空間向量測(cè)試題

空間向量練習(xí)1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是A.B.C.D.2．若直線的一個(gè)方向向量，平面α的一個(gè)法向量為，則（）A.αB.//αC.αD.A、C都有可能3．以下四組向量中，互相平行的有（）組．（），．（），．（），．（），．A.一B.二C.三D.四4．若為平行四邊形，且，，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A.B.C.D.5．如上圖，向量，，的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則向量用基底，表示為()A.＋B.2－C.－2＋D.2＋6．已知A(4，6)，，有下列向量：①；②；③；④其中，與直線AB平行的向量()A.①②B.①③C.①②③D.①②③④7．已知三棱錐O-ABC，點(diǎn)M,N分別為AB,OC的中點(diǎn)，且OA=a,OB=b,OC=c，用A.12(bC.12(8．已知向量，使成立的x與使成立的x分別為（）A.B.-6C.-6,D.6,-9．若=(2，3)，=，且∥，則=（）A.6B.5C.7D.810．已知向量，以為鄰邊的平行四邊形的面積（）A.B.C.4D.811．如圖所示，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，則等于（）A.B.C.D.12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（）A.B.C.D.13．已知向量,且與互相垂直，則（）A.B.C.D.14．設(shè)一球的球心為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，球面上有兩個(gè)點(diǎn)A,B，其坐標(biāo)分別為(1,2,2)，(2,?2,1)，則|AB|=()A.18B.12C.15．已知A(2,5,-6)，點(diǎn)P在y軸上，|PAA.(0,8,0)B.(0,2,0)C.(16．與向量＝（0，2，－4）共線的向量是（）A．（2，0，－4）B．（3，6，－12）C．（1，1，－2）D．17．若向量，，則A．B．C．D．18．若向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0·SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<019．已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_________．20．在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為_(kāi)_______．21．如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，|DA|=8，|DC|=6，|DD122．點(diǎn)在坐標(biāo)平面xOz內(nèi)的投影點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____________；23．已知向量a=(1,1,0)，b=(?1,0,2)，且24．已知.25．若，，是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量，則．26．已知向量,,且，則的值為27．在空間坐標(biāo)系中，已知三點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），則平面ABC的單位法向量是．28．若向量，則_______________.29．如圖，在一個(gè)60°的二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，AC，BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB=4，AC=6，BD=8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)________。30．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，已知正方體的棱長(zhǎng)為2.（1）求正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求A131．（2023秋?河西區(qū)期末）已知．（1）若，求實(shí)數(shù)k的值（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．32．P是平面ABCD外的點(diǎn)，四邊形ABCD是平行四邊形，,求證垂直平面.33．長(zhǎng)方體中，（1）求直線所成角；（2）求直線所成角的正弦.34．（本大題12分）如圖，在棱長(zhǎng)為ɑ的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是CB、CD、CC1的中點(diǎn)．（1）求直線C與平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求證：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求證：平面AA1C⊥面EFG．FFGEC1D1A1B1DCAB35．如圖四棱錐中，，，是的中點(diǎn)，是底面正方形的中心，。（Ⅰ）求證：面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角。AABCDOES36．在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=B1B=1，M、N分別是AD、DC的中點(diǎn).（1）求證：MN//A1C1;（2）求：異面直線MN與BC1所成角的余弦值.37．（本小題滿分13分）已知是邊長(zhǎng)為1的正方體，求：（Ⅰ）直線與平面所成角的正切值；（Ⅱ）二面角的大?。?8．在邊長(zhǎng)是2的正方體-中，分別為的中點(diǎn).應(yīng)用空間向量方法求解下列問(wèn)題.（1）求EF的長(zhǎng)；（2）證明：平面；（3）證明:平面.參考答案1．A【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，選A.2．A【解析】直線的一個(gè)方向向量，平面α的一個(gè)法向量為且，即.所以α.故選A.3．B【解析】若與平行，則存在實(shí)數(shù)使得經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，只有，,兩組滿足條件。故答案選4．A【解析】設(shè)，∵．，在平行四邊形中，，∴①，又∵，，，∴②，聯(lián)立①②，解出：，，．故選．5．C【解析】以向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)，向量所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則。設(shè)，則，∴，解得，所以。選C。點(diǎn)睛：由平面向量基本定理可知，在確定了平面的基底后，平面內(nèi)的任一向量都可以用這組基底唯一表示，但并沒(méi)有給出分解的方法。常用的方法有兩種：（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將已知向量向著基底轉(zhuǎn)化；（2）先確定向量和基底的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法建立方程組，通過(guò)代數(shù)方法求解。6．C【解析】由題意可得。由向量共線的條件可以判斷向量與向量平行，即向量與直線AB平行。選C。7．D【解析】MN=8．A【解析】向量,若,則，解得.若，則，解得.故選A.9．C【解析】由∥，=(2，3)，=，得,解得.故選C.10．A【解析】由題意，，則，所以平行四邊形的面積為，故選A.11．B【解析】由題意，以為基底建立空間向量，則，故選B.12．A【解析】設(shè)所求點(diǎn)為，則，解得，故選A.13．