函數(shù)單調(diào)性與周期性

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時，都有

f(x1)<f(x2)則

f(x)為區(qū)間D

上的增函數(shù)．對于任意的x1，x2∈D，當

x1<x2

時，都有

f(x1)>f(x2)，則f(x)為區(qū)間D

上的減函數(shù)．2．證明函數(shù)的單調(diào)性一般從定義入手，也可以用導(dǎo)數(shù)證明．(1)利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并適當變形(“分解因式”、配同號項的和等)；③依據(jù)差式的符號確定其增減性．2020/11/262020/11/26(2)設(shè)函數(shù)

y＝f(x)在某區(qū)間D

內(nèi)可導(dǎo)．如果f

′(x)>0則f(x)在區(qū)間D

內(nèi)為增函數(shù)；如果

f

′(x)<0，則f(x)在區(qū)間D

內(nèi)為減函數(shù)．二、單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論若f(x)，g(x)均為增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)仍為增(減)函數(shù)．若f(x)為增(減)函數(shù)，則－f(x)為減(增)函數(shù)，如果同時有

f(x)>0，則

1

為減(增)函數(shù)，

fx為增(減)函數(shù)2020/11/26fx3．互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有相同的單調(diào)性．2020/11/26y＝f[g(x)]是定義在M

上的函數(shù)，若

f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復(fù)合函數(shù)

f[g(x)]為增函數(shù)；若f(x)、g(x)的單調(diào)性相反，則其復(fù)合函數(shù)

f[g(x)]為減函數(shù)．奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反．2020/11/26三、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用有：(1)比較函數(shù)值或自變量值的大?。?2)求某些函數(shù)的值域或最值．(3)解證不等式．(4)作函數(shù)圖象．2020/11/26四、函數(shù)的最大(小)值：1．定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)定義域為Ⅰ，如果存在實數(shù)M

滿足：對任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.稱M

是函數(shù)y＝f(x)的最大(或最小)值．2．求法：(1)配方法，(2)判別式法，(3)基本不等式法，(4)換元法，(5)數(shù)形 ，(6)單調(diào)性法，(7)導(dǎo)數(shù)法．2020/11/262020/11/26誤區(qū)警示1．對于函數(shù)單調(diào)性定義的理解，要注意以下三點

(1)函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的．f(x)在區(qū)間A

與B上都是增(或減)函數(shù)，在

A∪B上不一定單調(diào)．(2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的性質(zhì)，因此定義中的x1，x2

在這一區(qū)間上具有任意性，不能用特殊值代替．2020/11/26在研究函數(shù)的單調(diào)性時，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域注意f(x)在區(qū)間A

上單調(diào)增與f(x)的單調(diào)增區(qū)間為A

的區(qū)別．2020/11/262020/11/26一、利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解題對于復(fù)合函數(shù)

y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)增(減)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)g(a))上是單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)y＝f[g(x)]在區(qū)間(a，b)上的單調(diào)性由以下表格所示，實施該法則時首先應(yīng)考慮函數(shù)的定義域.2020/11/26t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增減減減增減減減增二、解題技巧1．給出抽象函數(shù)關(guān)系式，

其性質(zhì)的題目，基本方法是賦值用定義 ．如判斷單調(diào)性，須創(chuàng)造條件判斷f(x

)－1

2f(x

)的符號或1fx

2fx

與1的大??；判斷奇偶性須設(shè)法產(chǎn)生f(－x)與f(x)的關(guān)系式等．判斷單調(diào)性時，若關(guān)系式中含有常數(shù)，應(yīng)設(shè)法利用所給條件，把常數(shù)化為函數(shù)值的形式．2020/11/262020/11/262．由于定義都是充要性命題，因此若

f(x)是增(或減)函數(shù)，則f(x1)<f(x2)?x1<x2(或x1>x2)．2020/11/26[例

1]

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并確定每一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．(1)y＝|x|(1－x)(2)y＝

1

x2－x(3)(3)y＝log2(6＋x－2x2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2020/11/262020/11/26解析：(1)∵f(x)＝|x|(1－x)＝－x2＋xx≥02x

