習題3：計數(shù)原理全章綜合測試題

單元測評(二)計數(shù)原理(B卷)(時間：90分鐘滿分：120分)第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，共50分．1．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種B．63種C．65種D．66種解析：1,2,3，…，9中共5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，當所取4個數(shù)中分別有4個，2個，0個偶數(shù)時，其和為偶數(shù)，故共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝66種不同取法．答案：D2．從集合M＝{0,1,2}到集合N＝{1,2,3,4}的不同映射的個數(shù)是()A．81個 B．64個C．24個 D．12個解析：依題意可知不同的映射有43＝64(個)．答案：B3．由數(shù)字0,1,2,3,4,5可以組成無重復數(shù)字且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個數(shù)有()A．72 B．60C．48 D．52解析：只考慮奇偶相間，則有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)種不同的排法，其中0在首位的有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種不符合題意，所以共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝60個．答案：B4．某次文藝匯演，要將A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表：序號123456節(jié)目如果A，B兩個節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有()A．192種B．144種C．96種D．72種解析：第一步，將C，D，E，F(xiàn)全排，共有Aeq\o\al(4,4)種排法，產(chǎn)生5個空，第二步，將A，B捆綁有2種方法，第三步，將A，B插入除2號空位和3號空位之外的空位，有Ceq\o\al(1,3)種．所以一共有144種方法．答案：B5．(x2＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5的展開式的常數(shù)項是()A．－3B．－2C．2D．3解析：第一個因式取x2，第二個因式取含eq\f(1,x2)的項得：1×Ceq\o\al(4,5)(－1)4＝5；第一個因式取2，第二個因式取常數(shù)項得：2×(－1)5＝－2，故展開式的常數(shù)項是5＋(－2)＝3.答案：D6．現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()金榜題名種B．72種C．64種D．84種解析：方法一：第一類：用4種顏色涂，有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(種)．第二類：用3種顏色，必須有一條對角區(qū)域涂同色：有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝48(種)．第三類：用2種顏色，對角區(qū)域各涂一色有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12(種)．共有24＋48＋12＝84(種)．方法二：第一類，區(qū)域金與名同色，從4色中選1色，有Ceq\o\al(1,4)種方法，其余區(qū)域榜、題各有3種方法，有4×3×3＝36種方法．第二類：區(qū)域金與名不同色，區(qū)域金有4種方法，區(qū)域名有3種方法，區(qū)域榜、題各有2種方法，共有4×3×2×2＝48種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有36＋48＝84種方法．答案：D7．將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有()A．12種B．10種C．9種D．8種解析：先安排1名教師和2名學生到甲地，再將剩下的1名教師和2名學生安排到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12種安排方案．答案：A8．從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有()A．36種B．12種C．18種D．48種解析：分兩類：若小張或小趙入選，則有選法Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝24種；若小張、小趙都入選，則有選法Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12種，共有選法36種，選A.答案：A9．紹興臭豆腐聞名全國，一外地學者來紹興旅游，買了兩串臭豆腐，每串3顆(如圖)．規(guī)定：每串臭豆腐只能由左向右一顆一顆地吃，且兩串可以自由交替吃．請問：該學者將這兩串臭豆腐吃完，不同的吃法有()A．6種B．12種C．20種D．40種解析：方法一：(樹形圖)如圖所示，為先吃A的情況，共有10種，如果先吃D，情況相同，所以不同的吃法有20種．方法二：依題意，本題屬定序問題，所以eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(3,3)·A\o\al(3,3))＝20種．答案：C10．在圖中，“構建和諧社會，創(chuàng)美好未來”，從上往下讀(不能跳讀)，共有不同的讀法種數(shù)是()構建建和和和諧諧諧諧社社社社社會會會會會會創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)創(chuàng)美美美美好好好未未來A．250B．240C．252D．300解析：方法一：解本題相當于在圖中先在始點標上1，再在上半部兩腰的各點旁標上1，然后從上到下依次逐點累加，圖中間每一點處的數(shù)等于它肩上兩數(shù)的和，一直計算到下面最后一點．由此可見，共有252種不同讀法．方法二：考慮到楊輝三角，第n行第k個數(shù)為Ceq\o\al(k－1,n)，252是第10行第6個數(shù)，所以應為Ceq\o\al(5,10)＝252種．答案：C第Ⅱ卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．11．客廳里4個座位上依次坐著4人，現(xiàn)作如下調整：一人位置不變，其余三人位置均相互調換，則不同的調整方案的種數(shù)為__________．