立體幾何知識點(diǎn)講解

①棱柱<底面<棱F、、ABD'玄C巳『側(cè)面立體幾何（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體一一由若干個平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。①棱柱<底面<棱F、、ABD'玄C巳『側(cè)面棱柱1.1棱柱一一有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系：I斜棱柱I—底面是正多形T正棱柱棱垂直于底面>直棱柱<1其他棱柱...②四棱柱|底面為平行四邊形平行六面體正四棱柱側(cè)棱與底面邊長相等側(cè)棱垂直于底面I直平行六面體底面為矩形長方體底面為正方形1.3棱柱的性質(zhì):正方體_/CB側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形;③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；④直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對角面是矩形。1.棱柱.⑴①直棱柱側(cè)面積：S=Ch（C為底面周長，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.斜棱住側(cè)面積：S=C1/（^是斜棱柱直截面周長，l是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.⑵｛四棱柱｝D｛平行六面體｝D｛直平行六面體｝D｛長方體｝D｛正四棱柱｝D｛正方體｝.｛直四棱柱｝C｛平行六面體｝=｛直平行六面體｝.四棱喘%行六面雌面如平行六面矩是長方體甥形正四棱柱器邊長相等方本3.棱錐3.1棱錐一一有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐一一如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質(zhì)：平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；正棱錐中六個元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構(gòu)成四個直角三角形。）（如上圖：4S0B,4S0HSBHOBH為直角三角形）二點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（一）平面的基本性質(zhì)1.平面一一無限延展，無邊界三個定理與三個推論公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。用途：常用于證明直線在平面內(nèi)公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個平面.???推論1：直線與直線外的一點(diǎn)確定一個平面.推論2：兩條相交直線確定一個平面.推論3：兩條平行直線確定一個平面.用途：用于確定平面。公理3：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線（兩個平面的交線）.用途：常用于證明線在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線上.形語言，文字語言，符號語言的轉(zhuǎn)化：圖形語言文字蓄啟符號蓄言（二）空間圖形的位置關(guān)系as喜霎喧!即1.空間直線的位置關(guān)系:（二）空間圖形的位置關(guān)系as喜霎喧!即1.空間直線的位置關(guān)系:共面:ap|b二A,a//b異面:a與b異面平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述：a//b,b//cna//c異面直線：（1）定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線異面直線；（2）判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個平面內(nèi)不過此點(diǎn)的直線是異面直線。圖形語言:符號語言:AeaauaAwa異面直線所成的角：（1）范圍：ee（0。,90°］；圖形語言:符號語言:AeaauaAwa異面直線所成的角：（1）范圍：ee（0。,90°］；方向相同方向不相同1異面直線所成角的求法：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線;（二面角的取值范圍Oel,180。））（直線與直線所成角0e（）o,90」）（斜線與平面成角0e（0。,90。））（直線與平面所成角eek,90。］）（向量與向量所成角ee［0o,180。］）推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.l,1是異面直線，則過l,1外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與l,l都平行平面有一個或沒有，但與W2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).lua2?直線與平面的位置關(guān)系：［l次0a"l//a圖形語言:aaZSO平行：a//。aaZSO3.平面與平面的位置關(guān)系：〈（三）平行關(guān)系（包括線面平行，面面平行）1.線面平行：定義：直線與平面無公共點(diǎn).a//ba//a②判定定理：aaa}na//a（線線平行n線面平行）③性質(zhì)定理：au。}na//b（線面平行n線線平行）buaa//b④判定或證明線面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）：1^a=0nl//a（用于判斷）；（ii）判定定理：a^a\na//abua“線線平行n面面平行”（用于證明）；（iii）a//。aua}na//。“面面平行n線面平行”（用于證明）;a//b“線線平行n面面平行”（用于證明）；（iii）a//。aua}na//。“面面平行n線面平行”（用于證明）;b1a（4）b1a}na//a（用于判斷）；aaa2.線面斜交：lf1a=A直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角。尸。1a于O,則AO是PA在平面a內(nèi)的射影，則ZPAO就是直線PA與平面a所成的角。范圍：0g[0o,90o]，注：若lua或l//a，則直線l與平面a所成的角為0°；若11a，則直線l與平面a所成的角為90°。3.面面平行：①定義：a「P=0na//。；②判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行；符號表述：a,bua,ap|b=O,a//a,b//ana//?！救缦聢D①】??a??a圖①圖②推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行符號表述：a,bua,a「b=O,a',b'u。,a//a',b//b'na//?！救缟蠄D②】判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：ala,a±P^a//。.【如右圖】③判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2④面面平行的性質(zhì)：（1）a//。、}naauaa〃p]//P（面面平行n線面平行）；（2）aCly=a>na//b；（面面平行n線線平PISb行）（3）判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：ala,a±P^a//。.【如右圖】③判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2④面面平行的性質(zhì)：（1）a//。、}naauaa〃p]//P（面面平行n線面平行）；（2）aCly=a>na//b；（面面平行n線線平PISb行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等?！救鐖D】（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）①定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。符號表述：若任意aua，都有11a，且l二a，則lla.a,buaa^b=O②判定定理：l*\nlla(線線垂直n線面垂直)11a11b③性質(zhì)：（1）lla,auan11a（線面垂直n線線垂直）；（2）a1a,blana//b；④證明或判定線面垂直的依據(jù)：（】）定義（反證）；⑵判定定理（常用）；（3）alUnbla（較常用）；⑷a〃饑alaalPa。p=b\nalP；(5)auaalb>nalp（面面垂直n線面垂直）常用;⑤三垂線定理及逆定理：（I）斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段與斜線段中，POla（1）斜線相等=射影相等；（2）斜線越長=射影越長；（3）垂線段最短。【如圖】PB=PCoOB=OC；PA〉PBoOA〉OB（II）三垂線定理及逆定理：已知POla，斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA，aua，若alOA，則alPA——垂直射影n垂直斜線，此為三垂線定理；若alPA，則alOA——垂直斜線n垂直射影，此為三垂線定理的逆定理；三垂線定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點(diǎn)到線的垂線段；（1）定義：若二面角a-1-p的平面角為90°，則a1p；（2）判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.aua

a1P>na1p（線面垂直n面面垂直）A⑶性質(zhì)：①若以上。，二面角的一個平面角為ZMON，則ZMON=90。；a1pap=AB②auaa1p、a1pc>naua或a//aa1PcAea1pap=AB②auaa1pc>naua或a//aa1Pa1AB空間角問題直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。。兩條異面直線所成的角駕空間任意一點(diǎn)中，不大于直鷺角異叫這兩條直平所行囂線/3'，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線；(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角?????叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn))，分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認(rèn)真觀察圖形的特性；三垂線法：已知二面角其中一個面內(nèi)一點(diǎn)到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直