－x

x<0，可得函數(shù)

f(x)在區(qū)間(－∞，0]及

1，＋∞)上為減函數(shù)，在區(qū)[2間[0

1

上為增函數(shù)．，2]2020/11/26(2)設(shè)t＝x2－x＝(x1

2

1－2)

－4，1

2

1∵t＝(x－2)－4在－∞，2](

1

上為減函數(shù)，在

1

∞)[2，＋上為增函數(shù)．又y＝

1

t

在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，∴y＝

1

x(3)(3)2－x

的單調(diào)增區(qū)間為(1－∞，2]，單調(diào)減區(qū)間為

1

∞)．[2，＋2020/11/262(3)由6＋x－2x2>0，得－3<x<2，設(shè)t＝6＋x－2x2

則y＝log2t；∵t＝－2x2＋x＋6＝－2(x－1)24

2

449

3

1＋

8

在(－

，

]上為增42函數(shù)，在

1

2)上為減函數(shù)，又

y＝log

t

在(0，＋∞)上為[

，2增函數(shù)，∴y＝log(6＋x－2x2)的單調(diào)增區(qū)間為(3

1－2，4]，單調(diào)減區(qū)間為1，2)．[4(2010·模擬)函數(shù)y＝log12(－x2－2x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間為

．2020/11/262020/11/26解析：y＝log1

u

為單調(diào)減函數(shù)，2由－x2－2x＋3>0

得－3<x<1，∵u＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4

在(－1,1)上單調(diào)遞減，∴y＝log12(－x2－2x＋3)在(－1,1)上單調(diào)遞增，故填(－1,1)答案：(－1,1)[例

2]

(文)函數(shù)

y＝ax

在[0,1]上的最大值與最小值的和為

3，則

a

的值為(

)A.1

B．22C．4

D.14利用單調(diào)性求函數(shù)的值域或最值2020/11/26解析：解法

1：對

a

分類

．若a>1，x＝0時，y

有最小值1；x＝1時，y

有最大值a，由題設(shè)1＋a＝3，則a＝2.若0<a<1，x＝0

時，y

有最大值1；x＝1

時，y

有最小值

a，由題設(shè)

a＋1＝3，則

a＝2，與

0<a<1

，故選B.2020/11/262020/11/26解法2：當a>0，a≠1

時，y＝ax

是定義域上的單調(diào)函數(shù)，因此其最值在x∈[0,1]的兩個端點得到，于是必有1＋a＝3，∴a＝2.答案：B點評：指數(shù)函數(shù)的最值問題一般都是用單調(diào)性解決．2020/11/26(理)函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值與最小值之和為

a，則

a

的值為(

)A.14C．21B.2D．42020/11/26解析：a>1

時，f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，最小值f(0)最大值f(1)；0<a<1

時，f(x)在[0,1]上為減函數(shù)，最小值f(1)，最大值f(0)，據(jù)題設(shè)有：f(0)＋f(1)＝a，a1即1＋a＋log

2＝a，∴a＝2.答案：B(文)函數(shù)

f(x)＝

2

的定義域為(－∞，1)∪[2,5)，x－1則其值域為

．2020/11/262020/11/26解析：∵x∈(－∞，1)∪[2,5)，∴x－1∈(－∞，0)∪[1,4)，則

2

∈(－∞，0)∪

1，2]．x－1

(2答案：(－∞，0)∪

1

2](

，22020/11/26(理)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最大值為5，則f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是(A．增函數(shù)，且有最小值－5B．增函數(shù)，且有最大值－5C．減函數(shù)，且有最小值－5D．減函數(shù)，且有最大值－5)2020/11/26解析：∵f(x)為奇函數(shù)，且在[3,7]上為增函數(shù)，∴f(x)在[－7，－3]上為增函數(shù)，∵f(x)在[3,7]上最大值為5，∴f(7)＝5，∴f(－7)＝－5.∴f(x)在[－7，－3]上的最小值為－5.答案：A1

