幾何方法在大學數(shù)學教學中的應(yīng)用

幾何方法在大學數(shù)學教學中的應(yīng)用在大學數(shù)學的課堂教學中，怎樣應(yīng)用幾何方法培養(yǎng)學生的邏輯與直觀相結(jié)合的完備的思維能力體系，是一個值得研究的問題。大學數(shù)學課程是高等教育各個環(huán)節(jié)的必修課程，它在高等教育經(jīng)過中占領(lǐng)非常主要的地位。該課程具有高度的抽象性，學生在學習經(jīng)過中難免會碰到些困難。以往的大學數(shù)學教學往往太多地關(guān)注結(jié)論的推理和演繹，卻忽視了數(shù)學科學的直觀性。通常以為，邏輯與直觀是數(shù)學思維的兩大來源，二者是相輔相成的，缺一不可。抽象離開了直觀是不會走得太遠的，同樣在抽象中假如看不出直觀，說明還沒有把握住問題的本質(zhì)[1]。在教學經(jīng)過中，我們應(yīng)該對直觀性的數(shù)學思維方法給予一定的看重，能夠適當?shù)匾M幾何直觀，用幾何方法或結(jié)論來幫助學生理解問題的產(chǎn)生、得出的結(jié)論等。從某種水平上來說，幾何直觀比嚴格的邏輯推理更主要。我們將從幾個方面來論述怎樣有效地在大學數(shù)學課堂教學中引進幾何直觀，怎樣利用幾何直觀來理解概念、解決問題。一幾何方法在高等課程中的應(yīng)用高等數(shù)學課程是大學生進入大學校門的第一門理工科課程，它對各專業(yè)后繼課程的學習有主要的作用，它是學習后繼課程的需要預備和理論基礎(chǔ)，在高等教育中占領(lǐng)主要地位。但是，這門課程留給歷屆學生的印象往往是“抽象〞“枯燥〞“晦澀難懂〞。為什么會出現(xiàn)這種情況，這是值得教育工作者，尤其是站在教學一線的廣闊老師深思的問題。在以往的教學經(jīng)過中，我們只重視結(jié)論的邏輯推理，忽視了問題具有直觀性的幾何意義。無論多么嚴格的邏輯推理，只是使學生相信結(jié)論的正確性，但不具有啟發(fā)性。我們在引導學生解決問題時，要留意適當?shù)匾M幾何直觀，開拓學生的視野，構(gòu)成直觀性與抽象性相結(jié)合的思維體系。我們僅舉一例說明幾何直觀在高等數(shù)學課程中的作用。例求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短間隔。關(guān)于這個問題，我們采取兩種不同的方法解決，其中之一是利用條件極值的方法[2]，不牽涉幾何直觀方法，而另一種采取幾何直觀，再將這兩種方法加以比較。方法一：設(shè)P(x，y，z)為旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2上任一點，則P到平面x+y-2z=2的間隔為：d=|x+y-2z-2|。于是問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)f(x，y，z)=(x+y-2z-2)2在約束條件z=x2+y2下的極值。作拉格朗日輔助函數(shù)：F(x，y，z，λ)=(x+y-2z-2)2-λ(x2+y2-z)。令F=2(x+y-2z)-2λx=0，F(xiàn)=2(x+y-2z)-2λy=0，F(xiàn)x=2(x+y-2z)(-2)+λ=0，F(xiàn)=x+y-z=0.經(jīng)過繁瑣的計算，得上述拉格朗日函數(shù)的唯一駐點：x=y=，z=，λ=1。將上述駐點代入間隔d=|x+y-2z-2|，再由實際意義知最小值存在，于是得到旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短間隔為。上述解答看似簡單，但計算量較大，尤其是求駐點的經(jīng)過特別繁瑣。我們再來看下一方法。方法二：由幾何直觀，若旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2上點P(x，y，z)到平面x+y-2z=2的間隔最短，則旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2在點P(x，y，z)的法向量平行于平面x+y-2z=2的法向量。但是很容易求得旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2在點P(x，y，z)的法向量為(2x，2y，-1)，平面x+y-2z=2的法向量為(1，1，-2)。因而：==。進而解得x=y=。再將上述解代入旋轉(zhuǎn)拋物面的方程得z=。于是將上述三個變量的值代入點到平面的間隔公式得到旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短間隔d=。