壓軸題四：相似三角形的分類討論問題

育才實驗學(xué)校九年級數(shù)學(xué)壓軸題庫(四)相似三角形的分類討論例1如圖10-5,已知矩形ABCD的邊長AB=3cm,BC=6cm.某一時刻，動點M從A點出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點勻速運動；同時，動點N從D點出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點勻速運動，問：(1)經(jīng)過多少時間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的1?(2)是否存在時刻看，使以A,M，N為頂點的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C(—3,0),點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，且滿足tOB2-3+|OA-1|=0.(1)求點A、點B的坐標(biāo)；(2)若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB由C向B運動，連結(jié)AP,設(shè)△ABP的面積為S,點P的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在(2)的條件下，是否存在點P,使以點A,B,P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例3已知在平面直角坐標(biāo)系中，點C在y軸上，以C為圓心，4cm為半徑的圓與x軸相交于點A,B,與y軸相交于點D,E,且同二同，點P是。C上一動點(點P與點A,B不重合)連BP,AP(1)求NBPA的度數(shù);(2)若過點P的。C的切線交x軸于點G,是否存在點P,使4ABP與以A,G,P為頂點的三角形相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。例4如圖1,已知拋物線的頂點為A(0,1),矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點B(0,2),且其面積為8.⑴求此拋物線的解析式;(2)如圖2,若P點為拋物線上不同于A的一點，連結(jié)PB并延長交拋物線于點Q,過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R.①求證：PB=PS；②判斷4SBR的形狀;③試探索在線段SR上是否存在點M,使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由.例5如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點0(0,0)八(4,0)用(5,5),點C是y軸負(fù)半軸上一點，直線l經(jīng)過B,C兩點，且tan/OCB=|(1)求拋物線的解析式；(2)求直線l的解析式；(3)過0,B兩點作直線，如果P是直線0B上的一個動點，過點P作直線PQ平行于y軸，交拋物線于點Q。問：是否存在點P，使得以P,Q,B為頂點的三角形與40BC相似？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。育才實驗學(xué)校九年級數(shù)學(xué)壓軸題庫（四）答案解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒r三AMN的面積等于矩形ABCD面積的1,9由導(dǎo)DN=2xrAN=6-2xrAM=xr1.1^^AK口中AE=3rBC=61，二AD=BO6PCD=AB=3F從而儂ABCD的面枳為AE-AD=三乂6=18r-AMN的面積=1工況.工施=L46-32期二3工一/『2 2可得方程r解得：X1=A,X2=2r所以，經(jīng)過做或2秒r三AMN的面積等于矩形ABCD面積的1;9(2)由題意得DN=2t,AN=6-2trAM=tr則有..ADCDr=-ANAM 6-2工x■導(dǎo)：x=L5;^^MNA-MOD(e-ADCDnn63則有 二 .「即—= AMJ\Nx6-2x解導(dǎo)：x=2.41所以?當(dāng)t=L5秒或24眇時,以A、皿N為頂點的三角形與-ACD相俱[1)[1)..^OB2-3+\OA-\\=0-.OB2-3=0f0A-\=0.OB=V5,OA=1點￡,點m分別在工軸,y軸的正半軸上，.'.a11>o)n,V5).t?）由［i）,得M=4,2=肝+t忑丫=2,HC=4+（括:=2也.-.AB2+BC2=2*2折=16=".，△州次直角三角形，ZABC=90a.t慢上打過祚雁_L〃于中.由白仃上1A。外易得雁=2./.5=^^A￡C-S&J1PZ=|X4X^-|X4Xi2^-t［o<t<2^）.［說明：不寫由范圍不扣分）13）存在，滿足條件的的有兩個.案-3,0）,（2「、gT，與垂\ 3 ,.例3解答：解：⑴根據(jù)垂徑定理得到弧EE二弧AE.年=［「貝I］弧EU=弧BE的￡倍,Alidu斯以劣弧ab的度數(shù)是1￡口。..".ZBPA=60°o^ZBPA=120o；圖L圖L圖3⑦設(shè)存在點F，使△APE與以點hG、F為頂點的三角形相似.①當(dāng)F在弧EM上時，（圖1）GF切DC于點F,，/GF加2FEM及丁/GAP是&ABF的外角，，/GAPA/BFLZGAF>ZFBA.欲使△APE與以點展G、F為頂點的三角形相似，^ZGAF=ZPAB=90",，EF為舊C的直徑.在Rt2\FAB中，ZBPA=600，F(xiàn)B=8,nAB=4^3,0k=2^3,F（243,4）

