習(xí)題：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線y2＝－8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()．A．(2，0)B．(－2，0)C．(4，0)D．(－4，0)解析依題意，拋物線開口向左，焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，由2p＝8得eq\f(p,2)＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，0)，故選B.答案B2．若拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()．A．(8，8)B．(8，－8)C．(8，±8)D．(－8，±8)解析設(shè)P(xP，yP)，∵點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線x＝－2的距離，∴xP＝8，yP＝±8，故選C.答案C3．以雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()．A．y2＝16xB．y2＝－16xC．y2＝8xD．y2＝－8x解析由雙曲線方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，可知其焦點(diǎn)在x軸上，由a2＝16，得a＝4，∴該雙曲線右頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，0)，∴拋物線的焦點(diǎn)為F(4，0)．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，則由eq\f(p,2)＝4，得p＝8，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x.答案A4．設(shè)拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是________．解析由拋物線的方程得eq\f(p,2)＝eq\f(4,2)＝2，再根據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.答案65．若直線ax－y＋1＝0經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1.答案－16．根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程是y＝3；(2)過點(diǎn)P(－2eq\r(2)，4)；(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\r(2).解(1)由準(zhǔn)線方程為y＝3知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，且eq\f(p,2)＝3，則p＝6，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y.(2)∵點(diǎn)P(－2eq\r(2)，4)在第二象限，∴設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，將點(diǎn)P(－2eq\r(2)，4)代入y2＝－2px，得p＝2eq\r(2)；代入x2＝2py，得p＝1.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－4eq\r(2)x或x2＝2y.(3)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為eq\r(2)，得p＝eq\r(2)，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2eq\r(2)x，y2＝－2eq\r(2)x，x2＝2eq\r(2)y或x2＝－2eq\r(2)y.7．動點(diǎn)到點(diǎn)(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點(diǎn)的軌跡是()．A．橢圓B．雙曲線C．雙曲線的一支D．拋物線解析已知條件可等價(jià)于“動點(diǎn)到點(diǎn)(3，0)的距離等于它到直線x＝－3的距離”，由拋物線的定義可判斷，動點(diǎn)的軌跡為拋物線，故選D.答案D8．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點(diǎn)P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()．A．2B．3\f(11,5)\f(37,16)解析直線l2：x＝－1為拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到l2的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn)F(1，0)的距離，故本題化為在拋物線y2＝4x上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn)F(1，0)和直線l1的距離之和最小，最小值為F(1，0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即dmin＝eq\f(|4－0＋6|,5)＝2，故選擇A.答案A9．已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為________．解析由拋物線方程y2＝2px(p>0)，得其準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，又圓的方程為(x－3)2＋y2＝16，∴圓心為(3，0)，半徑為4.依題意，得3－(－eq\f(p,2))＝4，解得p＝2.答案210．拋物線y＝－eq\f(1,4)x2上的動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F(0，－1)，E(1，－3)的距離之和的最小值為________．解析將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－4y，可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－1)，－3<－eq\f(1,4)，所以點(diǎn)E(1，－3)在拋物線的內(nèi)部，如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，過M點(diǎn)作MP⊥l于點(diǎn)P，過點(diǎn)E作EQ⊥l于點(diǎn)Q，由拋物線的定義可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在EQ上時(shí)取等號，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距離之和的最小值為4.答案411．已知動圓M經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，且與直線l：x＝－3相切，求動圓圓心M的軌跡方程．解法一設(shè)動點(diǎn)M(x，y)，設(shè)⊙M與直線l：x＝－3的切點(diǎn)為N，則|MA|＝|MN|，即動點(diǎn)M到定點(diǎn)A和定直線l：x＝－3的距離相等，所以點(diǎn)M的軌跡是拋物線，且以A(3，0)為焦點(diǎn)，以直線l：x＝－3為準(zhǔn)線，∴eq\f(p,2)＝3，∴p＝6.∴圓心M的軌跡方程是y2＝12x.法二設(shè)動點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M的軌跡是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即eq\r(（x－3）2＋y2)＝|x＋3|，化簡，得y2＝12x.∴圓心M的軌跡方程為y2＝12x.12．(創(chuàng)新拓展)設(shè)F(1，0)，點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)P在y軸上，且(1)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡C的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲線C上除去原點(diǎn)外的不同三點(diǎn)，且成等差數(shù)列，當(dāng)線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3，0)時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．解(1)設(shè)N(x，y)，由得點(diǎn)P為線段MN的中點(diǎn)，∴P(0，eq\f(y,2))，M(－x，0)，∴＝(－x，－eq\f(y,2))，＝(1，－eq\f(y,2))．由＝－x＋eq\f(y2,4)＝0，得y2＝4x.即點(diǎn)N的軌跡方程為y2＝4x.(2)由拋物線的定義，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，∵成等差數(shù)列，∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝eq\f(x1＋x3,2).∵線段AD的中點(diǎn)為(eq\f(x1＋x3,2)，eq\f(y1＋y3,2))，且線段AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(3，0)，∴線段AD的垂直平分線的斜率為k＝eq\f(\f(y1＋y3,2)－0,\f(x1＋x3,2)－3).又kAD＝eq\f(y3－