B【解析】根據(jù)題意，，因?yàn)?，所以，則，即，故選14．C【解析】∵A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(1,2,2),B15．C【解析】依題意設(shè)P(0,b,0)，根據(jù)|PA|=22+(b-5)216．D【解析】試題分析：，所以向量與共線考點(diǎn)：向量共線17．D【解析】試題分析：因?yàn)橄蛄?，，所以，排除B；，所以，應(yīng)選D．，A錯(cuò)，如果則存在實(shí)數(shù)使，顯然不成立，所以答案為D．考點(diǎn)：向量的有關(guān)運(yùn)算．18．B【解析】試題分析：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所以考點(diǎn)：本小題注意考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算.點(diǎn)評(píng)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，難度一般較低，靈活運(yùn)用公式計(jì)算即可.19．【解析】中點(diǎn)為．20．(a，b，c)【解析】∵在如圖所示的長(zhǎng)方體中，已知∴可以得知，又∵長(zhǎng)方體，∴可以得知的坐標(biāo)為故答案為．21．(4,3,3)34【解析】由圖可知：D1M為D1B1由兩點(diǎn)間距離公式有：DM=故答案為：4,3,3,.22．【解析】設(shè)所求的點(diǎn)為Q（x，y，z），P、Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)相等，而縱坐標(biāo)為0，即x=2，y=0，z=3，得Q坐標(biāo)為（）23．7【解析】由已知，據(jù)向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得ka+b=(k?1,k,2)，2a-b=24．【解析】試題分析：有已知可得考點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算25．2：3：（-4）【解析】試題分析：由得因?yàn)闉槠矫娴姆ㄏ蛄?，則有，即由向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則有解得所以故正確答案為考點(diǎn)：空間向量的法向量．26．5【解析】試題分析：由題可知：，且，有，即m=5．考點(diǎn)：空間向量垂直的充要條件27．.【解析】試題分析：三點(diǎn)A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），所以=（-1，1，0）,=（-1，0，1）,令平面ABC的法向量為=（x，y，z），可得，即，∴x=y=z∵平面ABC的法向量為=（x，y，z）為單位法向量，，解得x=y=z=,故平面ABC的單位法向量是.考點(diǎn)：平面的法向量．28．4【解析】試題分析：因?yàn)?，所?=4.考點(diǎn)：本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算。點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算要細(xì)心。29．【解析】∵在一個(gè)60°的二面角的棱上，有兩個(gè)點(diǎn)A、B，AC、BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，故答案為30．（1）詳見(jiàn)解析；（2）23【解析】試題分析：（1）根據(jù)空間坐標(biāo)系的定義，易得各點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）要求空間中兩點(diǎn)的距離，可直接利用空間兩點(diǎn)的距離公式d=(試題解析：（1）正方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)如下：A1（2）解法一：|A解法二：∵|A在Rt△AA1∴|AC31．（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的共線定理，列出方程求出k的值；（2）根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為0，列出方程求出k的值．解：（1）∵，∴；又，∴，解得；（2）∵且，∴，即7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，解得．考點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算．32．【解析】證明：垂直于,即垂直于.垂直于,即垂直于.垂直平面.33．（1）直線所成角為90°；（2）?！窘馕觥吭囶}分析：以D為原點(diǎn)建系1分（1）3分直線所成角為90°5分（2）7分9分所求角的正弦值為10分考點(diǎn)：立體幾何中的角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用。點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問(wèn)題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題。34．（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析?！窘馕觥吭囶}分析：(1)因?yàn)槠矫鍭BCD,所以為與平面ABCD所成角,然后解三角形求出此角即可.（2）證明面面平行根據(jù)判定定理只須證明平面平面AB1D1內(nèi)兩條相交直線和分別平行于平面EFG即可.在證明線面平行時(shí)又轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(3)易證：BD平面AA1C，再證明EF//BD，因而可證出平面AA1C⊥面EFG.（1）∵平面ABCD=C，在正方體ABCD-A1B1C1D1平面ABCD∴AC為在平面ABCD的射影∴為與平面ABCD所成角……….2分正方體的棱長(zhǎng)為∴AC=，=………..4分（2）在正方體ABCD-A1B1C1D1連接BD，∥，=為平行四邊形∴∥∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)∴EF∥BD∴EF∥…………3分∵EF平面GEF，平面GEF∴∥平面GEF…………7分同理∥平面GEF∵=∴平面AB1D1∥平面EFG……………9分（3）在正方體ABCD-A1B1C1D1∴平面ABCD∵EF平面ABCD∴EF…………10分∵ABCD為正方形∴ACBD∵EF∥BD∴ACEF………..11分∴EF平面AA1C∵EF平面EFG∴平面AA1C⊥面EFG…………….12分.考點(diǎn)：斜線與平面所成的角，線面垂直，面面垂直，面面平行的判定.點(diǎn)評(píng)：斜線與平面所成的角就是斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角，因而關(guān)鍵是找到它在這個(gè)平面內(nèi)的射影.面面垂直（平行）證明要轉(zhuǎn)化為證明線面垂直（平行）再轉(zhuǎn)化為線線垂直（平行）.35．（Ⅰ）證明：；3分（Ⅱ）解：所以是與面所成角。3分在中，所以，又，所以EO與平面所成的角為?！窘馕觥柯?．（1）連結(jié)AC，M、N分別為AD、DC中點(diǎn)MN//AC且AC//A1C1，AC=A1C1MN//A1C1（2）連結(jié)A1B，由（1）知A1C1B為所求角A1B=A1C1=，BC1=由余弦定理得A1C1B==【解析】略37．（Ⅰ）；（Ⅱ）60°【解析】試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)其為正方體得到∠C1AB1就是AC1與平面AA1B1B所成的角；然后在RT△C1AB1中求其正切即可；（Ⅱ）先過(guò)B1作B1E⊥BC1于E，過(guò)E作EF⊥AC1于F，連接B1F；根據(jù)AB⊥平面B1C1CB推得B1