自動控制原理胡壽松第四章根軌跡法(“軌跡”文檔)共80張

4-1根軌跡法的基本概念4.1.1根軌跡

反饋控制系統(tǒng)的性質(zhì)取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)。只要求解出閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，系統(tǒng)響應(yīng)的變化規(guī)律就知道了。但是對于3階以上的系統(tǒng)求根比較困難。如果系統(tǒng)中有一個可變參數(shù)時，求根就更困難了。

1948年，伊凡思提出了一種確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法——根軌跡法。在已知開環(huán)零極點分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)某些參數(shù)變化時，利用該圖解法可以非常方便的確定閉環(huán)極點。

定義：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從0時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上的變化軌跡，就稱作系統(tǒng)根軌跡。一般取開環(huán)傳遞系數(shù)（根軌跡增益Kg）作為可變參數(shù)。解：三個開環(huán)極點4）在一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點之間若有根軌跡，該段無分離點或分離點成對出現(xiàn)。當(dāng)Kg=30時，s1行全零，勞斯表第一列不變號，系統(tǒng)存在共軛虛根。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。證明：根軌跡在s平面上相遇，說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)，設(shè)s=d處為分離點。式中，k=0，±1，±2，…（全部整數(shù)）。2）由于根軌跡是對稱的，所以分離點或位于實軸上，或以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上；方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)=0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點坐標(biāo)。D根軌跡分析方法：閉環(huán)零極點確定，開環(huán)零極點對根軌跡的影響p170；4-1根軌跡法的基本概念a=π/3，5π/3，π。第四章根軌跡分析法繪制根軌跡，或利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)性能分析時，可利用該法則。Kgs1，s2。（2）每條分支的起點(Kg=0)位于開環(huán)極點處；解：（1）b→∞,a為有限量時，式中，K為系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)。Kg

=2K稱為系統(tǒng)的開環(huán)根軌跡增益。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：舉例說明：已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析0<K<

，閉環(huán)特征根在s平面上的移動路徑及其特征。

Ks(0.5s+1)﹣+R(s)C(s)

解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一定要寫成零極點表達(dá)式

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：s2+2s+Kg

=0

求得閉環(huán)特征根為：(1)Kg=0：s1=0,s2=2,是根跡的起點(開環(huán)極點),用“”表示。2

j

01(2)0<Kg<1：s1，s2均是負(fù)實數(shù)。Kgs1，s2。

s1從坐標(biāo)原點開始沿負(fù)實軸向左移動；s2從（2，j0）點開始沿負(fù)實軸向右移動。(3)

Kg=1：s1=s2=1，重根。閉環(huán)特征根s1，s2是Kg函數(shù)，

隨著Kg的改變而變化。(4)

Kg>1：Kg=0Kg=0Kg=1KgKg

根據(jù)2階系統(tǒng)根軌跡的特點，可以推得n階系統(tǒng)，會有如下的結(jié)論：（1）n階系統(tǒng)有n個根，根軌跡有n條分支；（2）每條分支的起點(Kg=0)位于開環(huán)極點處；（3）各分支的終點(Kg)或為開環(huán)零點處或為無限點；（4）重根點，稱為分離點或匯合點。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg根軌跡與系統(tǒng)性能1.穩(wěn)定性當(dāng)Kg從0時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入s右半平面，因此二階系統(tǒng)對所有的Kg值都是穩(wěn)定的。

如果高階系統(tǒng)的根軌跡有可能進(jìn)入s右半平面，此時根跡與虛軸交點處的Kg值，成為臨界開環(huán)增益。2.穩(wěn)態(tài)性能

開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點有一個極點，系統(tǒng)屬于1型系統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的Kg值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。如果給定系統(tǒng)對ess

有要求，則對Kg有要求，由根跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg2

j

01Kg=0Kg=0Kg=1KgKg3.動態(tài)性能由圖可見，當(dāng)0<Kg<1時，閉環(huán)極點均位于負(fù)實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。

