高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類(lèi)匯編橢圓新人教A版

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！專(zhuān)題04橢圓方程及其應(yīng)用類(lèi)型一橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，直線過(guò)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則△的周長(zhǎng)是（

）．A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】由橢圓的定義可知，，則△的周長(zhǎng)為，故選：.2．（2022·廣東·廣州市番禺區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則的最大值為（

）．A．13 B．12 C．25 D．16【答案】C【解析】由橢圓方程知：；根據(jù)橢圓定義知：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故選：C.3．（2022·安徽滁州·高二期中）已知橢圓的焦點(diǎn)為、，P為橢圓上的一點(diǎn)，若，則的面積為（

）A．3 B．9 C． D．【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的定義有，①根據(jù)余弦定理得，②結(jié)合①②解得，所以的面積．故選:C類(lèi)型二橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)4．（2022·安徽·南陵中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上的一點(diǎn)（不在軸上），則△面積的最大值是（

）A．15 B．12 C．6 D．3【答案】B【解析】由三角形面積公式可知，當(dāng)最大時(shí)有最大值，即點(diǎn)位于橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，其中，則△面積的最大值是，故選：.5．（2022·廣東·鹽田高中高二期中）已知橢圓，其左右焦點(diǎn)分別為，其離心率為，點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，已知的內(nèi)切圓的面積為，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】D【解析】由，得，即.設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則因?yàn)榈膬?nèi)切圓的面積為，所以，解得（負(fù)舍），在中，根據(jù)橢圓的定義及焦點(diǎn)三角形的面積公式，知，即，由，聯(lián)立，得，所以該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：D.6．（2022·四川·攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)在的平分線上，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，直線與直線相交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，且，即PM⊥，所以三角形是等腰三角形，所以，點(diǎn)M為中點(diǎn)，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以O(shè)M是三角形的中位線，所以，其中，因?yàn)镻與的四個(gè)頂點(diǎn)不重合，設(shè)，則，則，所以，又，所以，∴的取值范圍是.故選：D.類(lèi)型三橢圓離心率問(wèn)題7．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室高二期中（文））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且，，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)檫^(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可知四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，則，因?yàn)?，所以，則，設(shè)，則，又，所以，即，解得，則，因?yàn)?，即，所以，所以，故選：B8．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高二階段練習(xí)）兩個(gè)長(zhǎng)軸在x軸上、中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且離心率相同的橢圓.若A，B分別為外層橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，分別向內(nèi)層橢圓作切線AC，BD，切點(diǎn)分別為C，D，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：設(shè)內(nèi)橢圓方程為，外橢圓為，切線的方程為，聯(lián)立消去可得：，因?yàn)橹本€為橢圓的切線，所以，化簡(jiǎn)可得：，設(shè)直線的方程為：，同理可得，因?yàn)閮汕芯€斜率之積等于，所以，所以橢圓的離心率為.故選：B.法二；設(shè)內(nèi)層橢圓：，外層橢圓：.設(shè)切點(diǎn)，，，，切線：，切線：，∴①，②，又∵，即，即，即，∴，同理，∴，∴，將，代入橢圓中得：，經(jīng)分析得：，由①②可知，∴，∴，∴.故選：B.9．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中）已知，是橢圓：的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)椋?，即，結(jié)合可得，所以.故選：B.10．（2022·江西贛州·高二期中）已知橢圓，P是橢圓C上的點(diǎn)，是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若恒成立，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，在橢圓上，，，兩邊都乘以化簡(jiǎn)后得：，，，又因?yàn)闄E圓離心率，.故選：A.

