)算結(jié)合向量共線可判斷D.【詳解】由，可得，且，故是平行四邊形，所以A正確；由，平方可得，即，但不一定是矩形，所以B錯(cuò)誤；由，可得，即，因此，所以為直角三角形，所以C正確；作于，由于，所以，即，故的軌跡一定通過的重心，所以D正確.故選：ACD.三、填空題7．（2020·江蘇南通·高一期末）矩形ABCD中，，，點(diǎn)P為矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）一點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由題意，取中點(diǎn)為，則有，可知求解的范圍就是的范圍.【詳解】由題意，取中點(diǎn)為，則有，，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或者點(diǎn)重合時(shí)，取最大值當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取最小值0故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量計(jì)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8．（2021·北京·臨川學(xué)校高一期末）一條從西向東的小河的河寬為3.5海里，水的流速為3海里/小時(shí)，如果輪船希望用10分鐘的時(shí)間從河的南岸垂直到達(dá)北岸，輪船的速度應(yīng)為______；【答案】15海里/小時(shí)【分析】先求出船的實(shí)際速度，再利用勾股定理得到輪船的速度.【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為，船速，水的流速，則海里/小時(shí)，∴海里/小時(shí).故答案為：15海里/小時(shí)題型三：轉(zhuǎn)化與劃歸思想一、單選題1．（2021·廣東廣州·高一期末）已知向量，滿足，，且與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于，結(jié)合，，且與的夾角為，求得將它們代入求值即可【詳解】∵向量，滿足，，且與的夾角為∴則故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，根據(jù)已知向量的模、夾角求目標(biāo)向量的模2．（2021·江蘇·南京師大附中高一期末）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列出方程可得，代入解方程即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，即，解得或，又，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行的坐標(biāo)表示，同角三角函數(shù)平方關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.3．（2020·四川·雅安市教育科學(xué)研究所高一期末）如下圖，四邊形是邊長為1的正方形，點(diǎn)D在的延長線上，且，點(diǎn)P為內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于(

)A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】以為原點(diǎn)，邊和所在的直線分別為和軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，易得，則，再將原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)(含邊界)的最大值，即可求出結(jié)果．【詳解】以為原點(diǎn)，邊和所在的直線分別為和軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，如下圖所示：設(shè)，∵，∴，∴，即，∴，令則，其中為直線在軸上的截距，由圖可知，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，其在軸上的截距最大為，∴的最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量在幾何中的應(yīng)用，建立坐標(biāo)系后，可將原問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃中的最值問題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．4．（2020·重慶·西南大學(xué)附中高一期末）已知，若對(duì)任意，恒成立，則為（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不確定【答案】C【分析】在直線上取一點(diǎn)，根據(jù)向量減法運(yùn)算可得到，由垂線段最短可確定結(jié)論.【詳解】在直線上取一點(diǎn)，使得，則，.對(duì)于任意，都有不等式成立，由垂線段最短可知：，即，為直角三角形.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查與平面向量結(jié)合的三角形形狀的判斷，關(guān)鍵是能夠利用平面向量數(shù)乘運(yùn)算和減法運(yùn)算的幾何意義準(zhǔn)確化簡不等式.5．（2021·浙江·高一期末）如圖，在三角形中，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，則代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可設(shè)并得出，然后根據(jù)、分別是邊、的中點(diǎn)得出，最后將代入中并化簡，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)、、共線，所以設(shè)，其中，因?yàn)?、分別是邊、的中點(diǎn)，所以，，，則，，故當(dāng)時(shí)，最小，最小值為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的共線定理，主要考查平面向量的三點(diǎn)共線定理，考查通過配方法求最值，考查計(jì)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.6．（2021·福建省永春第一中學(xué)高一期末）已知P為在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，若點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件和向量的線性關(guān)系表示，代入得，由向量的長度可得最值.【詳解】，，，，，設(shè)，則（當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.所以的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量間的線性關(guān)系，向量的數(shù)量積運(yùn)算及最值的求解，關(guān)鍵在于運(yùn)用已知向量表示待求的向量，屬于中檔題.7．（2020·甘肅·鎮(zhèn)原中學(xué)高一期末）已知為等邊三角形，，設(shè)，滿足，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】運(yùn)用向量的加法和減法運(yùn)算表示向量，，再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，建立關(guān)于的方程，可得選項(xiàng).【詳解】∵，，∴，∴.故選：A.二、填空題8．（2019·福建省福州第一中學(xué)高一期末）已知圓及點(diǎn)，若滿足：存在圓C上的兩點(diǎn)P和Q，使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及兩圓相交的條件求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】設(shè)點(diǎn)，由得，由點(diǎn)在圓上，得，又在圓上，，與有交點(diǎn)，則，解得故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、利用圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.三、解答題9．（2021·陜西寶雞·高一期末）如圖，已知分別是的三條高，試用向量的方法求證：相交于同一點(diǎn)．【分析】根據(jù)題意，設(shè)交于點(diǎn)，由向量數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系證明點(diǎn)在上，由此可證得結(jié)果.【詳解】設(shè)交于點(diǎn)，以下只需證明點(diǎn)在上，因?yàn)?，，所以?即，，兩式相減，得：即，所以，，又，所以，三點(diǎn)共線，在上．一、單選題1．（2020·浙江·高一期末）設(shè)是兩個(gè)非零向量，則（

