課件-3第三章大地水準(zhǔn)面

第三章第三章3.1布隆斯公式和重力異3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.3垂線偏3.4大地水準(zhǔn)面高3.5大地水準(zhǔn)面形重力重正常重正常重擾動重力異？？引地球的自然表面是相當(dāng)復(fù)雜的，以前的許多學(xué)者都不去直接研究它，而是研究大地水準(zhǔn)面的形狀。這是因為地球表面上有70％左右的地區(qū)是被海水覆蓋。前面已經(jīng)講過，所謂大地水準(zhǔn)面就是與“平均”海水面相重合的一個重力等位面；而另一方面，在大地測量學(xué)中，不管是那一種測量儀器的安置，總是以鉛垂線，即水準(zhǔn)面的法線為依據(jù)，并且以“平均”的海水面作為起算面的。所以研究大地水準(zhǔn)面形狀也是大地測量的任務(wù)之一。引在十九世紀(jì)以前，由于當(dāng)時大地測量的精度不高，同時測量區(qū)域也不大，很少有學(xué)者專門去研究地球的重力場，同時還把大地水準(zhǔn)面當(dāng)作是一個旋轉(zhuǎn)橢球體，也就是說在大地水準(zhǔn)面上的重力方向就是旋轉(zhuǎn)橢球面的法線方向。地球表面離開大地水準(zhǔn)面的高度就是離開旋轉(zhuǎn)橢球體的高度。隨著大地測量精度的提高，就越來越清晰地表明，大地水準(zhǔn)面并不100米的起伏，并且兩者的法線也不重合，所以大地水準(zhǔn)面是一個較復(fù)雜的曲面。研究大地水準(zhǔn)面的形狀，除了要研究與大地水準(zhǔn)面非常接近的一個平均橢球體以外，還要研究大地水準(zhǔn)面相對于旋轉(zhuǎn)橢球面的起伏以及兩者法線之間的偏差。引解決上述問題的方法，主要是以地球(正確的說是大地水準(zhǔn)面內(nèi))的質(zhì)量所產(chǎn)生的重力位與旋轉(zhuǎn)橢球體(正常地球)所產(chǎn)生的正常位之差——擾動位為根據(jù)，去推求大地水準(zhǔn)面相對于橢球體的起伏和傾斜。擾動位是準(zhǔn)面外部不得有質(zhì)量存在，所以必須將地球的質(zhì)量加以調(diào)整，也就是要去掉大地水準(zhǔn)面以外的質(zhì)量（去掉其引力效應(yīng)），這就是重力測量結(jié)果的校正問題。由于這樣獲得的是調(diào)整了地球質(zhì)量以后的大地水準(zhǔn)面形狀，所以這稱為調(diào)整后的地球形狀的確定問3.1布隆斯公式和重力異3.1.0大地水準(zhǔn)面和參考橢球面的差

大地水準(zhǔn)N 參考橢球布隆斯公式和重力異布隆斯(HBruns公nNnN

由重力位定義，空重力位由于實際大地水準(zhǔn)

與標(biāo)準(zhǔn)橢球面不可能完全重合，設(shè)p點為大地水準(zhǔn)面上的點，其在橢球U0=C，則p及p0點處的重力位可表示成W(

U(p)T(W(p0)U(p0)T(p0布隆斯公式和重力異nN布隆斯(H.Bruns)公nN

用正常重力位垂向一階力

U ()U顯

NNW(p)U(p0)U(p)U(p0)T(W(p)U(p0

NT(布隆斯公式和重力異布隆斯(HBruns公對于W()和U(0)，我們有事先的假定，即在確定正常重力位時，其在地球橢球面上的重力位數(shù)值(p0）應(yīng)與大地水準(zhǔn)面上的實際重力位值（W(p)=）十分近。這里姑且認(rèn)為兩者相等，即有

p0

pp0所 N

——布隆斯公式布隆斯公式告訴我們，大地水準(zhǔn)面的差異為擾動位與正常重力布隆斯公式和重力異布隆斯(HBruns公由于隨緯度變化，而前面 近有平均的意義，N布隆斯公式建立了擾動位與大地水準(zhǔn)面起伏之間的基本公式之正常重力時，我們是通過重力位的，引出正常重力的概念。異常，我們?nèi)钥梢酝ㄟ^重力位引出重力異如果從擾動位對其等位面內(nèi)法向求導(dǎo)，自然可以得到重力異常，但如何用一個直觀、明了的概念描述重力異常？如3.1布隆斯公式和重力異重力異“重力異?！笨梢圆煌暮x，但都是相對正常重力而言的。對于