考點(diǎn)二橢圓綜合問(wèn)題類(lèi)型一：齊次化解決定點(diǎn)定值問(wèn)題1已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析.解題方法一：試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即，所以l過(guò)定點(diǎn)（2，）解題方法二：齊次化處理：類(lèi)型二：常規(guī)韋達(dá)定理解決橢圓問(wèn)題3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，且橢圓過(guò)點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在x軸的上方）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線AP、BQ的斜率分別為、，是否存在常數(shù)，使得?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【分析】（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)、，則有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，.由（1）知，.因?yàn)?，則有，即，所以解得即.分別將、兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得解得（舍）或所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）設(shè)存在常數(shù)，使得.由題意可設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，則.又因?yàn)?，即，即，所以即?）又由得，，且，.代入（*）得即，所以存在常數(shù)，使得.4．已知橢圓的短軸長(zhǎng)是2，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，是否存在常數(shù)，使恒成立，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）因橢圓的短軸長(zhǎng)是2，則，而離心率，解得，所以橢圓方程為.（2）存在常數(shù)，使恒成立，

由消去y并整理得：，設(shè)，，則，，又，，，則有，而線段AB的中點(diǎn)為M，于是得，并且有所以存在常數(shù)，使恒成立.圍.類(lèi)型三：中點(diǎn)弦問(wèn)題5．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M，N在橢圓C上.(1)若線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線MN的斜率；(2)若M，N，O三點(diǎn)共線，直線NF1與橢圓C交于N，P兩點(diǎn)，求△PMN面積的最大值.【答案】(1)(2)【解析】設(shè)，則，兩式相減，可得，則，解得，即直線MN的斜率為；(2)顯然直線NF1的斜率不為0，設(shè)直線NF1：，，聯(lián)立，消去x整理得，顯然，故，故△PMN的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故△PMN面積的最大值為.6．已知橢圓方程，直線與軸相交于點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．（1）若過(guò)點(diǎn)的直線與垂直，且與直線交于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，求證：．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與直線交于點(diǎn)，試問(wèn)是否垂直，若是，寫(xiě)出證明過(guò)程，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）是垂直；證明見(jiàn)解析．【解析】（1）由橢圓方程為知，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程為，點(diǎn)坐標(biāo)．由知，直線斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，從而，直線的方程為，令得，點(diǎn)坐標(biāo)為，故直線的方程來(lái)，聯(lián)立方程組，消去得：，設(shè)，，即，，從而，線段的中點(diǎn)，，綜上可知，．（2）（ⅰ）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)即為點(diǎn)，從而．（ⅱ）當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，由（1）知，，，所以，則，直線的方程為，又，令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．類(lèi)型四：最，定值以及參數(shù)取值范圍問(wèn)題7設(shè)點(diǎn)M和N分別是橢圓上下不同的兩點(diǎn)，線段MN最長(zhǎng)為4，橢圓的離心率.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過(guò)點(diǎn)，且，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】由題意可得，解得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）由題意知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)其方程為，由，得，由，得，設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，得，所以，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，所以，解得或，所以直線OP的斜率的取值范圍為1、單選題1．（2022·江西省定南中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知橢圓C：的左?右焦點(diǎn)分別是?，過(guò)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則四邊形面積的最大值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】由已知得若，故四邊形AOBE是平行四邊形，其面積是△OAB面積的兩倍，下面先求△OAB的面積的最大值.由橢圓的方程的橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)直線AB的方程為,代入橢圓方程中并整理得：,，令,,當(dāng),即k=0,也就是直線AB與x軸垂直時(shí)面積取得最大值為，∴四邊形AOBE的面積最大值為.故選：B.2．（2022·北京·人大附中高二期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若C上存在一點(diǎn)P，使得，且內(nèi)切圓的半徑大于，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，內(nèi)切圓的半徑為r．因?yàn)椋裕瑒t．由等面積法可得，整理得，又故．又，所以則，從而．故選：C3．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）如圖，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，是線段上靠近的三等分點(diǎn)，為正三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D由橢圓的定義知，，則，因?yàn)闉檎切?，所以，．在中，由余弦定理得，則，，故選：D．4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知橢圓的離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)左焦點(diǎn)作直線與橢圓在第一象限交點(diǎn)為P，若為等腰三角形，則直線的斜率為A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，，所以，所以，所以直線的斜率為，當(dāng)時(shí)，，不符合題意.綜上所以直線的斜率為.故選：A二、多選題5．（2022·海南·嘉積中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C上.若為直角三角形，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．符合條件的M點(diǎn)有4個(gè) B．M點(diǎn)的縱坐標(biāo)可以是C．的面積一定是 D．的周長(zhǎng)一定是【答案】BD【解析】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)，，為直角三角形，以為直角頂點(diǎn)的直角有2個(gè)，以為直角頂點(diǎn)的直角有2個(gè)，顯然橢圓C的半焦距，短半軸長(zhǎng)，，以線段為直徑的圓與橢圓C有4個(gè)公共點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)的直角有4個(gè)，因此，符合條件的M點(diǎn)有8個(gè)，A不正確；以為直角頂點(diǎn)時(shí)，設(shè)，由消去得：，即M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，B正確；由選項(xiàng)B知，以為直角頂點(diǎn)時(shí)，的面積，C不正確；由橢圓定義知，的周長(zhǎng)為，D正確.故選：BD6．（2022·黑龍江·綏化市第九中學(xué)高二階段練習(xí)）一般地，我們把離心率的橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”，則下列命題正確的有（

