中考數(shù)學(xué)沖刺數(shù)形結(jié)合問題-知識(shí)講解(提高)【含解析】doc

【若缺失公式、圖片現(xiàn)象屬于系統(tǒng)讀取不可以功，文檔內(nèi)容齊全完滿，請(qǐng)放心下載?！恐锌紱_刺：數(shù)形結(jié)合問題—知識(shí)講解（提高）【中考展望】1.用數(shù)形結(jié)合的思想解題可分兩類:利用幾何圖形的直觀性表示數(shù)的問題,它常借用數(shù)軸、函數(shù)圖象等；運(yùn)用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形問題,常需要建立方程(組)或建立函數(shù)關(guān)系式等.熱點(diǎn)內(nèi)容：在初中教材中，數(shù)的常有表現(xiàn)形式為:實(shí)數(shù)、代數(shù)式、函數(shù)和不等式等，而形的常有表現(xiàn)形式為:直線型、角、三角形、四邊形、多邊形、圓、拋物線、相似、勾股定理等.在直角坐標(biāo)系下，一次函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)著一條直線，二次函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)著一條拋物線，這些都是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.特別是二次函數(shù)，不但是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，同時(shí)也使數(shù)形結(jié)合的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中得到最充分表現(xiàn).在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的張口方向、極點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等都與其系數(shù)a，b，c密不可以分.事實(shí)上，數(shù)a決定拋物線的張口方向,b與a一起決定拋物線的對(duì)稱軸地址,c決定了拋物線與y軸的交點(diǎn)地址，與a、b一起決定拋物線極點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，拋物線的平移的圖形關(guān)系可是極點(diǎn)坐標(biāo)發(fā)生變化，其實(shí)從代數(shù)的角度看是b、c的大小變化.【方法點(diǎn)撥】數(shù)形結(jié)合：就是經(jīng)過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)變來解決數(shù)學(xué)問題,它包括“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個(gè)方面.利用它可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化,抽象問題詳盡化,它兼有“數(shù)的慎重”與“形的直觀”之長(zhǎng),是優(yōu)化解題過程的重要路子之一,是一種基本的數(shù)學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合問題，也可以看作代數(shù)幾何綜合問題.從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合在一起，同時(shí)也會(huì)融入開放性、研究性等問題.經(jīng)常觀察的題目種類主要有坐標(biāo)系中的幾何問題(簡(jiǎn)稱坐標(biāo)幾何問題)，以及圖形運(yùn)動(dòng)過程中求函數(shù)解析式的問題等．解決這類問題，第一，需要仔細(xì)審題，解析、挖掘題目的隱含條件，翻譯并轉(zhuǎn)變成顯性條件；第二，要善于將復(fù)雜問題分解為基本問題；第三，要善于聯(lián)系與轉(zhuǎn)變，進(jìn)一步獲取新的結(jié)論.特別要注意的是，合適地使用綜合解析法及方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)變思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想等數(shù)學(xué)思想方法，能更有效地解決問題．【典型例題】種類一、利用數(shù)形結(jié)合研究數(shù)字的變化規(guī)律1.如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)四邊形都是菱形．若是格點(diǎn)三角形ABC的面積為S，依照以下列圖方式得到的格點(diǎn)三角形ABC的面積是7S，格點(diǎn)三角形ABC的面積是19，那么格點(diǎn)三角形ABC的面積為111222333（）.A.39SB.36SC.37SD.43S1【思路點(diǎn)撥】設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位，由于ABC的面積為S，則小菱形的面積為2S；從圖上觀察可知三角形A2B2C2三個(gè)極點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為3個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，其中一極點(diǎn)與菱形重合，另兩極點(diǎn)在與前一極點(diǎn)不相連的兩邊上，三角形AnBnCn三極點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為（2n+1）個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，此菱形與三角形ABC不重合的部分為三個(gè)小三角形；由此獲取關(guān)于三角形ABC面積公式，把n=3代入即可求nnnnnn出三角形A3B3C3的面積．