中考數(shù)學(xué)專題講義-四點(diǎn)共圓模型

中考數(shù)學(xué)專題講義-四點(diǎn)共圓模型中考數(shù)學(xué)專題講義-四點(diǎn)共圓模型中考數(shù)學(xué)專題講義-四點(diǎn)共圓模型中考數(shù)學(xué)專題講義-四點(diǎn)共圓模型編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:共圓模型模型1共端點(diǎn)，等線段模型如圖①，出現(xiàn)“共端點(diǎn)，等線段”時(shí)，可利用圓定義構(gòu)造輔助圓．如圖②，若OA＝OB＝OC，則A、B、C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上．如圖③，常見結(jié)論有：∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC.模型分析∵OA＝OB＝OC.∴A、B、C三點(diǎn)到點(diǎn)O的距離相等．∴A、B、C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上．∵∠ACB是的圓周角，∠AOB是的圓心角，∴∠ACB＝∠AOB.同理可證∠BAC＝∠BOC.（1）若有共端點(diǎn)的三條線段，可考慮構(gòu)造輔助圓．（2）構(gòu)造輔助圓是方便利用圓的性質(zhì)快速解決角度問題．模型實(shí)例如圖，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB＝AC，AC＝AD，連接BD．求證：∠1＋∠2＝90°.證明證法一：如圖①，∵AB＝AC＝AD．∴B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的⊙A上．∴∠ABC＝∠2.在△BAC中，∵∠BAC＋∠ABC＋∠2＝180°,∴2∠1＋2∠2＝180°.∴∠1＋∠2＝90°.證法二：如圖②，∵AB＝AC＝AD．∴∠BAC＝2∠1．∵AB＝AC，∴B、C、D在以A為圓心，AB為半徑的⊙O上．延長BA與圓A相交于E，連接CE．∴∠E＝∠1．（同弧所對(duì)的圓周角相等．）∵AE＝AC，∴∠E＝∠ACE.∵BE為⊙A的直徑，∴∠BCE＝90°．∴∠2＋∠ACE＝90°.∴∠1＋∠2＝90°.小猿熱搜1．如圖，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，在△ABC的外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AP軸對(duì)稱，連接BD、CD，CD與AP交于點(diǎn)E．求證：∠1＝∠2．證明∵A、D關(guān)于AP軸對(duì)稱，∴AP是BD的垂直平分線．∴AD＝AB，ED＝EB．又∵AB＝AC.∴C、B、D在以A為圓心，AB為半徑的圓上．∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD.∴∠2＝2∠EDB.又∵∠1＝2∠CDB.∴∠1＝∠2.2．己知四邊形ABCD，AB∥CD，且AB＝AC＝AD＝a，BC＝b，且2a＞b，求BD的長．解答以A為圓心，以a為半徑作圓，延長BA交⊙A于E點(diǎn)，連接ED．∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∠DAE＝∠CDA.∵AC＝AD，∴∠DCA＝∠CDA.∴∠DAE＝∠CAB.在△CAB和△DAE中．∴△CAB≌△DAE.∴ED＝BC＝b∵BE是直徑，∴∠EDB＝90°.在Rt△EDB中，ED＝b，BE＝2a，∴BD＝＝＝．模型2直角三角形共斜邊模型模型分析如圖①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊，取AB中點(diǎn)O，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，可得：OC=OD=OA=OB，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓．共斜邊的兩個(gè)直角三角形，同側(cè)或異側(cè)，都會(huì)得到四點(diǎn)共圓；四點(diǎn)共圓后可以根據(jù)圓周角定理得到角度相等，完成角度等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是證明角度相等重要的途徑之一．模型實(shí)例例１如圖，AD、BE、CF為△ABC的三條高，H為垂線，問：圖中有多少組四點(diǎn)共圓？求證：∠ADF＝∠ADE．解答６組①C、D、H、E四點(diǎn)共圓，圓心在CH的中點(diǎn)處；②D、B、F、H四點(diǎn)共圓，圓心在BH的中點(diǎn)處；③A、E、H、F四點(diǎn)共圓，圓心在AH的中點(diǎn)處；④C、B、F、E四點(diǎn)共圓，圓心在BC的中點(diǎn)處；⑤B、A、E、D四點(diǎn)共圓，圓心在AB的中點(diǎn)處；⑥C、D、F、A四點(diǎn)共圓，圓心在AC的中點(diǎn)處．（２）如圖，由B、D、H、F四點(diǎn)共圓，得∠ADF=∠1.同理：由A、B、D、E四點(diǎn)共圓，得∠ADE=∠１.∴∠ADF＝∠ADE．例２如圖，E是正方形ABCD的邊AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E作DE的垂線交∠ABC的外角平分線于點(diǎn)F，求證：FE=DE.解答如圖，連接DB、DF.∵四邊形ABCD是正方形，且BF是∠CBA的外角平分線，∴∠CBF=45°，∠DBC=45°，∴∠DBF=90°．又∵∠DEF=90°，∴D、E、B、F四點(diǎn)共圓．∴∠DFE=∠DBE=45°（同弧所對(duì)的圓周角相等）．∴△DEF是等腰直角三角形．∴FE=DE．1.如圖，銳角△ABC中，BC.CE是高線，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F，求證：證明：由于Rt△BCE與Rt△BCD共斜邊BC，∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓．∴∠DBC=∠DEG，同理，Rt∠EDF與Rt△DGE共斜邊DE，∴D、E、F、G四點(diǎn)共圓．于是∠DEG=∠DFG，因此，∠DBC=∠DFG．于是FG∥BC2.如圖，BE.CF為△ABC的高，且交于點(diǎn)H,連接AH并延長交于BC于點(diǎn)D,求證：AD⊥BC.3.如圖，等邊△PQR內(nèi)接于正方形ABCD,其中點(diǎn)P,Q,R分別在邊AD,AB,DC上，M是QR的中點(diǎn).求證：不論等邊△PQR怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為不動(dòng)點(diǎn).4.如圖，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分線，且TD⊥AB,TE⊥AC.求證：∠AHD=∠AHE.證明：（1）∵∠ADT=∠AHT=∠AET=90°，

∴D，E，H在以AT為直徑的圓上，

∴∠AHD=∠ATD，∠AHE=∠ATE，

又∵AT是角平分線，TD⊥AB，TE⊥AC，

∴∠ATD=∠ATE，

∴∠AHD=∠AHE．補(bǔ)充：】8、女人固然是脆弱