平面幾何中的基本定理

平面幾何中的基本定理及其應(yīng)用【法二】易知三點(diǎn)共線，設(shè)交EF于點(diǎn)D，連，由題意知CE=CG，，BH=BF，又因?yàn)樗运狞c(diǎn)共圓，又因?yàn)樗訟，H，P，D四點(diǎn)共圓.所以又因?yàn)樗晕妩c(diǎn)共圓，即有，所以所以

實(shí)際上，對(duì)任意三角形，本結(jié)論也成立。如圖所示，其中R為三角形ABC外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，d為外接圓圓心O(外心)與內(nèi)切圓圓心I(內(nèi)心)之間的距離。證明：（1）連接AI，并延長，與外接圓相交于點(diǎn)E。再把連接內(nèi)、外心的線段OI向兩端延長，與外接圓分別相交于點(diǎn)G和H。如圖所示。由相交弦定理，有。要證：,即證。于是，我們只需證明=1\*GB3①即可。（2）如下圖所示。連接外接圓上的點(diǎn)E與外接圓圓心O，得線段EO，并延長，與外接圓相交于點(diǎn)F。于是，EF為外接圓的直徑，長度為2R。連接FC，連接EC，得到（圖中內(nèi)部為紅色的三角形）。再關(guān)注。顯然，和都是直角三角形。并且，∠DAI=∠CAE(AI為∠BAC的平分線)，∠CAE=∠CFE(同弦上的圓周角相等），所以∠DAI=∠CFE。故，和相似，有，而。所以，上式變?yōu)椋?2\*GB3②，比較以上=1\*GB3①=2\*GB3②兩式，只要證明即可。（3）如上圖所示，CE和IE都位于，所以，我們只要證明是等腰三角形，為此，我們來證明兩個(gè)底角相等，即∠EIC=∠ECI。因?yàn)椤螮IC=∠EAC+∠ACI(三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和)，∠ECI=∠ECB+∠BCI，上面兩式中標(biāo)以藍(lán)色的兩個(gè)角相等。而標(biāo)以紅色的兩個(gè)角都等于∠EAB。所以，上面兩式的左邊也相等。從而三角形ICE是等腰三角形，等角對(duì)等腰，所以，CE=IE。綜上，原命題成立。法二：連接AI，并延長，與外接圓相交于點(diǎn)E。則E為弧BC的中點(diǎn)，連接EO，并延長交圓O于F，交BC于D。作，M,N為垂足。,，又而，所以六：共邊定理七：共角定理例4：八：蝴蝶定理蝴蝶定理：設(shè)M為圓內(nèi)弦PQ的中點(diǎn)，過M作弦AB和CD。設(shè)AD和BC分別交PQ于點(diǎn)X和Y，則M是XY的中點(diǎn)。法一：霍納證法過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易知△ESD∽△CSF，∴ES/CS=ED/FC，根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C，∴△ESL∽△CST，∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中點(diǎn)所以O(shè)S⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°，∴O，S，N，L四點(diǎn)共圓，同理O，T，M，S四點(diǎn)共圓∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON，∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB，∴MS=NS法二：對(duì)稱法法三：帕斯卡證法連接CO、EO并延長分別交圓O于I、J，連接IF、DJ交于K，連接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共線∵M(jìn)為AB中點(diǎn)∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°又∵CI、EJ為⊙O直徑，∴∠GFK=∠HDK=90°又∵∠GMK=∠HMK=90°∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°∴G、F、K、M共圓，H、D、K、M共圓∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH又∵∠GFM=∠MDH，∴∠GKM=∠MKH又∵∠GMK=∠HMK=90°，∴△GMK≡△HMK（ASA）∴GM=MH法四：面積法【此方法也可證明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】法五：作圖法從X向AM和DM作垂線，設(shè)垂足分別為X'和X''。類似地，從Y向BM和CM作垂線，設(shè)垂足分別為Y'和Y''。法六：射影法1.構(gòu)造特殊情況：如右圖1，A'B'、C'D'、M'N'為⊙O'內(nèi)三條直徑，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，則由圓中心對(duì)稱性知P'O'=Q'O'.2.中心投影：在不屬于⊙O'所在平面的空間上任取一點(diǎn)T作為投影中心，用平行于直線M'N'的平面截影，則圓O'被射影為橢圓，線段M'N'被射影為與之平行的M''N''，如圖2，則對(duì)應(yīng)存在P''O''=Q''O''.3.仿射：將圖2的橢圓仿射為圓，如圖3，由仿射不變性知PO=QO.推廣：1.