1(2010·濟南市模擬)設(shè)y1＝0.4

3

，y2＝0.5

3

，y3[例3]＝0.5

4

，則()A．y3<y2<y1C．y2<y3<y1B．y1<y2<y3D．y1<y3<y2利用單調(diào)性解證不等式及比較大小2020/11/2611分析：y

與

y2

有相同指數(shù)3，可視作冪函數(shù)

y13＝x

，2020/11/26當x

取0.4

和0.5

時對應(yīng)的兩個函數(shù)值，y2

和y3

有相同底1

1數(shù)，可視作指數(shù)函數(shù)y＝0.5x

當x

取3和4時的兩個函數(shù)值，故可用單調(diào)性求解．1解析：∵y＝0.5x

為減函數(shù)，∴0.5

3

<0.5

4

，1∵y＝x

3

在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，1

1∴0.4

3

<0.5

3

，∴y1<y2<y3，故選B.答案：B2020/11/261(文)已知

f(x)為R

上的減函數(shù)，那么滿足f(|x|)<f(1)的實數(shù)

x

的取值范圍是(A．(－1,1)C．(－1,0)∪(0,1))B．(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2020/11/262020/11/26解析：因為f(x)為減函數(shù)，1

1f(|x|)<f(1)，所以|x|>1，則|x|<1

且x≠0，即x∈(－1,0)∪(0,1)．答案：C2020/11/26(理)已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)增加，則13滿足

f(2x－1)<f

的

x

取值范圍是()A.

，

B.

，

1

2

1

23

3

3

3C.

，1

22

3D.

，

1

22

3解析：作出示意圖可知：2020/11/262020/11/26131313f(2x－1)<f

?－

<2x－1<

，1

2即3<x<3.故選A.答案：A[例4](文)(2011·福建長泰一中月考)函數(shù)f(x)＝xa

，－x＋3a，

x<0x≥0(a>0

且a≠1)是R

上的減函數(shù)，則a的取值范圍是(

)A．(0,1)B．

1

1)[3，1C．(0，3]2D．(0，3]已知單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍2020/11/26分析：f(x)在R

上為減函數(shù)，故f(x)＝ax(x≥0)為減函數(shù)，可知

0<a<1，又由

f(x)在

R

上為減函數(shù)可知，f(x)在

x<0

時的值 于

f(x)在

x≥0

時的值，從而

3a≥1.2020/11/262020/11/26解析：∵f(x)在R

上單調(diào)遞減，∴0<a<1，3a≥1.1∴3≤a<1.答案：B(理)若函數(shù)f(x)＝3a－1x＋4a

x<1logax

x≥1，對任意1x

≠x2，都有2x

－x1fx2－fx1<0，則實數(shù)

a

的取值范圍是(

)2020/11/26A．(0,1)B.0，

131

7C.

，1D.

，

1

17

3分析：由fx2－fx1x2－x1<0可知f(x)的單調(diào)性；利用其單2020/11/26調(diào)性結(jié)合f(x)在x<1

和x≥1

上的表達式，可分別求得a的取值范圍，再結(jié)合其單調(diào)性知，f(x)在(－∞，1)上的函數(shù)值，恒小(或大)于f(x)在[1，＋∞)上的函數(shù)值．解析：解法1：∵對任意x1≠x2

都有fx2－fx1x2－x1<0，2020/11/26∴f(x)在R

上為減函數(shù)．當x＝1

時，logax＝0，若為R

上的減函數(shù)，則(3a－1)x＋4a>0

在x<1

時恒成立．令g(x)＝(3a－1)x＋4a，則

g(x)>0

在x<1

上恒成立，故3a－1<0

且g(1)≥0，即3a－1<03a－1＋4a≥01

1?7≤a<3，故選C.解法2：∵對任意x1≠x2

都有fx2－fx1<0，2020/11/26x2－x1∴f(x)在R

上為減函數(shù)．由y＝(3a－1)x＋4a

在(－∞，1)上單調(diào)遞減知3a－1<0，∴a

1，排除A、D.<3由f(1)＝0

知，x<1

時f(x)>0，∴3a－1＋4a≥0，∴a

1

故選C.≥7.答案：C2020/11/26點評：f(x)在R

上單調(diào)遞減，a

的取值不僅要保證(－∞，1)和[1，＋∞)上單調(diào)遞減，還要保證x1<1，x2≥1

時有f(x1)>f(x2)．a(chǎn)x＋1已知函數(shù)f(x)＝

x＋2

在區(qū)間(－2，＋∞)上為增函數(shù)，則實數(shù)