【答案】C.【解析】網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)為一個(gè)單位，由于ABC的面積為S，則小菱形的面積為2S；從圖上觀察可知三角形ABC三個(gè)極點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為3個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，其中一極點(diǎn)與菱形重合，另兩極點(diǎn)222在與前一極點(diǎn)不相連的兩邊上，三角形AnBnCn三極點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為2n+1個(gè)單位的菱形的內(nèi)部，此菱形與三角形AnBnCn不重合的部分為三個(gè)小三角形；而三角形AnBnCn面積=邊長(zhǎng)為2n+1個(gè)單位的菱形面積-三個(gè)小三角形面積=2S（2n+1）2-(2n1)n2s(2n1)(n1)2sn(n1)2s,222=S（8n2+8n+2-2n2-n-2n2-3n-1-n2-n），=S（3n2+3n+1），2把n=3分別代入上式得：S3=S（3×3+3×3+1）=37S．應(yīng)選C．【總結(jié)升華】此題主要觀察菱形的性質(zhì)，也觀察了學(xué)生的讀圖能力以及研究問題的規(guī)律并有規(guī)律解決問題的能力．貫穿交融:【變式】（2016?濰坊）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=x﹣1與x軸交于點(diǎn)A1，以下列圖依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、、正方形AnBnCnCn﹣1，使得點(diǎn)A1、A2、A3、在直線l上，點(diǎn)C1、C2、C3、在y軸正半軸上，則點(diǎn)Bn的坐標(biāo)是．2【答案】（2n﹣1，2n﹣1）【解析】解：∵y=x﹣1與x軸交于點(diǎn)A1，A1點(diǎn)坐標(biāo)（1，0），∵四邊形A1B1C1O是正方形，B1坐標(biāo)（1，1），C1A2∥x軸，A2坐標(biāo)（2，1），∵四邊形A2B2C2C1是正方形，B2坐標(biāo)（2，3），C2A3∥x軸，A3坐標(biāo)（4，3），∵四邊形A3B3C3C2是正方形，B3（4，7），B1（20，21﹣1），B2（21，22﹣1），B3（22，23﹣1），，∴Bn坐標(biāo)（2n﹣1，2n﹣1）．種類二、利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)與式的問題2.已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的地址以下列圖，則化簡(jiǎn)|2-a|+a2的結(jié)果為__________.【思路點(diǎn)撥】由數(shù)軸可知，0＜a＜2，由此去絕對(duì)值，對(duì)二次根式化簡(jiǎn)．【答案與解析】解：∵0＜a＜2，∴|2-a|+a2=2-a+a=2.故答案為：2．【總結(jié)升華】此題觀察了絕對(duì)值的化簡(jiǎn)和二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系．要點(diǎn)是依照數(shù)軸上的點(diǎn)的地址來判斷數(shù)a的取值范圍，依照取值范圍去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)二次根式．種類三、利用數(shù)形結(jié)合解決代數(shù)式的恒等變形問題3.(1)在邊長(zhǎng)為a的正方形紙片中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，把余下的部分沿虛線剪開，拼成一個(gè)矩形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以考據(jù)的乘法公式是__________________（用字母表示）．32）設(shè)直角三角形的直角邊分別是a，b，斜邊為c，將這樣的四個(gè)完滿相同的直角三角形拼成正方形，考據(jù)等式a2+b2=c2建立?！舅悸伏c(diǎn)撥】依照陰影部分的面積相等，即可獲取公式；直角三角形的直角邊分別是a，b，斜邊為c，這樣的4個(gè)三角形，即可拼成正方形，據(jù)此即可得到．【答案與解析】解：（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）考據(jù)：利用面積公式可得正方形的面積是：c2，正方形的面積是四個(gè)直角三角形的面積加上里面較小的正方形的面積，獲?。?×122ab+（b-a）=2ab+a2-2ab+b2）=a2+b2，則a2+b2=c2．【總結(jié)升華】此題主要觀察了平方差公式的幾何表示，表示出圖形陰影部分面積是解題的要點(diǎn)．種類四、利用數(shù)形結(jié)合思想解決極值問題4.我們?cè)鴮W(xué)過“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，?？衫盟鼇斫鉀Q兩條線段和最小的相關(guān)問題，下面是大家特別熟悉的一道習(xí)題：如圖1，已知，A，B在直線l的同一側(cè)，在l上求作一點(diǎn)，使得PA+PB最?。覀冎灰鼽c(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B′，（如圖2所示）依照對(duì)稱性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相當(dāng)于求AP+PB′最小，顯然當(dāng)A、P、B′在一條直線上時(shí)AP+PB′最小，因此連接AB′，與直線l的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)P．