蝴蝶定理的圓外形式：如圖，延長圓O中兩條弦AB與CD交于一點(diǎn)M，過M做OM垂線，垂線與CB和AD的延長線交于E、F，則可得出ME=MF（證明方法可參考蝴蝶定理的對(duì)稱法和面積法）2.在平行四邊形中在平行四邊形中，M為對(duì)角線AB與CD中點(diǎn)。3.坎迪定理去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線段的比例式，稱為“坎迪定理”，即:。證明：設(shè)AP=a，BP=b，GP=x，HP=y法一：法二：4.在圓錐曲線中通過射影幾何，我們可以非常容易的將蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線（包括橢圓，雙曲線，拋物線，甚至退化到兩條相交直線的情況）。圓錐曲線C上弦PQ的中點(diǎn)為M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。而通過投影變換可以非常容易證明這個(gè)定理。射影幾何里面關(guān)于投影變換有一個(gè)重要結(jié)論，對(duì)于平面上任意兩個(gè)圓錐曲線C1,C2.任意指定C1內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)A1和C1上面一個(gè)點(diǎn)B1,另外任意指定C2內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)A2和C2上面一個(gè)點(diǎn)B2,存在一個(gè)唯一投影變換將曲線C1變換到C2而且A1變換到A2,B1變換到B2.由此對(duì)于本題，我們可以通過投影變換將C1變換成一個(gè)圓M，而將弦PQ的中點(diǎn)M變換成這個(gè)圓的圓心。在此變換以后，弦AB和CD都是圓M的直徑而且四邊形ACBD是圓M內(nèi)接矩形，PQ也是一條直徑，有對(duì)稱性顯然得出投影變換后M為X,Y的中點(diǎn)。又因?yàn)樽儞Q前后M都是線段PQ的中點(diǎn)，我們可以得出在直線PQ上這個(gè)變換是仿射變換，所以變換前M也是XY的中點(diǎn)。5.梯形中的蝴蝶定理（面積比例關(guān)系）九：三角形中的費(fèi)馬點(diǎn)十：（托勒密）三弦定理三弦定理：由圓上一點(diǎn)引出三條弦,中間一弦與最大角正弦的積等于其余每條弦與不相鄰角正弦的積之和。如圖，若A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則。反之也成立。證明：推論（三交弦定理）：如圖，圓O內(nèi)三條弦交于點(diǎn)P，則證明：如圖，過圓心O分別作三條弦的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、S、T，又，，，代入上式得十一：斯特瓦爾特定理十二：密克爾（Miquel）定理1.三圓定理：在△ABC的AB,BC,AC,邊上分別取點(diǎn)M,N,P,對(duì)△AMP,△BPM和△CPN分別作其外接圓，則這三個(gè)外接圓共點(diǎn)。該定理的證明很簡(jiǎn)單，利用“圓內(nèi)接四邊形對(duì)角和為180度”及其逆定理。證明：已知O是圓和的公共點(diǎn)。四邊形BNOM和四邊形CNOP分別是和的內(nèi)接四邊形，連接OM和ON，則∠OMB+∠ONB=∠OMB+∠OMA=180度，從而∠ONB=∠OMA。同理∠OPC+∠ONC=∠OPC+∠OPA=180度，從而∠OPA=∠ONC。又有∠ONB+∠ONC=180度，因此∠OMA+∠OPA=180度，這說明四邊形AMOP是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，而該圓過點(diǎn)O，故這三個(gè)外接圓共點(diǎn)O。三圓定理的逆定理：設(shè)三個(gè)圓C1,C2,C3交于一點(diǎn)O，而M,N,P分別是C1和C2，C2和C3，C3和C1的另一交點(diǎn)。設(shè)A為C1的點(diǎn)，直線MA交C2于B，直線PA交C3于C。那么B,N,C這三點(diǎn)共線。2.四圓定理：來自密克爾定理中的完全四邊形定理：如上圖，如果ABCDEF是完全四邊形，那么三角形△EAD,△EBC,△FAB,△FDC的外接圓交于一點(diǎn)G，此點(diǎn)稱為密克爾點(diǎn)（又譯：米格爾點(diǎn)、密克點(diǎn)或米庫爾點(diǎn)）。證明：如右圖，記⊙CBE與⊙CDF的交點(diǎn)為G過G點(diǎn)對(duì)AE,CE,CF,AF作垂線，垂足記為P,Q,R,S由西姆松定理知，∵G在⊙CDF上，∴P,Q,R三點(diǎn)共線∵G在⊙CDF上，∴Q,R,S三點(diǎn)共線∴P,Q,R,S四點(diǎn)共線，∴G在⊙ADE,⊙ABF上即G在⊙ADE,⊙ABF,⊙CBE,⊙CDF上∴四圓共點(diǎn)四圓定理的逆定理：設(shè)C1，C2，C3，C4為四個(gè)圓，A1和B1是C1和C2的交點(diǎn)，A2和B2是C2和C3的交點(diǎn)，A3和B3是C3和C4的交點(diǎn)，A4和B4是C1和C4的交點(diǎn)。那么A1，A2，A3，A4四點(diǎn)共圓當(dāng)且僅當(dāng)B1，B2，B3，B4四點(diǎn)共圓。3.布羅卡定理：如果ABCDEF是完全四邊形，四邊形ABCD的外接圓圓心為O，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)G，則。