當(dāng)Kg=1時，閉環(huán)兩個實極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為非周期過程。當(dāng)Kg>1時，閉環(huán)極點為一對共軛復(fù)數(shù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應(yīng)為阻尼振蕩過程。4.1.2根軌跡方程

研究下圖所示反饋控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)R(s)C(s)±+H(s)該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為:D(s)=1±

G(s)H(s)=0或G(s)H(s)=±1若將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成如下形式：一定要寫成零極點表達(dá)式

式中Kg為系統(tǒng)的根跡增益，zi為系統(tǒng)的開環(huán)零點，pj為系統(tǒng)的開環(huán)極點。上述方程又可寫為：

“-”號，對應(yīng)負(fù)反饋，“+”號對應(yīng)正反饋。由于滿足上式的任何s都是系統(tǒng)的閉環(huán)極點，所以當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如Kg在某一范圍內(nèi)連續(xù)變化時，由上式制約的s在s平面上描畫的軌跡就是系統(tǒng)的根軌跡。因此上式稱之為系統(tǒng)的根軌跡方程。根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅角方程：式中，k=0，±1，±2，…（全部整數(shù)）。（4-6）通常稱為180

根軌跡；（4-7）稱作0根軌跡。

根據(jù)這兩個條件，可完全確定s平面上根軌跡及根軌跡上任一點對應(yīng)的Kg值。幅角條件是確定s平面上根軌跡的充要條件，因此，繪制根軌跡時，只需要使用幅角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點的Kg值時，才使用幅值條件?！?”號，對應(yīng)負(fù)反饋“+”號對應(yīng)正反饋

下面看看怎樣按上式表示的幅值條件和幅角條件繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖。已知負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)零極點分布如圖示。p2p3

j

0p1z1s11123

在s平面找一點s1

，畫出各開環(huán)零、極點到s1點的向量。

檢驗s1是否滿足幅角條件：(s1z1)[(s1p1)+(s1p2)+(s1p3)]=1

123=(2k+1)？？

如果s1點滿足幅角條件，則是根軌跡上的一點。尋找在s平面內(nèi)滿足幅角條件的所有s1點，將這些點連成光滑曲線，即是閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡。

在1948年，伊凡思（）提出了用圖解法繪制根跡的一些基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，在根軌跡草圖的基礎(chǔ)上，必要時可用幅角條件使其精確化，從而使整個根規(guī)跡的繪制過程大為簡化。4-2繪制系統(tǒng)根軌跡的基本法則4.2.1繪制180o根軌跡的基本法則法則1

根軌跡的連續(xù)性

由于根軌跡增益是連續(xù)的，根也是連續(xù)的，根軌跡當(dāng)然也是連續(xù)的。利用這一性質(zhì)，只要精確畫出幾個特征點，描點連線即可畫出整個根軌跡。180o根軌跡的幅值方程：根軌跡的幅角方程：

在下面的討論中，假定系統(tǒng)變化的參數(shù)是開環(huán)根軌跡增益Kg，這種根軌跡習(xí)慣上稱之為常規(guī)根軌跡。繪制常規(guī)根軌跡的基本方法如下：法則2

根軌跡的對稱性

由于閉環(huán)特征根是實數(shù)或者共軛復(fù)數(shù)，因此根軌跡是關(guān)于實軸對稱的。利用這一性質(zhì)，只要繪制出實軸上部的根軌跡，實軸下部的根軌跡可由對稱性繪出。法則3

根軌跡的條數(shù)n階系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程有n個根。當(dāng)Kg從0連續(xù)變化時，n個根將繪出有n條軌跡分支。因此根軌跡的條數(shù)或分支數(shù)等于其閉環(huán)特征根的個數(shù)，即系統(tǒng)的階數(shù)。

j

0K=0K=0KK0j

0jKgKgKg0

j

0

j-1-2j1法則4

根軌跡的起點和終點

根軌跡起始于系統(tǒng)開環(huán)極點，終止于系統(tǒng)開環(huán)零點。根軌跡上Kg=0的點為起點，Kg時的點為終點。1+G(s)H(s)=0證明：