解析：由題意得不同的調整方案有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)＝8種．答案：812．Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)的值為__________．解析：∵Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(6,6)＝26＝64，∴Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(5,6)＝64－2＝62.答案：62\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)))6的展開式中x3的系數(shù)為__________(用數(shù)字作答)．解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(x2)6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)x12－3r，令12－3r＝3，∴r＝3，所以展開式中x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,6)＝20.答案：2014．如圖是由12個小正方形組成的3×4矩形網(wǎng)格，一質點沿網(wǎng)格線從點A到點B的不同路徑之中，最短路徑有__________條．解析：總覽全局：把質點沿網(wǎng)格線從點A到點B的最短路徑分為七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的區(qū)別在于哪三步向下，因此，本題的結論是：Ceq\o\al(3,7)＝35.答案：35三、解答題：本大題共4小題，滿分50分．15．(12分)某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動．(1)任選1個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法？(2)三個年級各選一個班的學生參加社會實踐，有多少種不同的選法？(3)選2個班的學生參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有多少種不同的選法？解：(1)分三類：第一類從高一年級選1個班，有6種不同方法；第二類從高二年級選一個班，有7種不同的方法；第三類從高三年級選1個班，有8種不同方法．由分類加法計數(shù)原理，共有6＋7＋8＝21種不同的選法．(4分)(2)每種選法分三步：第一步從高一年級選一個班，有6種不同方法；第二步從高二年級選1個班，有7種不同方法；第三步從高三年級選1個班，有8種不同方法．由分步乘法計數(shù)原理，共有6×7×8＝336種不同的選法．(8分)(3)分三類，每類又分兩步．第一類從高一、高二兩個年級各選一個班，有6×7種不同方法；第二類從高一、高三兩個年級各選1個班，有6×8種不同方法；第三類從高二、高三年級各選一個班，有7×8種不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146種不同選法．(12分)16．(12分)已知(a2＋1)n的展開式中各項系數(shù)之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5的展開式的常數(shù)項，并且(a2＋1)n的展開式中系數(shù)最大的項等于54，求a的值．解：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))5展開式的常數(shù)項為Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝16，(a2＋1)n展開式的系數(shù)之和2n＝16，n＝4.(6分)∴(a2＋1)n展開式的系數(shù)最大的項為Ceq\o\al(2,4)(a2)2×12＝6a4＝54，∴a＝±eq\r(3).(12分)17．(12分)某班要從5名男生3名女生中選出5人擔任5門不同學科的課代表，請分別求出滿足下列條件的方法種數(shù)：(1)所安排的女生人數(shù)必須少于男生人數(shù)；(2)其中的男生甲必須是課代表，但不能擔任數(shù)學課代表；(3)女生乙必須擔任語文課代表，且男生甲必須擔任課代表，但又不能擔任數(shù)學課代表．解：(1)所安排的女生人數(shù)少于男生人數(shù)包括三種情況，一是2個女生，二是1個女生，三是沒有女生，依題意得(Ceq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(3,5))Aeq\o\al(5,5)＝5520種．(4分)(2)先選出4人，有Ceq\o\al(4,7)種方法，連同甲在內，5人擔任5門不同學科的課代表，甲不擔任數(shù)學課代表，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)種方法，∴方法數(shù)為Ceq\o\al(4,7)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝3360種．(8分)(3)由題意知甲和乙兩個人確定擔任課代表，需要從余下的6人中選出3個人，有Ceq\o\al(3,6)＝20種結果，女生乙必須擔任語文課代表，則女生乙就不需要考慮，其余的4個人，甲不擔任數(shù)學課代表，∴甲有3種選擇，余下的3個人全排列共有3Aeq\o\al(3,3)＝18；綜上可知共有20×18＝360種．(12分)18．(14分)已知(eq\r(3,x)＋x2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x－1)n的展開式的二項式系數(shù)和大992，求在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2n的展開式中，(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)的絕對值最大的項．解：由題意22n－2n＝992，解得n＝5.(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，即T6＝T5＋1＝Ceq\o\al(5,10)(2x)5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))5＝－8064.(6分)(2)設第r＋1項的系數(shù)的絕對值最大，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(2x)10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,10)210－rx10－2r，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,10)210－r≥C\o\