十三：笛沙格定理笛沙格定理（同調(diào)三角形定理）：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。逆定理也成立。證明：梅涅勞斯定理證法：十四：牛頓定理牛頓定理1:完全四邊形三條對(duì)角線中點(diǎn)共線證明：如圖，四邊形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中點(diǎn)為M,AC中點(diǎn)為L,EF中點(diǎn)為N，取BE中點(diǎn)P,BC中點(diǎn)R,PN∩CE=Q，∵R,L,Q共線，∴QL/LR=EA/AB∵M(jìn),R,P共線，∴RM/MP=CD/DE∵N,P,Q共線，∴PN/NQ=BF/FC三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC由梅涅勞斯定理知QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1由梅涅勞斯定理的逆定理知:L,M,N三點(diǎn)共線牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。證明：設(shè)四邊形ABCD是⊙I的外切四邊形，E和F分別是它的對(duì)角線AC和BD的中點(diǎn)，連接EI只需證它過點(diǎn)F，即只需證△BEI與△DEI面積相等。顯然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意兩個(gè)式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四邊形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四邊形ABCD即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移項(xiàng)得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中點(diǎn)，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中點(diǎn)，由共邊比例定理EI過點(diǎn)F即EF過點(diǎn)I，故結(jié)論成立。牛頓定理3：圓的外切四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對(duì)角線交點(diǎn)重合。證明：設(shè)四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)E,F,G,H.首先證明,直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).設(shè)EG,FH分別交AC于點(diǎn)I,I'.顯然∠AHI'=∠BFI'因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故AI'/CI'=AH/CF.同樣可證:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.從而I,I'重合.即直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).同理可證:直線BD,EG,FH交于一點(diǎn).因此直線AC,BD,EG,FH交于一點(diǎn).十五：帕斯卡（Pascal）定理如果一個(gè)六邊形內(nèi)接于一條二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)，那么它的三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)在同一條直線上。分析：可以利用射影變換，將圓錐曲線的命題轉(zhuǎn)化為圓的命題。這樣，只需要證明圓的內(nèi)接六邊形ABCDEF三雙對(duì)邊的交點(diǎn)共線即可。帕斯卡定理的證法有許多種，列舉如下：帕普斯定理：特殊的，這六個(gè)點(diǎn)，恰有兩組三點(diǎn)共線時(shí)，即為帕普斯定理。十六：布列安桑（Brianchon）定理布列安桑（Brianchon）定理是一個(gè)射影幾何中的著名定理，它斷言六條邊和一條圓錐曲線相切的六邊形的三條對(duì)角線共點(diǎn)，此點(diǎn)被稱為該六邊形的布列安桑點(diǎn)。[注1]此處的對(duì)角線指主對(duì)角線，若六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)記作A1,A2,A3,A4,A5,A6，則三條（主）對(duì)角線為A1A4,A2A5,A3A6.布列安桑定理的逆定理亦同樣成立，即如果一個(gè)六邊形的三條對(duì)角線共點(diǎn)，則它的六條邊和一條圓錐曲線相切。布列安桑定理是帕斯卡定理的對(duì)偶定理。證明方法：如圖，六邊形ABCDEF切圓錐曲線于X1、X2、X3、X4、X5、X6，設(shè)BE∩CF=O由牛頓定理3知X1X4∩X3X6∩AD=M，X2X5∩X3X6∩CF=N，X1X4∩X2X5∩BE=P，X6X1∩X5X2∩FB=T則觀察圖中兩個(gè)綠色三角形知AX1∩PO=B，AX6∩NO=F，X6X1∩X5X2∩FB=T，根據(jù)笛沙格定理（逆）知M∈AO，又因M∈AD，故A、O、D共線，定理得證。