新高考數(shù)學(xué)專題27 函數(shù)單調(diào)性含參問題的研究（教師版）

專題27函數(shù)單調(diào)性含參問題的研究一、題型選講題型一、含參區(qū)間的討論求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)——解含參不等式，而定義域?qū)Φ南拗朴袝r(shí)會簡化含參不等式的求解。當(dāng)參數(shù)的不同取值對下一步的影響不相同時(shí)，就是分類討論開始的時(shí)機(jī)。當(dāng)參數(shù)扮演多個(gè)角色時(shí)，則以其中一個(gè)為目標(biāo)進(jìn)行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進(jìn)行進(jìn)一步的分類。例1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【解析】．令，得x=0或.若a>0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a=0，在單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.變式1、（2019·夏津第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，①?dāng)，即時(shí)，由得或，由得，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；②當(dāng)，即時(shí)，所以在上是增函數(shù)；③當(dāng)，即時(shí)，由得或，由得，所以在，.上是增函數(shù)，在.上是減函綜上可知：當(dāng)時(shí)在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在.上是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減.變式2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;【解析】(1)，當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，解得，由于時(shí)，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，故，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..變式3、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?,令,得或,因?yàn)?當(dāng)或時(shí),,單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以的增區(qū)間為,；減區(qū)間為變式4、（2020屆山東省臨沂市高三上期末）函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；【解析】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；題型二、給定區(qū)間的單調(diào)性已知在某區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)范圍問題，其思路為通過導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化成為不等式恒成立或不等式能成立問題，進(jìn)而求解，要注意已知函數(shù)單調(diào)遞增（減）時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)（），勿忘等號。例2、【2019年高考北京理數(shù)】設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.變式1、（2020屆山東省濰坊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）已知函數(shù).若在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；【解析】在上是單調(diào)遞增函數(shù),在上，恒成立，即：設(shè)，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，，即.變式2、(2018無錫期末）若函數(shù)f(x)＝(x＋1)2|x－a|在區(qū)間[－1，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞))【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)由于條件中函數(shù)的解析式比較復(fù)雜，可以先通過代數(shù)變形，將其化為熟悉的形式，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及圖像，再根據(jù)圖像變換的知識得到函數(shù)f(x)的圖像進(jìn)行求解．函數(shù)f(x)＝(x＋1)2|x－a|＝|(x＋1)2(x－a)|＝|x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a|.令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，則g′(x)＝3x2＋(4－2a)x＋1－2a＝(x＋1)(3x＋1－2a)．令g′(x)＝0得x1＝－1，x2＝eq\f(2a－1,3).①當(dāng)eq\f(2a－1,3)<－1，即a<－1時(shí)，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<eq\f(2a－1,3)或x>－1；令g′(x)<0，解得eq\f(2a－1,3)<x<－1.所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2a－1,3)))，(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，－1)).又因?yàn)間(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(2a－1,3)))，(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間是(－∞，a)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，－1))，滿足條件，故a<－1(此種情況函數(shù)f(x)圖像如圖1)．,圖1)②當(dāng)eq\f(2a－1,3)＝－1，即a＝－1時(shí)，f(x)＝|(x＋1)3|，函數(shù)f(x)圖像如圖2，則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－1)，滿足條件，故a＝－1.,圖2)③當(dāng)eq\f(2a－1,3)>－1，即a>－1時(shí)，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<－1或x>eq\f(2a－1,3)；令g′(x)<0，解得－1<x<eq\f(2a－1,3).所以g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，＋∞))，單調(diào)減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2a－1,3))).又因?yàn)間(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2a－1,3)))，(a，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a－1,3)，a))，要使f(x)在[－1，2]上單調(diào)遞增，必須滿足2≤eq\f(2a－1,3)，即a≥eq\f(7,2)，又因?yàn)閍>－1，故a≥eq\f(7,2)(此種情況函數(shù)f(x)圖像如圖3)．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，＋∞)).,圖3)二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2018年泰州期中），若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______【答案】【解析】：，有已知條件可得：，使得，即，只需，而，所以2、【2018年高考天津理數(shù)】已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【解析】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.3、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；【解析】（1）的定義域?yàn)椋?（i）若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.（ii）若，令得，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.4、（2020屆山東省九校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)，（1）求的極值；（2）若時(shí)，與的單調(diào)性相同，求的取值范圍；【解析】：（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以有極小值，無極大值.（2）由（1）知，在單調(diào)遞增.則在單調(diào)遞增，即在恒成立，即在恒成立，令，；，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又時(shí)，，所以，∴.5、（2020屆山東省德州市高三上期末）