當(dāng)Kg=0時，有

s=pj(j=1,2,…,n)

上式說明Kg=0時，閉環(huán)特征方程的根就是開環(huán)極點。

當(dāng)Kg時，有

s=zi(i=1,2,…,m)

所以根軌跡必終止于開環(huán)零點。在實際系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中mn，有m條根軌跡終點為開環(huán)零點處，另有nm條根軌跡的終點將在無窮遠(yuǎn)處，可以認(rèn)為有nm

個無窮遠(yuǎn)處的開環(huán)零點。

將特征方程改寫為：法則5

根軌跡的漸近線

根據(jù)法則4，當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中m<n時，將有nm條根軌跡分支沿著與實軸夾角為a，交點為a的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,nm1)法則6

實軸上的根軌跡分布

實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。“奇是偶不是”證明：設(shè)零、極點分布如圖示：p2p3

j

0p1z1s111=023

在實軸上取一測試點s1

。

由圖可見，復(fù)數(shù)共軛極點到實軸s1點的向量幅角和為2，復(fù)數(shù)共軛零點如此。因此在確定實軸上的根軌跡時，可以不考慮復(fù)數(shù)零、極點的影響。

s1點左邊開環(huán)實數(shù)零、極點到s1點的向量幅角均為零，也不影響實軸上根軌跡的幅角條件。而s1點右邊開環(huán)實數(shù)零、極點到s1點的向量幅角為。如果s1是根軌跡，則只有當(dāng)零極點數(shù)目之和為奇數(shù)時，才滿足幅角條件：ji

=(2k+1)即如果s1所在的區(qū)域為根軌跡，其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和必須為奇數(shù)。p2p3

j

0p1z1s111=023例4-1

設(shè)某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定系統(tǒng)根軌跡條數(shù)、起點和終點、漸近線及根軌跡在實軸上的分布。

解：開環(huán)極點p1=0、p2=1、p3=5。系統(tǒng)的根軌跡有三條分支，分別起始于系統(tǒng)的三個有限的開環(huán)極點，由于不存在有限的開環(huán)零點，當(dāng)Kg時，沿著三條漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處；三條漸近線在實軸上的交點0

j

實軸上的根軌跡分布在(0，1)和(5，)的實軸段上。60三條漸近線與正實軸上間的夾角：-2法則7根軌跡分離點和會合點

兩條或兩條以上的根軌跡在s平面上相遇后立即分開的點，稱為根軌跡的分離點(會合點)。0

jz1j1Ap1p2KgKgKg=0Kg=0分離點的性質(zhì)：

1）分離點是系統(tǒng)閉環(huán)重根；

2）由于根軌跡是對稱的，所以分離點或位于實軸上，或以共軛形式成對出現(xiàn)在復(fù)平面上；

3）實軸上相鄰兩個開環(huán)零（極）點之間（其中之一可為無窮零（極）點）若為根軌跡，則必有一個分離點；

4）在一個開環(huán)零點和一個開環(huán)極點之間若有根軌跡，該段無分離點或分離點成對出現(xiàn)。

j

0

證明：根軌跡在s平面上相遇，說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)，設(shè)s=d處為分離點。確定分離點位置的方法（均需驗證）：式中，zi、pj是系統(tǒng)的有限開環(huán)零點和開環(huán)極點。

分離點上，根軌跡的切線與正實軸的夾角稱為根軌跡的分離角，用下式計算：k為分離點處根軌跡的分支數(shù)。法一：重根法（極值法）法二：公式法設(shè)分離點的坐標(biāo)為d，則d滿足如下公式：牢記！[證畢]例4-2