十七：曼海姆定理曼海姆定理是指有一圓分別與三角形ABC的外接圓⊙O和直線AB,AC相切于D,P,Q，則PQ中點(diǎn)為三角形ABC的內(nèi)心或旁心。若它與外接圓內(nèi)切，即為內(nèi)心；外切即為旁心。證明：當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),過D作兩圓外公切線上與B同側(cè)一點(diǎn)為E，與C同側(cè)一點(diǎn)為F聯(lián)結(jié)DP,DQ并延長，交外接圓于S,T.聯(lián)結(jié)BD,AD,PQ,SA.因?yàn)椤螾DE=∠PQD=∠BPD=∠BAD+∠ADS,∠SDE=∠SAD=∠SAB+∠BAD,所以∠ADS=∠SAB，所以S為弧AB中點(diǎn),所以S.I.C共線.同理，B.I.T共線.連接SC,BT.對(duì)ABTDSC運(yùn)用Pascal定理，則P.I.Q共線.易知PQ⊥AI，故PI=IQ，I為PQ中點(diǎn).命題得證。當(dāng)兩圓外切時(shí)，類似可證。十八：張角定理在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)，連結(jié)AD，則。逆定理：在△ABC中，若，則D在BC上。推論：在△ABC中，若AD平分，則B、C、D共線的充要條件是。十九：九點(diǎn)圓定理（歐拉圓、費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）三角形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線段的中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓。二十：雞爪定理雞爪定理指的是設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC組成的圖形，形似雞爪，故被稱為雞爪定理。證明：由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理，∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四點(diǎn)共圓，且IJ為圓的直徑∵AK平分∠BAC∴KB=KC（相等的圓周角所對(duì)的弦相等）又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI∵IBJC四點(diǎn)共圓且KB=KI=KC∴點(diǎn)K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過三個(gè)以上的點(diǎn)的距離相等）∴KB=KI=KJ=KC雞爪定理的逆定理：設(shè)△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。則I是△ABC的內(nèi)心，J是△ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J‘，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合，J和J’重合即I和J分別是內(nèi)心和旁心二十一：根軸的有關(guān)性質(zhì)在平面上任給兩不同心的圓，則對(duì)兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸。另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點(diǎn)的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。它是一條特殊的直線。即向不同心兩圓引相等切線的點(diǎn)的軌跡，是垂直于兩圓連心線的一條直線，該直線稱為兩圓的根軸兩圓相交、相切時(shí)，根軸為兩圓交點(diǎn)的連線；內(nèi)含時(shí)，作一適當(dāng)?shù)膱A與兩圓相交，這圓與兩圓的根軸的交點(diǎn)在根軸上.同理再作一點(diǎn)，兩點(diǎn)所在的直線即為根軸（等冪軸），如圖。常見的性質(zhì)有：1、平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線；2、若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線；3、若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線；4、若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點(diǎn)分別引兩圓的切線，則切線長相等。從而，根軸必過四條公切線的中點(diǎn)。5、蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個(gè)圓，若這三個(gè)圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行；6、反演后的圓和反演圓和被反演的圓3個(gè)圓共根軸。例5：（2013年（第54屆）國際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（IMO）第二天第4題）