）A．若，則B．若，則C．若存在實(shí)數(shù)，使得，則D．，則存在實(shí)數(shù)，使得【答案】D【解析】通過反例直接判斷AC結(jié)果不正確；直接代入條件計(jì)算，判斷B的正誤；等式兩邊同時(shí)平方，判斷D正誤.【詳解】解：對(duì)A.不妨設(shè)，滿足，但，故錯(cuò)誤；對(duì)B.若，則，故錯(cuò)誤；對(duì)C.不妨設(shè)，存在，使得，但不正確，故錯(cuò)誤；對(duì)D.兩邊平方得，，，則反向，存在實(shí)數(shù)，使得，故正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的關(guān)系的綜合應(yīng)用，特例法的具體應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．（2019·山西呂梁·高一期末）在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，且（），則的最大值為（

）A．6 B． C． D．6【答案】B【分析】利用余弦定理和勾股定理可證得；取，作，根據(jù)平面向量平行四邊形法則可知點(diǎn)軌跡為線段，由此可確定，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：

如圖，取，作，交于在內(nèi)（包含邊界）

點(diǎn)軌跡為線段當(dāng)與重合時(shí)，最大

，即故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長最值的求解問題，涉及到余弦定理解三角形的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)平面向量線性運(yùn)算確定動(dòng)點(diǎn)軌跡，根據(jù)軌跡確定最值點(diǎn).3．（2017·河南駐馬店·高一期末（理））生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．”這就是著名的歐拉線定理，在中，分別是外心、垂心和重心，為邊的中點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）正確的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，利用歐拉線定理和三角形相似得出選項(xiàng)（1）（3）正確；根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)得出選項(xiàng)（2）正確；求出，進(jìn)而判斷選項(xiàng)（4）正確．【詳解】中，分別是外心、垂心和重心，畫出圖形，如圖所示；對(duì)于（1）（3）：根據(jù)歐拉線定理，得，所以，所以，即，，即選項(xiàng)（1）（3）正確；對(duì)于（2）：根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得，又，所以，即選項(xiàng)（2）正確；對(duì)于（4）：過點(diǎn)作，垂足為，則，所以，同理，即選項(xiàng)（4）正確．故選：D．4．（2018·江西·臨川一中高一期末）在中，.若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡于直線所圍成的封閉區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BD垂直AC交于點(diǎn)D,求出的長，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由可求得點(diǎn)P坐標(biāo)，然后求得的面積，即可得到本題答案.【詳解】作BD垂直AC交于點(diǎn)D，在中，由，得，在中，由，得，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?lián)立消，得，則點(diǎn)P的軌跡為直線CE：①，易得直線AB:②，聯(lián)立①，②，得，所以點(diǎn)P的軌跡與直線所圍成的封閉區(qū)域?yàn)?，?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形與平面向量的綜合問題.5．（2018·江西·高一期末）已知向量滿足，且，若向量滿足，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意利用兩個(gè)向量加減法的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，根據(jù)作出如下圖形，則．當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，且．結(jié)合圖形可得，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最大值；當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最小值．所以的取值范圍是．故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．故選：B．二、多選題6．（2021·浙江·高一期末）已知向量，，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【分析】先根據(jù)建立方程解得，判斷選項(xiàng)A正確；再根據(jù)，建立方程解得，判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；接著根據(jù)建立不等式解得，判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；最后根據(jù)，化簡整理得到，判斷選項(xiàng)D正確.【詳解】解：因?yàn)?，，，則，解得，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，，，則，即，解得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，則，，，所以，故選項(xiàng)D正確.故答案為：AD.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)、利用向量共線求參數(shù)、根據(jù)向量的模的大小關(guān)系求參數(shù)的范圍、利用向量的運(yùn)算判斷向量垂直，是中檔題.三、填空題7．（2021·河北保定·高一期末）已知向量，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是___________.【答案】，且.【分析】考慮和，同向兩種情況可得結(jié)果.【詳解】由得，又當(dāng)時(shí)，，同向，故的取值范圍是，且.故答案為：，且.8．（2021·安徽·六安市裕安區(qū)新安中學(xué)高一期末）在中，，，是中點(diǎn)，則__________．【答案】2【分析】分別以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，建立平面直