數(shù)值

被稱為重力異常值，根據(jù)前面的知識，g

G

n1

rnY

n2 rMr3.1布隆斯公式和重力異重力異

n1 rn2 r

n

n1

rn2

G

n1 rn2 r

n

由于考慮了扁度二階極小（2）的正常重力中已經(jīng)包含了4階帶函數(shù)，所以，這里的n2*,4*表示其中包含2階、4階帶函數(shù)中因地球質(zhì)量分3.1布隆斯公式和重力異重力異純重

地球等 橢球等混合重力異常（重力異常

大地水地球重力異利用地球等位面相對于橢球等位面的關(guān)系(p)(p)

n

顧及布隆斯公式和混合重力異常公式，上式變 h

——重力擾動與重力異常關(guān)系3.1布隆斯公式和重力異3.1.2重力異將重力異常公TT1Tg

代

h這就是重力基本微分該方程建立了實測重力異常與擾動位之間的關(guān)系，是重力學(xué)基本公式之一。由邊值問題解出，再應(yīng)用布隆斯公式求N，從而確定大地水準(zhǔn)第三章第三章3.1布隆斯公式和重力異3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.3垂線偏3.4大地水準(zhǔn)面高3.5大地水準(zhǔn)面形3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求1.位理論的邊值問位理論的邊值問題可分和外部所謂位理論外部邊值問題，就是在某一個區(qū)域的邊界面上已知某些函數(shù)值，而這些函數(shù)值又能滿足一定的條件，然后根據(jù)邊界面上的這些已知數(shù)據(jù)和給定的條件求出在外部空間的函數(shù)。這個函數(shù)是調(diào)和的，并在對于地球來說，就是根據(jù)給定邊界面上的已知數(shù)據(jù)和某特定的條求地球外部的3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求1.位理論的邊值問由于給定的邊值條件不同，所以也有不同的邊值問題，一般有下列種第一邊值問題——狄義赫里外部問V，根據(jù)這個邊值條件求出在外部空間是調(diào)和的并在無窮遠(yuǎn)處是正則的函數(shù)。這樣的邊值問題稱為狄義赫里問題。3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求1.位理論的邊值問第二邊值問題——諾依曼外部問它的邊值條件是在邊界面上已知所求調(diào)和函數(shù)的法線導(dǎo)數(shù)

，根這個邊值條件求出在外部空間是調(diào)和的并在無窮遠(yuǎn)處是正則的函數(shù)，樣的邊值問題又稱為諾依曼問題3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求位理論的邊值問第三邊值問題，它的邊值條件是在邊界面上已V其中,是常參數(shù)。這樣的邊值問題稱為混合邊值問3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求邊值問題的求位場邊值問題可以用多種方法求解，如格林方法、球諧函數(shù)方積分方程法、(1)高斯公式和格林公 R

z

——高斯公PQR為在Γ域中連續(xù)的函3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求 P

Q

v

Ru

z2

2v且 D(u,v)

v

vu z

(u) v

dvcos(n,x),v

dv

y),v

dvcos(n,

3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求 R

z

上式可寫 ),(

——第一格林公令u,v互換可得到對應(yīng)的表達式，將兩者相減可

dv

du

——第二格林公 dn3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求用格林方法解外部邊值問設(shè)Γ為一個質(zhì)量體，u=1/r，r為質(zhì)量體 有u為調(diào)和函數(shù)，即u=0，且在無窮遠(yuǎn)處為零。再假設(shè)質(zhì)量 密度為，且連續(xù)，其引力位為v，即3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求用格林方法解外部邊值問第二格林公式兩邊可寫

