高中數(shù)學(xué)考點(diǎn)16兩角和與差的正弦余弦和正切公式簡單的三角恒等變換(含2013高考試題)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精考點(diǎn)16兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、簡單的三角恒等變換一、選擇題1。(2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考文科·Ｔ6)已知sin22，則cos2()()A。1。113。24BC.D6323【解題指南】利用“降冪公式”將cos2()化簡，建立與sin2的關(guān)系，可得結(jié)果。41cos2()1cos(2)1sin2【剖析】選A。因?yàn)閏os2(4)2422，221sin21123，選A。因此cos()22642.（2013·江西高考文科·Ｔ3)若sin3）2，則cosa=（3A。2B.1C.1D。23333【解題指南】利用二倍角的余弦公式即可.【剖析】選C。cos12sin2=12=1.2333（2013·大綱版全國卷高考理科·Ｔ12）已知函數(shù)fx=cosxsin2x,以下結(jié)論中錯誤的選項(xiàng)是（)A．yfx的圖像關(guān)于,0中心對稱B。yfx的圖像關(guān)于x對稱2C。fx的最大值為32D.fx既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)【剖析】選C.f(x)cosxsin2x2cos2xsinx2sinx2sin3x，令tsinx，1t1，則g(t)2t2t3，g(t)26t2.令g(t)26t20,解得t3或31學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精t3。比較兩個極值點(diǎn)和兩個端點(diǎn)g(1)0，g(1)0，g(3)0，g(3)43，3339f(x)的最大值為43，故C錯誤94.（2013·重慶高考理科·Ｔ9）4cos50tan40()A.2B.23C.3D.2212【解題指南】先切化弦，爾后通分化簡求解即可.【剖析】選C.4cos50tan404cos50sin404cos50cos40sin40cos40cos404sin40cos40sin402sin80sin402cos10sin(1030)cos40cos40cos4031333312cos10cos10cos10cos10sin10sin10sin10222222cos40cos40cos403cos40cos40

3.（2013·遼寧高考文科·Ｔ6）與（2013·遼寧高考理科·Ｔ6）相同在ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若asinBcosCcsinBcosA1b,且2ab,則B(）A.B.C.2D.56363【解題指南】利用正弦定理，將邊化為角,借助式子的特點(diǎn)，利用和角公式與相關(guān)的引誘公式解決問題【剖析】選A。據(jù)正弦定理，設(shè)abcsinAsinBk，則sinC1b,整理得aksinA,bksinB,cksinC.將它們代入asinBcosCcsinBcosA1,即sin(A1,又sin(A2sinAcosCcosAsinCC)C)sin(B)sinB,因此122sinB22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因?yàn)閍b,因此B必為銳角，因此B.6二、填空題（2013·四川高考文科·Ｔ14)和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同設(shè)sin2sin,(,)，則tan2的值是____________。2【解題指南】本題觀察的是簡單的三角恒等變換，在解題時要注意公式的靈便運(yùn)用，特別是二倍角公式與同角關(guān)系公式.【剖析】依照題意sin2sin，可得2sincossin，可得cos1,tan3，因此tan22tan23321tan22【答案】37。(2013·上海高考理科·T11）若cosxcosysinxsiny1,sin2xsin2y2，則23sin(xy)________1，sin2xsin2y2sin(xy)cos(xy)2y)2【剖析】cos(xy)，故sin(x．233【答案】238.(2013·上海高考文科·T9）若cosxcosy+sinxsiny=1，則cos(2x—2y）=.3【剖析】cosxcosysinxsinycos(xy)1cos2(xy)2cos2(xy)17739【答案】99。（2013·新課標(biāo)全國Ⅱ高考理科·T15）設(shè)θ為第二象限角,若tan41，則sin2θ+cosθ=.【解題指南】利用兩角和的正切公式將tan張開化簡,經(jīng)過切化弦，獲取目標(biāo)式sin4θ+cosθ，爾后利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得sinθ+cosθ的值?！酒饰觥恳?yàn)棣葹榈诙笙藿?