a

的取值范圍是

．2020/11/26ax＋1

1－2a

1－2a解析：f(x)＝

x＋2

＝a＋x＋2

，則g(x)＝

x＋2

在(－2020/11/2612，＋∞)上為增函數(shù)，所以1－2a<0，則a>2.2答案：

1

∞)(

，＋*[例

5] (文)已知函數(shù)

y＝f(x)對任意

x、y∈R，均有2f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x>0

時，f(x)<0，f(1)＝－3.判斷并證明

f(x)在R

上的單調(diào)性；求f(x)在[－3,3]上的最值．抽象函數(shù)的單調(diào)性2020/11/262020/11/26解析：(1)f(x)在R

上是單調(diào)遞減函數(shù)證明如下：令x＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x

可得：f(－x)＝－f(x)，在R

上任取

x1、x2

且x1<x2，則x2－x1>0，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．2020/11/26又∵x>0

時，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，即f(x2)<f(x1)．由定義可知f(x)在R

上為單調(diào)遞減函數(shù)．2020/11/26(2)∵f(x)在R

上是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)．∴f(－3)最大，f(3)最小．f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)

23＝3×－

＝－2.∴f(－3)＝－f(3)＝2.即f(x)在[－3,3]上最大值為2，最小值為－2.(理)已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且當x>1

時，f(x)<0.求f(1)的值；判斷f(x)的單調(diào)性；若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)<－2.2020/11/26x1x2分析：當

x1＝x2

時，由

f

可產(chǎn)生

f(1)；欲f(x)x1x2單調(diào)性，須比較

f(x1)－f(x2)與

0

的大小，即

f

與

0

的大x12x1x2小，為此須利用條件

x>1

時，f(x)>0，即x

>1

時，f

>0欲解不等式

f(|x|)<－2，須考慮應(yīng)用單調(diào)性脫去“f”，故須x1x2把－2

化為函數(shù)值，這須由

f

＝f(x1)－f(x2)，賦值產(chǎn)生f(x0)＝－2.2020/11/26解析：(1)令x1＝x2>0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0故f(1)＝0.1(2)任取x

，21

2x1x2x

∈(0，＋∞)，且

x

>x

，則

>1，由于x1當

x>1

時，f(x)<0，所以

f

<0，即

f(x1)－f(x2)<0，因此2020/11/26x2f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)

f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．x192020/11/26x2

3(3)由

f

＝f(x1)－f(x2)得

f

＝f(9)－f(3)，而

f(3)＝－1，所以

f(9)＝－2.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以當x>0

時，由f(|x|)<－2得f(x)<f(9)，因此x>9；當x<0

時，由f(|x|)<－2

得f(－x)<f(9)，因此－x>9，故x<－9.因此不等式的解集為{x|x>9

或x<－9}．2020/11/26(注：帶*號的題目，難度較大，各校可依據(jù)學(xué)生的實際情況選用)2020/11/261．(文)在區(qū)間(－∞，1)上是增函數(shù)的是()A．y＝(x－1)－2

B．y＝

1

x－1C．y＝log2(1－x)1D．y＝2

x[答案]

A2020/11/262x－1[解析]

y＝log

(1－x)，y＝

1

在(－∞，1)上都為1減函數(shù)，y＝2

x

在(－∞，0)和(0,1)上都為減函數(shù)，故選A.2020/11/26(理)(2011·

理，16)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是(

)A．y＝ln

1

B．y＝x3|x|C．y＝2|x|

D．y＝cosx[答案]

A2020/11/262020/11/26[解析]

排除法：B、C

在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，D在(0，＋∞)上不單調(diào)，故選A.2020/11/262

．

(

文

)(2011·

撫順

模

擬

)

已

知

f(x)

＝ax

a4－2x＋2x>1x≤1是R

上的單調(diào)遞增函