求例4-1系統(tǒng)根軌跡的分離點。

解：根據(jù)例4-1，系統(tǒng)實軸上的根軌跡段（1，0），位于兩個開環(huán)極點之間，該軌跡段上必然存在根軌跡的分離點。設(shè)分離點的坐標(biāo)為d，則3d2+12d+5=0

d1=d2=

3.53(不在根軌跡上，舍去，也可代入幅值方程看Kg>0否？)分離點上根軌跡的分離角為±90°。0j

如果方程的階次高時，可用試探法確定分離點。d1=

例4-3

已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的根軌跡。解：0jd=2.5左=0.67右=d=2.01左=0.99右=d=2.25左=0.8右=d=2.47左=0.68右=d=法則8根軌跡與虛軸交點若根軌跡與虛軸相交（臨界穩(wěn)定狀態(tài)），則交點上的坐標(biāo)（包括閉環(huán)極點和臨界增益）可按下述兩種方法求出：

方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)=0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點坐標(biāo)。

方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。例4-5

求例4-1系統(tǒng)的根軌跡與s平面虛軸的交點的交點坐標(biāo)。解：方法一：s3+6s2+5s+Kg=0令s=jω，則

(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0ω3+5ω=06ω2+Kg=0Kg=0(起點，舍去)，Kg=30方法二：s3+6s2+5s+Kg=0勞斯表為s315s26Kgs1(30

Kg)/6s0Kg

當(dāng)Kg=30時，s1行全零，勞斯表第一列不變號，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求出：

6s2+Kg=0(jω)3+6(jω)2+5(jω)+Kg=0

0

j

d=

Kg=30KgKgKgjKg=30若將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)寫成如下形式：s22Kg經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為“奇是偶不是”于是，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為[證畢]3d2+12d+5=0開環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點有一個極點，系統(tǒng)屬于1型系統(tǒng)，因而根規(guī)跡上的Kg值就是靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv。（4）快速性：遠(yuǎn)離虛軸，或存在閉環(huán)偶極子如果s1是根軌跡，則只有當(dāng)零極點數(shù)目之和為奇數(shù)時，才滿足幅角條件：經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為過程中可以根據(jù)特征點確定搜索范圍。(s1z1)[(s1p1)+(s1p2)+(s1p3)]法則9

根軌跡的出射角與入射角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸方向的夾角，稱為出射角(起始角)，用

根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸方向的夾角，稱為入射角(終止角)，用

表示；求出這些角度可按如下關(guān)系表示。

證明：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點px,x+1

。在十分靠近待求起始角的復(fù)數(shù)極點px的根軌跡上取一點s1

。“π加零去余極”“π加極去余零”pxPx+1

j

0s1

由于s1無限接近px，因此，除px外，所有其它開環(huán)零、極點到s1點的向量幅角，都可以用它們到px的向量幅角來代替，而px到s1點的向量幅角即為起始角。根據(jù)s1點必滿足幅角條件，應(yīng)有移項后，立即得到法則中的公式。

[證畢]0

j-1-2j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：例4-4

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為起始角與終止角123132=180+1+2+31

23=180+19+59

37

90=790

j-1-2j1=180

117

90+153+119+121=149.5試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：三個開環(huán)極點

p1=0、p2,3=1±j

漸近線：

3條0

j例4-6設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

根軌跡與虛軸交點：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

s3+2s2+2s+Kg=0

勞斯表s312s22Kgs1(4

Kg)/2s0Kg

令s1系數(shù)為0，得Kg=4代入輔助方程2s2+Kg=0

實軸上根軌跡：(，0)，即整個負(fù)實軸。出射角：繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖所示。0

j12KgKgKgjKg=4-45°法則10閉環(huán)極點的和與積繪制根軌跡，或利用根軌跡進(jìn)行系統(tǒng)性能分析時，可利用該法則。若開環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即nm

