江西財(cái)經(jīng)大學(xué)微積分試卷及答案

第第頁(yè)共6頁(yè)Az.已知方程xz+Iny=Inx確定函數(shù)z=f(x,y)，則一=.Ay.已知f(x)=sinx，則Jf(x)dx=.Jaarctanxdx.若lim—0=1,則Ua=.TOC\o"1-5"\h\zx-0x2.J”xe-xdx=.05若e=￡上，則級(jí)數(shù)X出1=.n!n!n=0n=2.交換二次積分次序J1dyJyf(x,y)dx+J2dyJ2-yf(x,y)dx=.0010.A2(x2-3x+1)=.三、求下列積分(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，每小題6分，共18分.)J—.?dx2.J—l^^^^^^dx3.Jiarctanxdx.x<x—10。4—x20四、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，8分.)A2Z設(shè)函數(shù)z=f(x+y,xsiny)，求dz和.AxAy五、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，6分.)求由曲線y=x2，直線y=2x所圍成的平面圖形的面積，并求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的立體的體積.六、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，6分.)求JJ(x-x2-y2)do，其中D:x2+y2<1.D七、判斷級(jí)數(shù)的斂散性，如收斂，指出是絕對(duì)收斂還是條件收斂(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，每小題6分，共12分.)￡(-1)n-12n2,￡上,n2nn+1n=1n=1八、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，8分.)求冪級(jí)數(shù)￡4(x+1)n的收斂半徑，收斂區(qū)間及和函數(shù).enn=1九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，8分.)某產(chǎn)品的產(chǎn)量Q與原材料甲，乙，丙的數(shù)量x,y,z(單位均為噸)滿足

Q=0.05qz，已知甲，乙，丙的價(jià)格分別為3,2,4(單位為百元)，若用5400元購(gòu)買(mǎi)甲，乙，丙三種原材料，問(wèn)購(gòu)買(mǎi)量分別是多少，可使產(chǎn)量最大.十、證明題(請(qǐng)寫(xiě)出推理步驟及結(jié)果，6分.)設(shè)函數(shù)f(x)是連續(xù)函數(shù)，證明：⑴f二、填空題(每小題2分，共14分.)1.--2.-sinx+cx+c3.士\24.1xy*12af(x二、填空題(每小題2分，共14分.)1.--2.-sinx+cx+c3.士\24.1xy*12(2)(fbf(x)dx)2<(b一a)fbf2(x)dx.aa=21-1-dt1=21-1-dt1+12=2arctant+cMl川IIH出分)=2arctan、、:'x-1+c（6分）22x222x27x=2sint工2dx=20<4-x20/Ir4sin212C0S7.2costdthJ兀.24sin2tdt0（2分）TOC\o"1-5"\h\z=2f2（1-cos21）dt（4分）0=2（t--sin21）2=冗（6分）203.J1arctanxdx=xarctanx1-J1—x_dx(2分)0001+X2兀1ln(1+x2)i(4分)420,1=—――ln2(6分)42HUHIII四、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，8分.)dz一=f(x+y,xsiny)+f(x+y,xsiny)?siny(2分)ax12=f'(x+y,xsiny)+f'(x+y,xsiny)?(xcosy)(4分)azazdz=—dx+—dy=[f(x

axayi+y,xsiny)+f'(x+y,xsiny)?sind]dx2+[f，(x+y,xsiny)+f'(x+y,xsiny)?(xcosy)]dy(6分)12=f"(x+y,xsiny)+xcosyf”(x+y,xsiny)+f”(x+y,xsiny)?siny111221+xcosysinyf"(x+y,xsiny)+cosyf'(x+y,xsiny)

222五、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，6分.)2n、，,1、4s=J2(2x-x2)dx=(x2-3x3)2=3(3分)I=/4((%/y)2-(y)2)dy=K(-2y2-^3”=|兀y0六、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，6分.)(6分)JJ(x-x2-y2)doD=J2兀d0J1(rcos0-r2)rdr00r3cos0-—r4)411dB0(4分)42俗分)七、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，每小題6分，共12分.)1.因?yàn)閘imLnf8un=limnf8(-1)n-1k(n+1)22n(-1)n-1_n2(3分)(6分)所以￡(-1)n-121(6分)n2n=1(-1)n-12.因?yàn)閘imnth=1,0<1<+s.nfsv'n而r發(fā)散，所以￡nn而r發(fā)散，所以￡nnn=1n=1(-1)n-1nn+1發(fā)散。(3分)￡音是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足蜀魯)曲?了胃=0n=1所以￡所以￡w收斂，且為條件收斂。n=1(6分)八、(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，8分宿“I設(shè)t=x+1,則￡(-1)n_(±±上=￡n=1enn=1,t、tn(-1)n一enR=limnfsa

n-an+1=limnfs(3分)en+1當(dāng)t=e，級(jí)數(shù)￡(-1)n巴=￡(-1)n發(fā)散n=1enn=1當(dāng)t=-e,級(jí)數(shù)￡(-1)n=1&=￡1發(fā)散enn=1收斂區(qū)間為-1-e<x<-1+e(6分)且￡(-1)nn=1(x+1)nen九、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用題(請(qǐng)寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果，8分.)(2分)拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)(x,y,z,入)=0.05xyz+入(3x+2y+4z-(2分)L(x,y,z,九)=0.05yz+31=0xL(x,y,z,1)=0.05xz+21=0由\_y,一…八L(x,y,z,1)=0.05xy+41=0zL;(x,y,z,1)=3x+2y+4z-54=01(5分)解得唯一駐點(diǎn)：x=6,y=9,z=4.5(7分)11“1所以購(gòu)買(mǎi)量分別是6,9,4.5噸時(shí)，可使產(chǎn)量最大.(8分)十、證明題(請(qǐng)寫(xiě)出推理步驟及結(jié)果，6分.)⑴J*2fl/(x)dx=Jaf(x)dx+f2af(x)dx00aJ2af(x)dxx==~t-J0f(2a-1)dt=Jaf(2a一x)dxana0.J=Jaf(x)dx+Jaf(2a—x)dx=Ja[f(x)+f(2a-x)]dx.(3分)0000(2)設(shè)D={(x,y)a<x<b,a<y<b})dbf(x)dx)2=Jbf(x)dx-Jbf(x)dx=Jbf(x)dx」bf(y)dy“1”川1II=JJf(x)f(y)dxdy<2JJ[f2(xHf2(y)]dxdyDD=—JJf2(x)dxdy+—JJf2(y)dxdy22Df2(x)dxJbdy+—Jbf2(y)dyJbdxa2aa(b-a)b(b-a)b=Jf2(x)dx+Jf2(y)dy2a2a=(b-a)Jbf2(x)dxa.二(Jbf(x)d