有很多問題都可用近似的方法去思慮解決．研究：1）如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為BC的中點(diǎn)，P是BD上一動(dòng)點(diǎn)．連接EP，CP，則EP+CP的最小值是________；運(yùn)用：2）如圖4，平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x軸上找一點(diǎn)D，使得四邊形ABCD的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)該是_____________.4操作：3）如圖5，A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各求作一點(diǎn)B，C，組成△ABC，使△ABC周長(zhǎng)最?。ú粚懽鞣ǎＡ糇鲌D印跡）.【思路點(diǎn)撥】(1)由正方形的性質(zhì)可得點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值；找點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，則AC′與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的地址，先求出直線AC′的解析式，既而可得出點(diǎn)D的坐標(biāo);分別作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A′、關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A′A″，則A′A″與OM交點(diǎn)為點(diǎn)B的地址，與ON交點(diǎn)為C的地址．【答案與解析】解：（1）∵點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)，連接AE，則AE就是EP+CP的最小值，EP+CP的最小值=AE=5；2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′，則AC′與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)D的地址，∵點(diǎn)C′坐標(biāo)為（0，-2），點(diǎn)A坐標(biāo)為（6，4），∴直線C′A的解析式為：y=x-2，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）；3）分別作點(diǎn)A關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)A′、關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A″，連接A′A″，則A′A″與OM交點(diǎn)為點(diǎn)B的地址，與ON交點(diǎn)為C的地址；以下列圖：點(diǎn)B、C即為所求作的點(diǎn)．5【總結(jié)升華】此題觀察了利用軸對(duì)稱求解最短路徑的問題，求解模式題意已經(jīng)給出，注意仔細(xì)理解，靈便運(yùn)用題目所給的信息．種類五、利用數(shù)形結(jié)合思想，解決函數(shù)問題高清課堂：數(shù)形結(jié)合問題資源編號(hào)：416971經(jīng)典例題1（仙游縣二模）已知，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P（m，n）是拋物線y1x21上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．4（1）①如圖1，過動(dòng)點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B，連接PA，求證：PA=PB；②如圖2，設(shè)C的坐標(biāo)為（2，5），連接PC，AP+PC可否存在最小值？若是存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明原由；（2）如圖3，過動(dòng)點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線交拋物線于另一點(diǎn)D，若AP=2AD，求直線OP的解析式．【思路點(diǎn)撥】（1）①設(shè)P（m，n）得出PB=m2+1，再依照A（0，2）得出AP=m2+1，即可證出PB=PA；②過點(diǎn)P作PB⊥x軸于B，由PA=PB得出要使AP+CP最小，只要當(dāng)C，P，B共線時(shí)即可，再依照點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)C（2，5）的橫坐標(biāo)，即可得出答案；（2）作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，先得出PF=2DE，再依照==，得出設(shè)P（m，m2+1），則D（m，m2+），依照m2+=（m）2+1，求出m，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后代入求解即可．