（V為質(zhì)量體外部的位u

vdu

1dv

1 dn r

dnr3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求即

1dvv

14r dnr

——格林基本定理（或公式3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求V r11V r11d1dnr 2.邊值問題的求若考慮質(zhì)量體外部的問題，即v

dv

du u將格林基本公式與其相減，u1

vd

u1u1

r dn

r3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求1V1

u1dvv

u

1 Gu則

1r

r

dn

r

G

vdG dn3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求若構(gòu)造函數(shù)u在邊界面上使得G=0， 如果已知質(zhì)量體表面上的位v，上式就是狄義赫利邊值問題（第一邊值題）外部問題3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求2.邊值問題的求若構(gòu)造函數(shù)u在邊界面上使則

如果已知質(zhì)量體表面上位的法向?qū)?shù)，上式就是諾依曼邊值問題（第二邊值問題）外部問題的解。3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求邊值問題的求u1 du r r 則

r dv v

dn上式就是混合邊值問題（第三邊值問題）外部問題3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求積分形式——泊松積分公若邊界面為一球面，其外部

p的坐標(biāo)為(r,,)，

V(r,,)1

[V](,) 則

[V](,)dn

G

段r上找一個點p，使R2=r3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求rOlRMrOlRM3.積分形式——泊松積分公p根據(jù)圖上三角形各邊的關(guān)系，

若M點在球面上，有R=R，并有R2rr，則 R4 R2 R r 3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求rOψlRM3.2.2rOψlRM3.積分形式——泊松積分公證明G在球面上等于零在球在球 R4R2rrR2rRr2Rl2即rlRrR11rl 3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求rOψlRM3.2.2rOψlRM3.積分形式——泊松積分公dG

dG

考慮

)

l2d dl

dldl

RrlRrcosl3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求rOψlRM3.2.2rOψlRM積分形式——泊松積分公p有

1R33

cos22

1

3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求lRlRrR1

rl3rl3

(R r l

rRRrR

cos

1(Rrcos22V122V14[V](,)r2R23 221

l33.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求微分形

大地水準(zhǔn)N

參考橢球

p)(

3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求微分形考慮到球體情況，將n用r代替，則ggT用r2

T

r

g

(r2T r23.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求擾動位的求定義輔助函Er

(r2T

r在球面上的E

TE且

r

0)g

T

3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求5.擾動位的求根據(jù)泊松積分公1 r2R2 Er

r(rT)

3ll上式

rr r

1rE1r

3

Rr對r進行積 4.1大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.2.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求5.擾動位的求1T04R1其

S

) ) ——斯托克斯函上式稱為Stokes公式或Stokes積分，由英國Stokes于1849年導(dǎo)出第三章第三章3.1布隆斯公3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.3垂線偏3.4大地水準(zhǔn)面高3.5大地水準(zhǔn)面形33垂線偏垂線偏差的概垂線偏差——大地水準(zhǔn)面內(nèi)法線與對應(yīng)的橢球面內(nèi)法線之夾角

大地水

3垂線偏ggP垂線偏差有正負(fù)之分。設(shè)g在北向gx,東向分量為gy在子午圈方向（O平面）上的分量為，在卯酉方向上（O平面）的分量為。P

X

Y定義：當(dāng)

x(或

y)大于零時(或為負(fù)，反之為正?？梢?，當(dāng)g相對偏γNE：>0,>0SW：<0,<0ZNW：>0,<0SE：<0,>03.3垂線偏gg由圖可見，

X

Y

gxgzgygz Z3.3垂線偏 即gx

W0

gy

gx

U

gy

3.3垂線偏垂線偏差與擾動位的關(guān)而正常重力方向垂直于XOYUU 則gx

T0

gy

tgtg

1gz 1gz 3.3垂線偏垂線偏差與擾動位的關(guān)

用代替gz，用R代替子午圈和卯酉圈的曲率半徑

1

Rcos3垂線偏3.3.2垂線偏差與擾動位的關(guān) R R 1或1 4

00

R

g00

第三章第三章3.1布隆斯公3.2大地水準(zhǔn)面上擾動位的求3.3垂線偏3.4大地水準(zhǔn)面高3.5大地水準(zhǔn)面形大地水準(zhǔn)面高大地水準(zhǔn)面高程異常的積分表T (g

N

2

04 0

(g0

)sind3.4大地水準(zhǔn)面高NGM

Rn1

nmT nm n2m0r即

Cn