2022-2023學年天津市河西區(qū)達標名校數(shù)學高一上期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．若：，則成立的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.2．已知直線與直線平行，則的值為A.1 B.3C.－1或3 D.－1或13．已知函數(shù)f(x)＝|lnx|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．設函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}，則函數(shù)h(x)的零點個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.44．已知集合，，若，則A. B.C. D.5．設集合，3，，則正確的是A.3， B.3，C. D.6．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過20的素數(shù)中，隨機選取2個不同的數(shù)，其和等于20的概率是（）【注：如果一個大于1的整數(shù)除了1和自身外無其它正因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù)．】A. B.C. D.7．設，，，則有（）A. B.C. D.8．設命題：，則的否定為（）A. B.C. D.9．已知則當最小時的值時A.﹣3 B.3C.﹣1 D.110．已知角的終邊與單位圓的交點為，則（）A. B.C. D.11．如圖所示，將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角，使得∠B′AC＝60°．那么這個二面角大小是（）A.30° B.60°C.90° D.120°12．的弧度數(shù)是（）A. B.C. D.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知函數(shù)的圖象恒過定點，若點也在函數(shù)的圖象上，則_________14．函數(shù)的最小值為__________15．已知一個扇形的面積為，半徑為，則其圓心角為___________.16．各條棱長均相等的四面體相鄰兩個面所成角的余弦值為___________.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．設函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的零點；（2）當時，判斷的奇偶性并給予證明；（3）當時，恒成立，求m的最大值.18．定義在上奇函數(shù)，已知當時，求實數(shù)a的值；求在上的解析式；若存在時，使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍19．某校高一（1）班共有學生50人,據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是元,經(jīng)測算和市場調(diào)查,若該班學生集體改飲某品牌的桶裝純凈水,則年總費用由兩部分組成：一部分是購買純凈水的費用,另一部分是其他費用780元,其中純凈水的銷售價（元/桶）與年購買總量（桶）之間滿足如圖所示的關系.（Ⅰ）求與的函數(shù)關系；（Ⅱ）當為120時,若該班每年需要純凈水380桶,請你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料相比,哪一種花錢更少？20．已知，函數(shù).（Ⅰ）當時，解不等式；（Ⅱ）若關于的方程的解集中恰有一個元素，求的取值范圍；（Ⅲ）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于，求的取值范圍.21．觀察下列各等式：，，.（1）請選擇其中的一個式子，求出a的值；（2）分析上述各式的特點，寫出能反映一般規(guī)律的等式，并進行證明.22．計算題

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、C【解析】根據(jù)不等式的解法求得不等式的解集，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，不等式，可得，解得，結合選項，不等式的一個充分不必要條件是.故選：C.2、A【解析】因為兩條直線平行,所以：解得m=1故選A.點睛:本題主要考查直線的方程，兩條直線平行與斜率的關系，屬于簡單題.對直線位置關系的考查是熱點命題方向之一，這類問題以簡單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關系：在斜率存在的前提下，（1）,需檢驗不重合；（2），這類問題盡管簡單卻容易出錯，特別是容易遺忘斜率不存在的情況，這一點一定不能掉以輕心.3、C【解析】畫圖可知四個零點分別為－1和3，和e，但注意到f(x)的定義域為x>0，故選C.4、A【解析】利用兩個集合的交集所包含的元素，求得的值，進而求得.【詳解】由于，故，所以，故，故選A.【點睛】本小題主要考查兩個集合交集元素的特征，考查兩個集合的并集的概念，屬于基礎題.5、D【解析】根據(jù)集合的定義與運算法則，對選項中的結論判斷正誤即可【詳解】解：集合，3，，則，選項A錯誤；2，3，，選項B錯誤；，選項C錯誤；，選項D正確故選D【點睛】本題考查了集合的定義與運算問題，屬于基礎題6、A【解析】隨機選取兩個不同的數(shù)共有種，而其和等于20有2種，由此能求出隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率【詳解】在不超過20的素數(shù)中有2，3，5，7，11，13，17，19共8個，隨機選取兩個不同的數(shù)共有種，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20有2種，分別為（3,17）和（7,13），故可得隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率，故選：7、C【解析】利用和差公式，二倍角公式等化簡，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，，，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以由三角函數(shù)線知：，，因為，所以，所以故選：C.8、B【解析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因為命題：，所以的否定：，故選：B【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，是基礎題.9、B【解析】由題目已知可得：當時，的值最小故選10、A【解析】利用三角函數(shù)的定義得出和的值，由此可計算出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義得，，因此，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查計算能力，屬于基礎題.11、C【解析】根據(jù)折的過程中不變的角的大小、結合二面角的定義進行判斷即可.