2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于其開環(huán)極點之和。證明：式中(韋達(dá)定理)根據(jù)高階方程系數(shù)與根的關(guān)系式，若nm

2，則

利用上述基本法則，可以迅速繪制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡草圖，對需要準(zhǔn)確繪制的根軌跡，可根據(jù)幅角方程條件使其精確化，一般而言，靠近虛軸或原點附件的根軌跡對分析系統(tǒng)的性能至關(guān)重要，應(yīng)盡可能的準(zhǔn)確繪制。[證畢]

-a1稱為系統(tǒng)閉環(huán)極點或開環(huán)極點的重心。表明當(dāng)Kg變化時，一些根增大時，另一些必然減?。患匆恍└壽E右行，一些必然左行，重心保持不變。

1）根的分量之和是一個與Kg無關(guān)的常數(shù)；

2）各分支要保持總和平衡，走向左右對稱。試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。

解：例4-7

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為一定要寫成零極點表達(dá)式0

j-1-2j1d=0.59(舍去)

d=3.41

結(jié)論：由兩個極點和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數(shù)極點之間，當(dāng)K從0時，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點為半徑的一個圓，或圓的一部分。d

0

j-1-4-2

j1試?yán)L制出系統(tǒng)的根軌跡。解：

例4-8

設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為漸近線：a=2

a=45,135分離點：d=2

d=2j與虛軸交點：Kg=260s=j4.2.20根軌跡的基本法則此時研究正反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征方程式為

D(s)=1G(s)H(s)=0或此時的根軌跡稱為0根軌跡。根軌跡的幅角方程：根軌跡的幅值方程：繪制0根軌跡的基本法則如下：法則1

根軌跡的連續(xù)性同180根軌跡。法則2

根軌跡的對稱性同180根軌跡。法則3

根軌跡的條數(shù)同180根軌跡。法則4根軌跡的起點(Kg=0)和終點(Kg)

同180根軌跡。

顯然0根軌跡的幅值方程與180根軌跡的完全相同，只是幅角相差一個π，因此只要把180根軌跡法則中，與幅角相關(guān)的項進(jìn)行修正，即可獲得繪制0根軌跡的基本法則。法則5

根軌跡的漸近線。當(dāng)開環(huán)傳函中m<n時，有nm條根軌跡分支沿著與實軸夾角為a，交點為a的一組漸近線趨于無窮遠(yuǎn)處，且有：(k=0,1,…,nm1)法則6實軸上的根軌跡。實軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實數(shù)零、極點個數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡?！芭际瞧娌皇恰狈▌t7根軌跡分離點或會合點同180根軌跡。法則8根軌跡與虛軸交點的確定方法同180根軌。但要注意：D(s)=1-G(s)H(s)=0

若根軌跡與虛軸相交，則交點上的坐標(biāo)可按下述兩種方法求出：

方法一：在系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(s)

=

0中，令s=jω，D(jω)=0的解即是交點坐標(biāo)。方法二：由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求出。法則10閉環(huán)極點的和與積

若開環(huán)傳函分母階次n比分子階次m高2次或2次以上，即nm

2，則系統(tǒng)閉環(huán)極點之和等于其開環(huán)極點之和。

1）根的分量之和是一個與Kg無關(guān)的常數(shù)；

2）各分支要保持總和平衡，走向左右對稱。法則9

根軌跡的出射角與入射角“0加零去余極”“0加極去余零”例4－5設(shè)單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制根軌跡。解：按0根軌跡的法則繪制。有2個開環(huán)極點：-2，-4；1個開環(huán)零點：-1。m=1,n=2