）A．若橢圓是黃金橢圓，則B．在中，，，點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的黃金橢圓上，則的周長(zhǎng)為C．過(guò)黃金橢圓上的右焦點(diǎn)作垂直于長(zhǎng)軸的垂線，交橢圓于、兩點(diǎn)，則D．設(shè)?是黃金橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓上滿(mǎn)足的點(diǎn)不存在【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若焦點(diǎn)在軸上,則,解得.若焦點(diǎn)在軸上,則,解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知,所以,所以,故B正確；對(duì)于C，將代人橢圓方程得,則,因?yàn)?所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè),,則,與聯(lián)立,此方程組無(wú)實(shí)數(shù)解.因此橢圓上滿(mǎn)足的點(diǎn)不存在,故D正確.故選：BCD.7．（2022·遼寧·本溪市第二高級(jí)中學(xué)高二期末）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，現(xiàn)給出下述結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的是（

）A．B．的周長(zhǎng)的取值范圍是（6，12）C．當(dāng)時(shí)，的面積為D．當(dāng)時(shí)，為直角三角形．【答案】ABD【解析】：由橢圓得，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則，∴為定值，故A正確；的周長(zhǎng)為，因?yàn)闉槎ㄖ?，∴的范圍是，∴的周長(zhǎng)的范圍是，故B正確；當(dāng)時(shí)，將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，則，所以的面積為，故C不正確；當(dāng)時(shí)，將與橢圓方程聯(lián)立，解得，，又因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，故D正確．故選：ABD.8．（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)分別是，，其中.直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn).則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．的周長(zhǎng)為 B．當(dāng)時(shí)，若的中點(diǎn)為M，則C．若，則橢圓的離心率的取值范圍是 D．若，則橢圓的離心率【答案】CD【解析】對(duì)于A,當(dāng)k=0時(shí),直線l:y=k(x+c)與橢圓的兩交點(diǎn)A,B與F2在一直線上，不能構(gòu)成三角形.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),,可得由作差得:，則有.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,,則有,可得：.故C正確；對(duì)于D,由,即，解得：（舍去）,所以.故D正確.故選:CD三、解答題9．（2022·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知橢圓的左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且橢圓E的離心率為．(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作直線l交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P位于x軸上方，記直線的斜率分別為．①證明：；②設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求證直線過(guò)x軸上一個(gè)定點(diǎn)，并求面積的最大值．【答案】(1);(2)①證明見(jiàn)解析；②.【解析】(1)由題意知，，又，所以，所以，所以橢圓方程為；(2)①設(shè)直線的方程為，則，又，消得，得因此，故.②坐標(biāo)為，則直線方程為，令解得:，即直線恒過(guò)點(diǎn)，故，當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積最大值為．10．（2022·湖北恩施·高二期中）已知橢圓過(guò)點(diǎn)B（0，1），A為其左頂點(diǎn)，且直線AB的斜率為.(1)求E的方程；(2)不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線l與E相交于C，D兩點(diǎn)，若兩直線BC，BD的斜率之和為，求直線l所過(guò)的定點(diǎn).【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意，直線AB為，即，故當(dāng)時(shí)，所以，橢圓過(guò)，則，所以橢圓E為.(2)設(shè)直線BC與直線BD的斜率分別為，.若直線l與x軸垂直，設(shè)直線，且，可得C，D分別為，，則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)直線.將