【詳解】因為AD是等腰直角△ABC斜邊BC上的高，所以，因此是二面角的平面角，∠B′AC＝60°．所以是等邊三角形，因此，在中.故選：C【點睛】本題考查了二面角的判斷，考查了數(shù)學運算能力，屬于基礎題.12、C【解析】弧度，弧度，則弧度弧度，故選C.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】根據(jù)對數(shù)過定點可求得，代入構造方程可求得結果.【詳解】，，，解得：.故答案為：.14、【解析】所以，當，即時，取得最小值.所以答案應填：.考點：1、對數(shù)的運算；2、二次函數(shù)的最值.15、【解析】結合扇形的面積公式即可求出圓心角的大小.【詳解】解：設圓心角為，半徑為，則，由題意知，，解得，故答案為:16、【解析】首先利用圖像作出相鄰兩個面所成角，然后利用已知條件求出正四面體相鄰兩個面所成角的兩邊即可求解.【詳解】由題意，四面體為正三棱錐，不妨設正三棱錐的邊長為，過作平面，垂足為，取的中點，并連接、、、，如下圖：由正四面體的性質(zhì)可知，為底面正三角形的中心，從而，，∵為的中點，為正三角形，所以，，所以為正四面體相鄰兩個面所成角∵，∴易得，，∵平面，平面，∴，故.故答案為：.三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）﹣3和1（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）3【解析】（1）令求解；（2）由（1）得到，再利用奇偶性的定義判斷；（3）將時，恒成立，轉化為，在上恒成立求解.【小問1詳解】解：當時，由，解得或，∴函數(shù)的零點為﹣3和1；【小問2詳解】由（1）知，則，由，解得，故的定義域關于原點對稱，又，，∴，∴是上的奇函數(shù).【小問3詳解】∵，且當時，恒成立，即，在上恒成立，∴，在上恒成立，令，易知在上單調(diào)遞增∴，∴，故m的最大值為3.18、（1）；（2）；（3）.【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得，解可得的值，驗證即可得答案；當時，，求出的解析式，結合函數(shù)的奇偶性分析可得答案；根據(jù)題意，若存在，使得成立，即在有解，變形可得在有解設，分析的單調(diào)性可得的最大值，從而可得結果【詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，得經(jīng)檢驗滿足題意；故；根據(jù)題意，當時，，當時，，又是奇函數(shù)，則綜上，當時，；根據(jù)題意，若存在，使得成立，即在有解，即在有解又由，則在有解設，分析可得上單調(diào)遞減，又由時，，故即實數(shù)m的取值范圍是【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性的應用，以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用，屬于綜合題19、（Ⅰ）;（Ⅱ）該班學生集體改飲桶裝純凈水花錢更少.【解析】(Ⅰ)根據(jù)題意設出直線方程,再代入圖示數(shù)據(jù),即可得出與的函數(shù)關系;(Ⅱ)分別求出兩種情形下的年花費費用,進行比較即可.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)題意,可設,時,;時,,,解得,所以與的函數(shù)關系為:;(Ⅱ)該班學生購買飲料的年費用為(元),由(Ⅰ)知,當時,,故該班學生購買純凈水的年費用為:(元),比購買飲料花費少,故該班學生集體改飲桶裝純凈水花錢更少.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選取及實際應用,屬于簡單題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）當時，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，直接解不等式即可；（Ⅱ）化簡關于的方程，通過分離變量推出的表達式，通過解集中恰有一個元素，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求的取值范圍；（Ⅲ）在上單調(diào)遞減利用復合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，令，化簡不等式，轉化求解不等式的最大值，然后推出的范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，∴，整理得，解得．所以原不等式的解集為.（Ⅱ）方程，即為，∴，∴，令，則，由題意得方程在上只有一解,令,,轉化為函數(shù)與的圖象在上只有一個交點.則分別作出函數(shù)與的圖象，如圖所示結合圖象可得，當或時，直線y=a和的圖象只有一個公共點，即方程只有一個解所以實數(shù)范圍為.（Ⅲ）因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以由題意得，所以恒成立，令，所以恒成立，因為在上單調(diào)遞增，所以∴，解得，又，∴所以實數(shù)的取值范圍是.【點睛】解答此類題時注意以下幾點：（1）對于復合函數(shù)的單調(diào)性，可根據(jù)“同增異減”的方法進行判斷；（2）已知方程根的個數(shù)（函數(shù)零點的個數(shù)）求參數(shù)范圍時，可通過解方程的方法求解，對于無法解方程的，可通過分離、構造函數(shù)的方法轉化為函數(shù)圖象公共點個數(shù)的問題處理（3）解不等式的恒成立問題時，通常采取分離參數(shù)的方法，將問題轉化為求函數(shù)的最值的問題21、（1）（2）證明見詳解【解析】（1）利用第三個式子，結合特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可；（2）用兩角和正弦公式展開，代入化簡，結合，即得解【小問1詳解】由題意，【小問2詳解】根據(jù)題干中各個式子的特點，猜想等式：證明：左邊即得證22、2【解