根據(jù)法則1和2：根軌跡是關(guān)于實軸對稱的連續(xù)曲線。根據(jù)法則3和4：根軌跡有2條分支，起始于2個極點，1條終止于開環(huán)零點，1條終止于無窮遠(yuǎn)處。根據(jù)法則5，根軌跡有1條漸近線。0

j-1-2Aj1.414-4d2d1根據(jù)法則6和7，實軸上的根軌跡為存在2個分離點，由下式求得分離角＝±90°根據(jù)法則8，求根軌跡與虛軸的交點0

j-1-2Aj1.414-4d2d1

根據(jù)上述結(jié)論，可繪制出根軌跡如圖所示，箭頭為kg增大的方向。4.2.3參變量系統(tǒng)的根軌跡設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)=GH(s,X)X為系統(tǒng)的參變量。則系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為D(s)=1±G(s)H(s)=1±GH(s,X)=0可整理為

式中，GH’(s)為等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。根軌跡化為常規(guī)根軌跡或0根軌跡。例4-9

已知某負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制參數(shù)a從零變化到正無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解:系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3

+s2+s+a=0于是，等效系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為把a視為根跡增益，可繪制出a變化時系統(tǒng)的常規(guī)根軌跡。0

j0.51漸近線：σa=1/3a=π/3，5π/3，π。根軌跡與虛軸的交點:a=1s=j/2a

ja

=1分離點：

d1=1/6,d2=1/2。a試確定系統(tǒng)根軌跡的類型。

解：系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)都在s平面右半部具有一個開環(huán)零點z=1。所以，系統(tǒng)均屬非最小相位系統(tǒng)。4.2.4非最小相位系統(tǒng)的根軌跡

在s平面右半部具有開環(huán)零點和（或）極點的反饋系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。繪制方法同最小相位系統(tǒng)，但必須將開環(huán)傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后才能確定按180根軌跡還是0根軌跡的法則繪制。例4-10設(shè)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其根軌跡方程為可按180o根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對系統(tǒng)(2)，其閉環(huán)特征方程為此時按0o根軌跡的基本法則繪制系統(tǒng)的根軌跡。對系統(tǒng)(1)，其閉環(huán)特征方程為4-3控制系統(tǒng)的根軌跡分析方法閉環(huán)零點和閉環(huán)極點的確定

只要求出系統(tǒng)的閉環(huán)零極點，就知道系統(tǒng)的響應(yīng)，就可實現(xiàn)對系統(tǒng)的性能分析。

1.由開環(huán)傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)的閉環(huán)零點考查圖4-6所示的反饋控制系統(tǒng)。設(shè)

首先繪制出根軌跡，然后在根軌跡圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，計算系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，也可進(jìn)行系統(tǒng)綜合或校正。本節(jié)只討論在根軌跡分析中應(yīng)注意的問題。zi、pj、KGg分別是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù)G(s)的零點、極點和根軌跡增益。zk、pl、KHg分別是系統(tǒng)反饋通道傳遞函數(shù)H(s)的零點、極點和根軌跡增益。于是，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

比較上兩式，即有如下結(jié)論：

1)系統(tǒng)的閉環(huán)零點由其前向通道G(s)的零點(m1個)和其反饋通道H(s)的極點(n2個)兩部分組成。對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)=1,閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。

2)系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其前向通道的根軌跡增益。對于單位反饋系統(tǒng)，系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡增益等于其開環(huán)根軌跡增益。

設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)零點、極點和根軌跡增益分別為zj、si和KΦg，則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為2.應(yīng)用試探法確定系統(tǒng)的閉環(huán)極點

根據(jù)開環(huán)零極點，沒有固定的規(guī)律求出閉環(huán)極點，在某一確定的Kg下的閉環(huán)極點，可以由幅值方程試探確定：在根軌跡上取一試探s1

代入已知增益下的幅值方程，成立則是，得到幾個后，可以根據(jù)法則10求出另外一些。過程中可以根據(jù)特征點確定搜索范圍。比較麻煩，精度受限制，往往需借助于MATLAB等仿真工具。

例4－8P1724.3.2.閉環(huán)零、極點的分布對系統(tǒng)性能的影響

只要利用根軌跡得到閉環(huán)系統(tǒng)在某一確定的Kg下的零極點，就可以寫出此時的閉環(huán)傳遞函數(shù)，就可以對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。