，tan4=1〉0,因此角θ的終邊落在直線y=-x的左側(cè)，23學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精sinθ+cosθ〈0由tan4=1，得tan11,即sincos1,，因此設(shè)sin21tan2cossin2θ+cosθ=x，則cosθ-sinθ=2x,將這兩個式子平方相加得：22，即sinθ+cosθ=10。x=55【答案】105三、解答題10。(2013·遼寧高考文科·Ｔ17)與（2013·遼寧高考理科·Ｔ17)相同設(shè)向量a(3sinx,sinx),b(cosx,sinx),x0,.2()若ab,求x的值；( )設(shè)函數(shù)f(x)ab，求f(x)的最大值?！窘忸}指南】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將模和數(shù)量積問題轉(zhuǎn)變成三角函數(shù)問題求解【剖析】()由a(3sinx,sinx),b(cosx,sinx),得a23sinx)2(sinx)24sin22(cosx)2(sinx)21.(x，b又因?yàn)閍b,因此4sin2x1.又x0,,因此sinx1,x.226()函數(shù)f(x)ab(3sinx,sinx)(cosx,sinx)3sinxcosxsin2x32sinxcosx1cos2x3sin2x1cos2x122222cossin2xsincos2x1sin2xcoscos2xsinsin(2x)266666因?yàn)閤0,,因此2x5，故1sin(2x)1，6622660sin(2x)1322即f(x)的最大值為3.211。(2013·四川高考理科·Ｔ17)在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且4學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2cos2ABcosBsin(AB)sinBcos(AC)3．25(1)求cosA的值;（2)若a42，b5，求向量BA在BC方向上的投影．【解題指南】本題解題的打破口在于已知條件2cos2ABcosBsin(AB)sinBcos(AC)3的化簡，以及隱含條件在三角形中25內(nèi)角和為,第(2）問要注意正弦定理與余弦定理的應(yīng)用.【剖析】(1)由2cos2錯誤!cosB-sin(A—B）sinB+cos（A+C）=-錯誤!，得[cos（A—B)+1］cosB-sin（A—B）sinB-cosB=-錯誤!.即cos（A—B）cosB—sin（A-B)sinB=-錯誤!。則cos(A-B+B)=-錯誤!，即cosA=-錯誤!.(2）由cosA=-錯誤!,0<A〈π,得sinA=-4。5由正弦定理，有a=錯誤!,因此，sinB=bsinA2.sinAa2由題知a〉b，則A〉B,故B=.43),依照余弦定理，有(42)2=52+c2-2×5c×(5解得c=1或c=—7（舍去)。故向量BA在BC方向上的投影為|BA｜c(diǎn)osB=2。212.（2013·四川高考文科·Ｔ17）在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC)3.5（Ⅰ)求sinA的值；（Ⅱ)若a42，b5，求向量BA在BC方向上的投影。【解題指南】本題解題的打破口在于已知條件cos(AB)cosBsin(AB)sin(Ac)3的化簡，以及隱含條件在三角形中內(nèi)角和為5,第（Ⅱ）問要注意正弦定理與余弦定理的應(yīng)用?！酒饰觥浚á瘢┯蒫os(AB)cosBsin(AB)sin(AC)3,得55學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精cos(AB)cosBsin(AB)sinB3，則錯誤!(A-B+B）=-錯誤!,即錯誤!A=-錯誤!.5又因?yàn)?A，因此錯誤!A=錯誤!(Ⅱ）由正弦定理,有錯誤!=錯誤!，因此錯誤!B=錯誤!=錯誤!,由題知a〉b，則A>B,故B=4，則錯誤!B=錯誤!.依照余弦定理，有（4錯誤!）2=52+c2-25c（-錯誤!），即c2+6c-7=0解得c=1或c=-7（負(fù)值舍去)故向量錯誤!在錯誤!方向上的投影為|錯誤!|錯誤!B=c錯誤!B=錯誤!.13。（2013·廣東高考理科·Ｔ16)已知函數(shù)f(x)2cos(x)，xR。12（1）求f()的值；633（2）若cos)，求f(2)。,(,2523【解題指南】本題觀察利用三角函數(shù)引誘公式求值和三角恒等變換，特別要注意兩角和公式cos()coscossinsin及二倍角公式的應(yīng)用。【剖析】（1）f()2cos(6)2cos()2cos1；61244（2），f(2)2cos(23)2cos(2)cos2sin23124若3,3,2，cos()52則4，27，2sincos24，sin5cos22cos1sin22525因此)cos2sin217.f(225314。（2013·廣東高考文科·Ｔ16）已知函數(shù)f(x)2cos(x),xR．12求f( )的值；3（2)若cos33．,,2，求f526【解題指南】本題觀察利用三角函數(shù)引誘公式求值和三角恒等變換，特別要注意兩角和公式6學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精cos( )coscossinsin及二倍角公式的應(yīng)用?！