2019-2020年高中數學直線與圓錐曲線板塊一直線與橢圓講義(學生版)

2019-2020

年高中數學直線與圓錐曲線板塊素來線與橢圓生版）

（1）完滿講義（學?橢圓的定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡（或會集）叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.?橢圓的標準方程：，焦點是，，且.②，焦點是，，且..橢圓的幾何性質（用標準方程研究）：⑴范圍：，；⑵對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心；⑶橢圓的極點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的；⑷長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個極點間的線段稱為橢圓的長軸,如圖中線段的；另一對極點間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段.⑸橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，，越趨近于，橢圓越扁；反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓.?直線：與圓錐曲線：的地址關系：直線與圓錐曲線的地址關系可分為：訂交、相切、相離.關于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線訂交于一點，但其實不是相切；關于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但其實不相切.這三種地址關系的判斷條件可歸納為：設直線：，圓錐曲線：，由消去（或消去）得：.若，，訂交；相離；相切.若，獲取一個一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行.因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件.5.連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦.求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，爾后運用兩點間的距離公式來求；別的一種求法是若是直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為,則弦長公式為|AB|=Jl+k2|xi—X2=屮+￡]I%_『2-兩根差公式：若是滿足一元二次方程：，貝HXi_X2=J（Xi+X2）2

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?直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：①從方程的見解出發(fā)，利用根與系數的關系來進行談論，

這是用代數方法來解

決幾何問題的基礎?要重視經過設而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在合適時利用圖形的平面幾何性質

.②以向量為工具，利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關的問題.典例解析【例1】直線與橢圓交于不同樣兩點和，且（其中為坐標原點），求的值.【例

2】在平面直角坐標系中，經過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同樣的交點和.⑴求的取值范圍；⑵設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，可否存在常數，使得向量與共線值；若是不存在，請說明原由.

?若是存在，求【例

3】已知，直線，橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點⑴當直線過右焦點時，求直線的方程；」⑵設直線與橢圓交于，兩點，，的重心分別為，實數的取值范圍.

.

.

若原點在以線段為直徑的圓內，

求【例4】已知橢圓短軸的一個端點，離心率.過作直線與橢圓交于另一點，與軸交于點（不同樣于原點），點關于軸的對稱點為，直線交軸于點.⑴求橢圓的方程；⑵求的值.【例5】已知橢圓中心在原點，一個焦點為，且離心率滿足：成等比數列.【例

⑴求橢圓方程；⑵可否存在直線，使與橢圓交于不同樣的兩點、出的傾斜角的范圍；若不存在，請說明原由6】直線與橢圓交于、兩點，記的面積為，⑴求在的條件下，的最大值；⑵當，時，求直線的方程.

.

，且線段恰被直線均分，若存在，求【例7】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是其左極點，點在橢圓上且.⑴求橢圓的方程；⑵若平行于的直線和橢圓交于兩個不冋點，

求面積的最大值，并求此時直線的方程

.【例8】如圖，點是橢圓短軸的下端點.過作斜率為的直線交橢圓于，點在軸上，且軸,⑴若點坐標為，求橢圓方程；⑵若點坐標為，求的取值范圍.【例9】已知橢圓的焦點是，，點在橢圓上且滿足.⑴求橢圓的標準方程；⑵設直線與橢圓的交點為，.i）求使的面積為的點的個數；ii）設為橢圓上任一點，為坐標原點，O^=?^?OB凰曙R），求的值.【例10】已知橢圓的離心率為.【例11】已知橢圓的左右焦點分別為?在橢圓中有一內接三角形，其極點的坐標，所在直線的斜率為.⑴求橢圓的方程；⑵當的面積最大時，求直線的方程.B'yA」彳F1O*x【例12】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，左右焦點分別為，，且，點在橢圓上.⑴求橢圓的方程；⑵過的直線與橢圓訂交于、兩點，且的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程.【例13】已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，離心率為，且點在該橢圓上.⑴求橢圓的方程；⑵過橢圓的左焦點的直線與橢圓訂交于、兩點，若的面積為，求圓心在原點且與直線相切的圓的方程.【例14】橢圓：的離心率為，長軸端點與短軸端點間的距離為.⑴求橢圓的方程；⑵設過點的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，右為直角二角形，求直線的斜率.【例15】已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點，過點的直線與橢圓訂交于不同樣的兩點⑴求橢圓的方程；⑵可否存直線，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明原由.【例16】已知橢圓的左右焦點分別為，，離心率，右準線方程為.⑴求橢圓的標準方程；（準線方程）⑵過點的直線與該橢圓交于，兩點，且，求直線的方程.【例17】設橢圓的左、右焦點分別為、，離心率，、是直線：上的兩個動點，且.⑴若，求、的值.⑵證明：當取最小值時，與共線.【例18】已知橢圓，過點的直線與橢圓訂交于不同樣的兩點、⑴若與軸訂交于點，且是的中點，求直線的方程；⑵設為橢圓上一點，且（為坐標原點），求當時，實數的取值范圍.【例

19】已知、分別是橢圓的左、右焦點，右焦點到上極點的距離為，若⑴求此橢圓的方程；⑵點是橢圓的右極點，直線與橢圓交于、兩點（在第一象限內）兩點，并且滿足，求證：向量與共線.