【答案與解析】解：（1）①設(shè)P（m，n）n=m2+1，PB⊥x軸，∴PB=m2+1，A（0，2）∴AP==m2+1，PB=PA；②過點(diǎn)P作PB⊥x軸于B，由（1）得PA=PB，因此要使AP+CP最小，只要當(dāng)BP+CP最小，因此當(dāng)C，P，B共線時(shí)獲取，6此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于點(diǎn)C（2，5）的橫坐標(biāo)，因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2），2）如圖，作DE⊥x軸于E，作PF⊥x軸于F，由（1）得：DA=DE，PA=PFPA=2DA，PF=2DE，∵△ODE∽△OPF，==，設(shè)P（m，m2+1），則D（m，m2+）∵點(diǎn)D在拋物線y=x2+1上，m2+=（m）2+1，解得m=±2，∴P1（，3），直線OP的解析式為y=x，P2（﹣，3）直線OP的解析式為y=﹣x，綜上所求，所求直線OP的解析式為y=x或y=﹣x．【總結(jié)升華】此題觀察了二次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是待定系數(shù)法、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理，要點(diǎn)是依照題意做出輔助線，列出算式，注意分類談?wù)撍枷氲倪\(yùn)用．貫穿交融:高清課堂：數(shù)形結(jié)合問題資源編號(hào)：416971經(jīng)典例題2【變式】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y12x21的極點(diǎn)為M，直線y2x，點(diǎn)Pn，0為x軸上4的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別交拋物線y12x21y2xAB.和直線于點(diǎn)4（1）直接寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；⑵設(shè)線段AB的長(zhǎng)為d，求d關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式及d的最小值，并直接寫出此時(shí)線段OB與線段PM的地址關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；7(3)已知二次函數(shù)yax2bxc（a，b，c為整數(shù)且a0），對(duì)一的確數(shù)x恒有x≤y≤2x21，4求a，b，c的值.【答案】解：(1)A(n，2n21)，B(n，n).4(2)d=AB=yAyB=2n2n1.4∴d=2(n1)21=2(n1)21.4848∴當(dāng)n1時(shí)，d獲取最小值1.48當(dāng)d取最小值時(shí)，線段OB與線段PM的地址關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是OB⊥PM且OB=PM.(如圖)y1AB1OP1x(3)∵對(duì)一的確數(shù)x恒有x≤y≤2x21，4∴對(duì)一的確數(shù)x，x≤ax2bxc≤2x21都建立.(a0)①4當(dāng)x0時(shí)，①式化為0≤c≤1.4∴整數(shù)c的值為0.此時(shí)，對(duì)一的確數(shù)x，x≤ax2bx≤2x21都建立.(a0)4xax2bx,②即bx2x21.③對(duì)一的確數(shù)x均建立.ax24由②得ax2b1x≥0(a0)對(duì)一的確數(shù)x均建立.a0,④∴b20.⑤118由⑤得整數(shù)b的值為1.此時(shí)由③式得，ax2x≤2x21對(duì)一的確數(shù)x均建立.(a0)4即(2a)x2x1≥0對(duì)一的確數(shù)x均建立.(a0)4當(dāng)a=2時(shí)，此不等式化為x1x均建立.≥0，不滿足對(duì)一的確數(shù)4當(dāng)a≠2時(shí)，∵(2a)x2x1≥0對(duì)一的確數(shù)x均建立，(a0)42a0,⑥∴(1)24(2a)1⑦20.4∴由④，⑥，⑦得0<a≤1.∴整數(shù)a的值為1.∴整數(shù)a，b，c的值分別為a1，b1，c0.中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)代數(shù)式一、重要看法分類：1.代數(shù)式與有理式用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是代數(shù)式。整式和分式統(tǒng)稱為有理式。2.整式和分式含有加、減、乘、除、乘方運(yùn)算的代數(shù)式叫做有理式。沒有除法運(yùn)算或雖有除法運(yùn)算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。有除法運(yùn)算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。93.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式?jīng)]有加減運(yùn)算的整式叫做單項(xiàng)式。(數(shù)字與字母的積—包括單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母)幾個(gè)單項(xiàng)式的和，叫做多項(xiàng)式。說明：①依照除式中有否字母，將整式和分式差異開;依照整式中有否加減運(yùn)算，把單項(xiàng)式、多項(xiàng)式劃分開。②進(jìn)行代數(shù)式分類時(shí)，是以所給的代數(shù)式為對(duì)象，而非以變形后的代數(shù)式為對(duì)象。劃分代數(shù)式種類時(shí)，是從外形來看。如，=x,=│x等│。4.系數(shù)與指數(shù)差異與聯(lián)系：①?gòu)牡刂飞峡?②從表示的意義上看5.同類項(xiàng)及其合并條件：①字母相同;②相同字母的指數(shù)相同合并依照：乘法分配律6.根式表示方根的代數(shù)式叫做根式。含相關(guān)于字母開方運(yùn)算的代數(shù)式叫做無理式。注意：①?gòu)耐庑紊吓袛?/p>