我們將上述兩種解法加以比較，發(fā)現(xiàn)第一種解法運用條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，計算量很大。而第二種解法在幾何直觀方法的幫助下，計算量很小，幾乎借助于心算就能解決問題。而且這種方法具有一定的普遍意義，例如用此方法能夠解決閉曲面上到平面的最短和最長間隔，等等，而第一種方法不一定湊效。其次，第二種方法所使用的直觀性數(shù)學思維，是數(shù)學學習和研究的最主要的思維方法之一，它有助于學生構(gòu)成抽象與直觀相結(jié)合的完備的數(shù)學思維方法，而這恰是新的形勢下社會對高等教育提出的新的要求，值得高等教育從業(yè)者鼎力提倡。二幾何方法在數(shù)理統(tǒng)計課程中的應(yīng)用通常以為，統(tǒng)計學與純數(shù)學的關(guān)系不大，以至國內(nèi)外有些學者以為統(tǒng)計學不屬于數(shù)學的范疇。但統(tǒng)計學是較多地將數(shù)學作為基本工具的學科是沒有爭議的。其實，不僅傳統(tǒng)的微積分等在統(tǒng)計學中運用較多，幾何學在統(tǒng)計學中也有用武之地。不僅如此，在統(tǒng)計學中，如能恰當?shù)厥褂脦缀螌W，往往能起到事半功倍的作用。教育工作者在從事統(tǒng)計學教學時，也要有意識地利用幾何直觀方法來培養(yǎng)學生的直觀思維能力。這往往有助于學生更深刻地理解統(tǒng)計學中的概念和方法，有助于學生理解和考慮知識間的聯(lián)絡(luò)，養(yǎng)成質(zhì)疑和批判的習慣。這比承受知識更主要。我們也舉一例說明幾何方法在統(tǒng)計學中的主要性。例考察n個獨立的隨機變量，它們均服從正態(tài)分布，均值分別為μ1，μ2，…，μm方差均為σ2但未知。設(shè)k1，k2，…，kn，為n個不全為零的常數(shù)，求kμ的置信系數(shù)為1-α的置信區(qū)間。這個問題用傳統(tǒng)的統(tǒng)計學方法解決不難[3]。我們留意到，上述k1，k2，…，kn，是n個特定的常數(shù)。但是事實上我們往往要估計的不只是μ1，μ2，…，μm的一個線性組合，而是要同時估計μ1，μ2，…，μm的若干個線性組合，例如μ1-μ2，μ1+μ2-μ3及μ1+μ2-μ3等等。這時運用統(tǒng)計學的傳統(tǒng)方法就會顯得非常困難，以至不能解決問題。下面我們從幾何直觀來考察這個問題，從中我們能夠看出幾何直觀方法的有效性。設(shè)X1j，X2j，…，Xmj，是來自總體N(μj，σ2)的樣本，樣本大小為m。記Xj=Xij。我們知道，隨機變量服從自在度n為的卡方分布χ2(n)。且由于上述隨機變量僅僅僅是X1，…，Xm函數(shù)，那么隨機變量與隨機變量V=(X-)2互相獨立。故隨機變量F=服從自在度為n和n(m-1)的F-分布。對于很小的正數(shù)a，查表可求得知足P(F≤d)=1-a即P[(-μ)2≤]=1-a的常數(shù)d的值。留意到上式中的(-μ)是幾何學中n維歐式空間兩點之間的間隔函數(shù)的平方，即點(μ1，μ2，…，μm)與隨機點(X1，X2，…，Xm)之間的間隔平方，因而我們根據(jù)這個特征從幾何學的直觀性角度考慮這個問題。在n維歐式空間中，過點(μ1，μ2，…，μm)的超平面方程為：k1(x1-μ1)+k2(x2-μ2)+…+kn(xn-μn)=0，其中k1，k2，…，kn，是n個不全為零的常數(shù)。點(X1，X2，…，Xm)到該超平面的間隔平方為：。幾何直觀告訴我們，隨機點(X1，X2，…，Xm)與點(μ1，μ2，μm)之間的間隔是點(X1，X2，…，Xm)到形如k1(x1-μ1)+k2(x2-μ2)+…+kn(xn-μn)=0的平面之間的最大間隔，k1，k2，…，km取遍n個不全為零實數(shù)。因而不等式(X-μ)≤成立0當且僅當不等式≤對任何不全為零的實數(shù)k1，k2，…，km成立。于是對任意不全為零的實數(shù)k1，k2，…，km，kiμi的置信系數(shù)為1-a的置信區(qū)間為：(kiXj-，kX+)(*)于是我們利用幾何直觀性思維很容易地解決了這樣一個傳通通計學方法很難解決的問題。但在實際應(yīng)用中，我們一般只需求得有限個線性組合kiμi的置信區(qū)間。上述方法不僅能夠做到求置信區(qū)間，而且置信系數(shù)更高層次。設(shè)事件A為對任意實數(shù)組k1，k2，…，km，kiμi，kiμi的置信區(qū)間為(*)式，事件B為對有限實