下面以系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為例，考查閉環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律。

設(shè)n階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

式中，zj，si和KΦg分別為系統(tǒng)的閉環(huán)零點、極點和根軌跡增益。于是單位階躍作用下系統(tǒng)輸出的相函數(shù)為：經(jīng)拉氏反變換，可求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

上式表明，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由Ai、si決定，即與系統(tǒng)閉環(huán)零、極點的分布有關(guān)。分析上述各式，閉環(huán)零、極點的分布對系統(tǒng)性能影響的一般規(guī)律如下：

（1）穩(wěn)定性：根據(jù)si分布左右平面（存在3條及以上的漸近線，是什么情形？）（2）運動形態(tài)：根據(jù)si是實數(shù)還是復(fù)數(shù)（單調(diào)、衰減振蕩）（3）平穩(wěn)性：阻尼比大（阻尼角?。?/p>

（4）快速性：遠(yuǎn)離虛軸，或存在閉環(huán)偶極子

4.3.3利用閉環(huán)主導(dǎo)極點估算系統(tǒng)的性能指標(biāo)

例4－9P174試?yán)L制如下幾種情況下Kg從零連續(xù)變化到無窮大時系統(tǒng)的根軌跡：（1）b→∞,a為有限量；（2）b>a；（3）b=a

（4）b<a;（5）b=0，a為有限量。三.開環(huán)零極點的分布對系統(tǒng)性能的影響

決定形狀，若不如意，改造之

1.開環(huán)零點對根軌跡的影響例4-8設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：（1）b→∞,a為有限量時，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

起始于坐標(biāo)原點的兩條根軌跡始終位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。0

jaa/3

（2）b>a時，起始于坐標(biāo)原點的兩條根軌跡的漸近線位于右半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。0

ja(ba)/20

jb

（3）b=a時，起始于坐標(biāo)原點的兩條根軌跡為與虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。P=-a和z=-b構(gòu)成開環(huán)偶極子。

j0

jb=-a

（4）b<a時，起始于坐標(biāo)原點的兩條根軌跡的漸近線位于左半s平面，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。0

ja(ba)/20

jb

（5）b=0，a為有限量時，系統(tǒng)為沒有開環(huán)零點的二階系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。

j0

j-a-a/2

從上例可以看出，增加一個開環(huán)零點對系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：（1）改變了實軸上根軌跡的分布。（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實軸交點的坐標(biāo)及夾角的大小。（3）使系統(tǒng)的根軌跡向左偏移。提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有利于改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。（4）開環(huán)零點和極點重合或相近時，二者構(gòu)成開環(huán)偶極子,抵消有損系統(tǒng)性能的極點對系統(tǒng)的不利影響。

2.開環(huán)極點對根軌跡的影響分析例4-10的根軌跡圖可以看出，增加一個開環(huán)極點對系統(tǒng)的根軌跡有如下影響：（1）改變了實軸上根軌跡的分布。

（2）改變了根軌跡漸近線的條數(shù)、與實軸交點的坐標(biāo)及夾角的大小。（3）使系統(tǒng)的根軌跡向右偏移。降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定度，有損于系統(tǒng)的動態(tài)特性，使得系統(tǒng)相應(yīng)的快速性變差。

3.開環(huán)偶極子對根軌跡的影響開環(huán)偶極子(零極點重合或相近)，提供相同的幅角和幅值，根據(jù)根軌跡方程，對根軌跡的影響為：（1）開環(huán)偶極子不影響根軌跡的形狀；（2）開環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點的根軌跡增益值，但可能影響根軌跡上各點開環(huán)比例系數(shù)的值；（3）合理配置偶極子中的開環(huán)零極點，可以在不影響動態(tài)性能的基礎(chǔ)上，改善系統(tǒng)的