酒饰觥?1)f32cos32cos1；124（2）因?yàn)閏os3,3,2，因此sin1cos24，525f=2cos42coscossinsincossin1．6445（2013·湖北高考文科·T18）與（2013·湖北高考理科·Ｔ17）相同在△ABC中，角A，B,C對應(yīng)的邊分別是a,b，c。已知cos2A3cos(BC)1。(Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若△ABC的面積S53，b5,求sinBsinC的值?！窘忸}指南】三角恒等變換求cosA，用面積公式和正，余弦定理求解。【剖析】(Ⅰ)由cos2A3cos(BC)1，得2cos2A3cosA20，即(2cosA1)(cosA2)0，解得cosA1或cosA2(舍去).2因?yàn)?A，因此Aπ3(Ⅱ）由S11bc33bc53,得bc20。又b5，知c4。bcsinA2422由余弦定理得a2b2c22bccosA25162021,故a21。又由正弦定理得bcbc22035.sinBsinCsinAsinA2sinA2147aaa16.（2013·湖南高考理科·Ｔ17）已知函數(shù)f(x)sin(x)cos(x，g(x)2sin2x。623（1）若是第一象限角，且f()33)的值；5.求g(（2）求使f(x)g(x)建立的x的取值會集?！窘忸}指南】第（1)問是利用兩角差的正余弦公式和降冪公式以及三角函數(shù)給值求值。第（2)問要結(jié)合已知關(guān)系,化簡后解三角不等式.【剖析】f(x)sin(x)cos(x)3sinx1cosx1cosx3sinx3sinx632222g(x)2sin2x1cosx.27學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精（1)由f()33，得sin3，由是第一象限角，因此cos0，從而55g()1cos11sin2141.55（2）f(x)g(x)等價于3sinx1cosx，即3sinxcosx1于是sin(x)1，從而2k6x62k5，k∈Z,626即2kx2k2（k）,故使f(x)g(x)建立的x的取值會集為3Zx|2kx2k2,kZ。317。（2013·湖南高考文科·Ｔ16）已知函數(shù)f(x)cosx?cos(x)）求f(23（I)的值;3（II）求使f(x)1的取值會集建立的x4【解題指南】本題需要熟練掌握三角引誘公式,特別角的三角函數(shù)值,三角恒等變換公式及三角函數(shù)性質(zhì)【剖析】(I）f(2)cos2cos3coscos313334f(x)cosxcos(x)cosx(133cosxsinx)22（II）1cos2x3sinxcosx1(1cos2x)3sin2x22441cos(2x)1234因?yàn)閒(x)1，因此1cos(2x3)11,即cos(2x)042443于是2k22x32k3,kZ,解得k5xk11,kZ.21212故所求x的取值會集是x|k5xk11,kZ121218.（2013·安徽高考理科·Ｔ16）已知函數(shù)f(x)4cosxsinx(0)的最小4正周期為。1）求的值；2）談?wù)揻(x)在區(qū)間0,2上的單調(diào)性.8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【解題指南】（1）將函數(shù)yf(x)化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式，利用最小正周乞求出的值。（2)依照三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)解答。【剖析】(1）f(x)4cosx.sin(x)22sinx.cosx22cos2x4=2（sin2x+cos2x）2=2sin(2x)+2,因?yàn)椋▁)的最小正周期為，且0,f4因此有π，故=1。2ω=π（2）由（1)知f(x)2sin(2x4)+2，若0x，則42x5，244當(dāng)42x4，即0x8時,f(x）單調(diào)遞加；2當(dāng)2x5，即x時,f（x)單調(diào)遞減。24482綜上所述，f（x）在區(qū)間[0,]上單調(diào)遞加，在區(qū)間[8，]上單調(diào)遞減。8219。（2013·安徽高考文科·Ｔ16）設(shè)函數(shù)f（x）=sinx+sin(x+3）.（Ⅰ）求f（x）的最小值,并求使f（x）獲取最小值的x的會集；（Ⅱ）不畫圖,說明函數(shù)y=f(x)的圖像可由y=sinx的圖像經(jīng)過怎樣的變化的獲取。【解題指南】將函數(shù)yf(x)化成一個角的三角函數(shù)的形式，依照三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)與三角函數(shù)圖像的變換解答.【剖析】（Ⅰ）因?yàn)閒(x)sinx1sinx3cosx3sinx3cosx2222=3sin）,因此當(dāng)x=2k,即x=2k2z）時，f（x)獲取最小值6623-3，此時