高等數(shù)學-第五章2011級曲邊梯形由連續(xù)曲線

第一節(jié)定積分的概念與性質實例1（求曲邊梯形的面積y

xf

)

Ax軸與兩條直

ab

用矩形面積近似取代曲邊梯形 x（四個小矩形

（九個小矩形曲邊梯形如圖所示

b] 若把區(qū)間

b,y個小區(qū)間長度為y

1在每個小區(qū)間xi1,xi上任取一點

xn1 以

為高的小矩形面 f(i曲邊梯形面積的近似值ni

i當分割無限加細, 210(時，n曲邊梯形面積

i

i實例2（求變速直線運動的路程設某物體作直線運動，已知速度

t時間間 ][t 續(xù)函數(shù)，tv0(求物體在這段時間內所經(jīng)過的路程思路速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便分過程求得路程的精確值．（1）分

T1

tn部分路程 部分路程

(2)取介

求取極

某時某時刻的速i

n

21

路程的精

lim

i

i定

設函

x

b

b,[任若干個分

把區(qū)

b

n個小區(qū)間，各小區(qū)間的長度依次 i

在各小區(qū)間上任一點i

作乘n

i

并作和

i

f

)xin記n

max{x1x2,xn}，如果

也不論在小區(qū)間xi1

xi]點i只要當

0時，和S總趨確定的極I我們稱這個極限I

(x)在區(qū)f(

b

的定積分記積分積分

lim

f

i1

b

分區(qū)關于定積分定義中的“極限nn

I既不是數(shù)列的極限也不是函數(shù)的極限

其精確定義是:設I為常數(shù)

[xi1,xi

,nn

f(i)xi

此種極限也具有惟一性、線注意（1）b而與積分變量的字母無bbb x(x t(bb

u(

x

b

x)在區(qū)

b

可積 4）f(x)dx0,f(x)dx

f

b

——積分區(qū)間長度b對定積分的補充規(guī)定b

b

當

b

f(

a

f(x)dxb說明在下面的性質中，假定定積分都存b用定積分的定義求極基本思想

設fx)[ab]

n[ayf0ayf0abxxi

n

分點的坐標 .

nbnnb

nlimn

fa

i(ba)

b

lim

n

i

n

i1

lim

f )

f(x)dx.

i 1

ln已知01 lim 1 .

n

n

n解lim

n

n

n

lim 1n

n n

n

n1 1 1n 因為 在[0，1]上連續(xù)，故可積，所以1lim

1

ln n1

n

n

01三、定積分存在條必要條件：若f

在

上可積f

上必有界，反之不真（證明從略

(x)x

在[1,2] ，故在[1,

上不可積下面的例子表明

x例1.1Dirichlet

D(x)

x

顯然是有界的但它在任意有界[a,b]上都是不可證用任意一組分

a

x1xixi1xixn

分割為

個子區(qū)間[xi1xi](

n記

當取所有

xi]均為有理數(shù)時，D(i

1

1, , 于是有D(i

b

limD(i

b

當取所有

xi]均為無理數(shù)時，D(i

, 于是D(i)xi0xi0,limD(i

0

b

故由定義知，Dirichlet函數(shù)在任何有界閉區(qū)間上都是不可積充分條件（證明從略1>若f

上連f

上可積,反之2>若f

上有界,且只f

上可積,反之3>若

(x)

b]上單

f(x)

上可反之不真bxf bbxf b

x(x(

曲邊梯形的AA4b

dx

A2 幾何意義直

在x軸上方的面積取正號積取負號．y2y2yO 02xdx21

11x2dx1π12π1 2π

O 性質1 (x x(x

x(x.b證 bnlim

i

lim

i

ibb

f(

b（此性質可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況bb性質b

k

f(

bb證abb

x(n

i

n

b b

ixfdx.

i性質b

假設ac

(x)dx f(x)dx

f(x)dx補充bcbc

c的相對位置如何,上式總成立c x(c

xfdx

b則b

x(xc c

f(x)dxxfdx

cbcb

f(（定積分對于積分區(qū)間具有可加性b性質b

a1dx

b性質5b

b

xf

b則b

證 xf

n

xi

i

xii

21

i

f

i)xi bab

(

1比較積分值2exdx和2

0 x

x xf

0(ex2

00exdx002 22exdx0

20性質5的推論bb

b

b則b

(

x(x.

ab

(x bab

b

xfdx 于是af

g(x)dxb性質5的推論bb（2）b

x(x

x)x

b b

f(x)

f(x)

f(x),

xfdx bab

xfdx

xfdx,b即b

x(x

x)x

上可積性是顯然的性質

設M及m分別是函x

b

b b

mdx

x(x

b b

（此性質可用于估計積分值的大致范圍2估計積分

dx的值x

3

3x, 14

1 dx

sin3

dx 3

sin2x2x4

dx的值

sinxx

x[ ,] x

x2

x2 ] 故x

為極大點，x4

2,f() ,

ab

11

4sinx

dx 2224

dx 性質7（定積分中值定理如果函

x在閉區(qū)

b

連續(xù)則在積分區(qū)b

b

至少存在一積分中值積分中值公

(

b證 b

bmb

x(x由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介

b

至少存在一個b1 fb1

xfdx,bb

(

積分中值公式的幾何解釋 b,[至少存在

bf

底邊，以曲

4

x)可導

x

f(x)

1，求x

x tsin

f(t)dt解由積分中值定理