已知是銳角三角形，H是垂心。W是BC上一點(diǎn)（在B和C之間）。M和N分別是從B和C作出的高的垂足。

和

的外接圓分別記為

和

。X,Y分別是

和

上的點(diǎn)，且WX和WY分別是

和

的直徑。求證：X,Y,H三點(diǎn)共線。證明：如圖，記

和

的另一個(gè)交點(diǎn)為U，則UW是

和

的根軸。顯然，由于XW和YW分別是兩圓的直徑，因此XU⊥UW，YU⊥UW，從而X,U,Y共線。顯然，B,C,M,N共圓，記該圓為

。注意到BN是

和

的根軸，而CM是

和

的根軸。BN和CM交于A點(diǎn)，由蒙日定理知，

和

的根軸UW必然通過A點(diǎn)，這也就是說A,U,W共線，從而AU⊥XY。記的

外接圓為

。顯然，由于AN⊥NH，AM⊥MH，因此A,M,H,N四點(diǎn)共圓，即H也

在上。由密克定理，可以直接證明U也在

上（從而U就是

、

和

的公共點(diǎn)），從而A,N,U,H,M五點(diǎn)共圓，AH是該圓的直徑，則必有AU⊥UH，再由A,U,W共線，知UH⊥UW，從而X,U,H,Y四點(diǎn)共線。證畢。二十二：調(diào)和四邊形的有關(guān)性質(zhì)調(diào)和四邊形是指對(duì)邊乘積相等的圓內(nèi)接四邊形。過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線與一條割線，與圓相交的四點(diǎn)構(gòu)成的凸四邊形為調(diào)和四邊形。它在射影幾何中占有重要地位，常見性質(zhì)有：1、調(diào)和四邊形的其中一條對(duì)角線，與過其余兩點(diǎn)的四邊形外接圓的兩條切線，這三條直線共點(diǎn)；2、設(shè)調(diào)和四邊形ABCD中，對(duì)角線AC中點(diǎn)為M，則△AMB∽△DMA∽△DCB，△BMC∽△CMD∽△BAD；3、設(shè)調(diào)和四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與過B、D兩點(diǎn)的四邊形ABCD外接圓的切線所共的點(diǎn)記為P，記AP交BD于Q，則AQ為△ABD的一條陪位中線，A、Q、C、P四點(diǎn)為調(diào)和點(diǎn)列；取對(duì)角線AC中點(diǎn)M，設(shè)四邊形ABCD外接圓圓心為O，則B、P、D、O、M五點(diǎn)共圓；二十三：調(diào)和點(diǎn)列的有關(guān)性質(zhì)若同一直線上四點(diǎn)B、E、C、D滿足BD×EC=BE×CD,則稱B,D調(diào)和分割線段EC,或E,C調(diào)和分割線段BD，稱B、E、C、D為調(diào)和點(diǎn)列。B、D與E、C稱為調(diào)和共軛。性質(zhì)1：若△ABC的三條Ceva線AD、BE、CF共點(diǎn)G,直線EF、CB交于P,則P、B、D、C成調(diào)和點(diǎn)列.性質(zhì)2：對(duì)于A,B的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D滿足C,D調(diào)和分割線段AB，M是AB的中點(diǎn)，則有以下結(jié)論成立：1、點(diǎn)A,B調(diào)和分割線段CD；2、；3、AB×CD=2AD×BC；4、CA×CB=CM×CD。性質(zhì)3：設(shè)B、D、C、E依次在一直線上,若下列命題中任意兩個(gè)為真,則可以推得另外兩個(gè):=1\*GB3①AD是∠BAC的內(nèi)角平分線；=2\*GB3②AE⊥AD；=3\*GB3③B、D、C、E成調(diào)和點(diǎn)列；=4\*GB3④AE是∠BAC的外角平分線。性質(zhì)4：對(duì)于直線上的4點(diǎn)A，B，C，D，把各有向線段的量之間的比值稱為這4點(diǎn)的交比，記為（AB，CD）。則交比為－1的4個(gè)點(diǎn)組成調(diào)和點(diǎn)列。調(diào)和點(diǎn)列的角元表示：

兩個(gè)常見圖形的調(diào)和點(diǎn)列表示：（1）完全四邊形的調(diào)和點(diǎn)列；（2）圓中的調(diào)和點(diǎn)列則P、B、E、D成調(diào)和點(diǎn)列。二十四：摩德爾定理另外，初中階段的基礎(chǔ)知識(shí)主要有：角平分線定理，射影定理，四點(diǎn)共圓定理，切線長定理，弦切角定理，圓冪定理等。高中階段還可選修反演和配極的有關(guān)知識(shí)。聯(lián)賽真題：一、（2010年）如圖，銳角三角形ABC的外心為O，K是邊BC上一點(diǎn)（不是邊BC的中點(diǎn)），D是線段AK延長線上一點(diǎn)，直線