.

，又、是此橢圓上【例20】一束光輝從點出發(fā)，經直線：上一點反射后，恰好穿過點，⑴求點關于直線的對稱點的坐標；⑵求以、為焦點且過點的橢圓的方程；⑶設直線與橢圓的兩條準線分別交于、兩點，點為線段上的動點，且不為、，求點至曲勺距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求獲取最小值時點的坐標.【例

21】已知直線經過橢圓的左極點和上極點?橢圓的右極點為?點是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點.⑴求橢圓的方程；⑵求線段的長度的最小值.⑶當線段的長度最小時，在橢圓上可否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數；若不存在，說明原由.2019-2020年高中數學直線與圓錐曲線板塊素來線與橢圓（I）完滿講義（學生版）?橢圓的定義：平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡（或會集）叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.?橢圓的標準方程：①，焦點是，，且.②，焦點是，，且..橢圓的幾何性質（用標準方程研究）：⑴范圍：，；⑵對稱性：以軸、軸為對稱軸，以坐標原點為對稱中心，橢圓的對稱中心又叫做橢圓的中心；⑶橢圓的極點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，如圖中的；⑷長軸與短軸：焦點所在的對稱軸上，兩個極點間的線段稱為橢圓的長軸，如圖中線段的；另一對極點間的線段叫做橢圓的短軸，如圖中的線段.⑸橢圓的離心率：，焦距與長軸長之比，，越趨近于，橢圓越扁；反之，越趨近于，橢圓越趨近于圓.?直線：與圓錐曲線：的地址關系：直線與圓錐曲線的地址關系可分為：訂交、相切、相離.關于拋物線來說,平行于對稱軸的直線與拋物線訂交于一點，但其實不是相切；關于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但其實不相切.這三種位置關系的判斷條件可歸納為：設直線：，圓錐曲線：，由消去（或消去）得：.若，，訂交；相離；相切.若，獲取一個一次方程：①為雙曲線，則與雙曲線的漸近線平行；②為拋物線，則與拋物線的對稱軸平行.因此直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件.5?連結圓錐曲線上兩個點的線段稱為圓錐曲線的弦.求弦長的一種求法是將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，爾后運用兩點間的距離公式來求；別的一種求法是若是直線的斜率為，被圓錐曲線截得弦兩端點坐標分別為,兩根差公式：則弦長公式為|AB若是滿足一元二次方程:則Xi—X2=J(Xi+X2)-4XiX2=?直線與圓錐曲線問題的常用解題思路有：①從方程的見解出發(fā)，利用根與系數的關系來進行談論，這是用代數方法來解決幾何問題的基礎?要重視經過設而不求與弦長公式簡化計算，并同時注意在合適時利用圖形的平面幾何性質.②以向量為工具，利用向量的坐標運算解決與中點、弦長、角度相關的問題.典例解析【例22】設橢圓過點，且左焦點為⑴求橢圓的方程；⑵當過點的動直線與橢圓訂交與兩不同樣點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上.【例

23】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切.⑵設，，是橢圓上關于軸對稱的任意兩個不同樣的點，連結交橢圓于另一點，證明直點；⑶在⑵的條件下，過點的直線與橢圓交于，兩點，求的取值范圍.

⑴求橢圓的方程；線與軸訂交于定【例

24】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為⑴求橢圓的標準方程；

,最小值為

.⑵若直線與橢圓訂交于，兩點（不是左右極點），且以為直徑的圓過橢圓的右極點,求證：直線過定點，并求出該定點的坐標.【例25】在直角坐標系中，點到點，的距離之和是，點的軌跡是與軸的負半軸交于點，但是點的直線與軌跡交于不同樣的兩點和.⑴求軌跡的方程；⑵當時，求與的關系，并證明直線過定點.【例26】在直角坐標系中，點到點，的距離之和是，點的軌跡是，直線與軌跡交于不同樣的兩點和.⑴求軌跡的方程；⑵可否存在常數，？若存在，求出的值；若不存在，請說明原由.【例27】設橢圓的一個極點與拋物線的焦點重合，分別是橢圓的左、右焦點，且離心率，且過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點.⑴求橢圓的方程；⑵可否存在直線，使得.若存在，求出直線的方程；若不存在，說明原由.⑶若是橢圓經過原點的弦，，求證：為定值.【例28】已知橢圓的左、右焦點分別為、，短軸兩個端點為、，且四邊形是邊長為的正方形.⑴求橢圓的方程；⑵若、分別是橢圓長軸的左、右端點，動點滿足，連結，交橢圓于點.證明：為定值.⑶在⑵的條件下，試問軸上可否存在異于點的定點，使得以為直徑的圓恒過直