②當(dāng)F在強(qiáng)E即上時，(圖2)在△FAB和AGAf中，丁/FE丸是也GEF的外角，.".ZPBA>ZFGB,只「/FAB二/GAP,欲使△AFE與以點展G、F為頂點的三角形相似，須/AFE=2FGE,，GF切?匚于點F,.".ZGFB=ZPAG.由三角形內(nèi)角和定理知：ZABF=ZGBF).".ZABP=ZGEP=90°.在Rt2\FAB,ZBPA=60°，F(xiàn)FE,，F(xiàn)B=4,AB=4^，06=243,F(-￡萬，釘，工存在點F1位正，4八4T向妨使AAFE與以點聯(lián)G、F為頂點的三角形相似.解答：解：3)方法一：TE點坐標(biāo)為(0.2)，0B=2,;矩形CDEF面積為E,CF=4.，匚點坐標(biāo)為「￡，2).F點坐標(biāo)為⑵2)設(shè)拋物線的解析式為產(chǎn)型4b*+c.其過三點a(o-1)，c(-2.2)，F(xiàn)(2,2)"l=c得，2=4a-2b+c，^2=4a+2b+c解這個方程組，得&=5，b=0jc=l)4,此拋物線的解析式為y=12+l.但分)方法二：YE點坐標(biāo)為方法二：YE點坐標(biāo)為(0.2),丫矩形CDEF面積為8，.".CF=4.?"點坐標(biāo)為J?，2，根據(jù)題意可設(shè)拋物線解析式為廣-2+c.其過點丸Ml)和C(-2.2)產(chǎn)L2=4a+c解這個方程組，得共裂此拋物線解析式為尸.4②根據(jù)①同理可知②根據(jù)①同理可知BQ=QR.Z1=Z2,^■.■Z1=Z3,AZ2=Z3,同理2期F=/5行分).■.2Z5+2Z3=180°Z5+Z3=90°0度.「.△SER為直角三角形.魯分)(2)①證明：如圖(2)過點E作BILL器，垂足為II.??.F點在拋物線廣上.可設(shè)F點坐標(biāo)為(a,la2+l)4 406=113=2,BlT=-a.4.■■FN=PS-NS=la￡-l,4在RtAFHB中.FB2=FN2+BN2=(la2-l)2+a2=(la2+l)24 4.■，F(xiàn)B=FS=-!-a2+l.fB分)4⑤方法一：如圖⑶作MLF5,設(shè)FS=b,QR=j;由①知咫=FB=b.QR=QB=C!FQ=b+c.FN=b-c.QN2=SR2=(b+c)2-(b-c)2ASR=2jb^.(9分)假設(shè)存在點肌且MS=x，則MR=2質(zhì)-x.若使&FSMS&MEQ,則有三亞三XC即/-￡衽最s+bud■■■Ki=K￡=Jbc.■,■SR=2jb^■F為士血中點.⑴分)若使AFSMs&q嗣，則有三。;--■2bJbc■■Ji.— ■b+cI——.MR_2njbc-x——_1_c_QB_R0MSK bBPOSb+c點即為原點口.綜上斫述，當(dāng)點吊為士血中點時.△FSMs^meq；當(dāng)點M為原點時，AFSMcoAMRQ.門3分)方法二：若以F、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似,■.■ZFSM=ZMRQ=90°,.,.有△FSMsAMRQ和△FSMsAQRM兩種情況.當(dāng)AFSMs&M電時.ZSFM=ZRHQ,ZSMF=ZRQM.由直角三角形兩根角互余性質(zhì).知2FM±+/qMR=90度.，/FMQ=90度.（9分）（10分）取FQ中點為T.連接貝（10分），MN為直角梯形SRQF的中位線，.?.點M鄭瞰中點⑴分）.RM=1RM_QR_QBMSRM_QR_QBMS-PS-BP當(dāng)△FSMsAq劇時,VFS^OE^QR,■,點M為原點口.綜上斫述，當(dāng)點M為S瞰]中點時，APSMcoAMRQ；當(dāng)點M為原點時，AFSMcoAQRH.（13分）解答：解：門）?.?拋物線^="履+仃經(jīng)過點（口，

可設(shè)拋物線解析式為7==（X-4）,把E（5,5）代入,解潺共1，，拋物線解析式為7=乂工4"加分）0)，(4,0), (2)過點E作ED_L漸于點U.二點B的坐標(biāo)為（5,5），5-9-D-DB-CCD=9，0C=CD-0D=4.，點C坐標(biāo)為（0,-4）.△分）設(shè)直線工的解析式為廣池-4，把E⑸5）代入，得5=5X4,解得蠕.，直線1的解析式為產(chǎn)鼠九（2分）■J⑶當(dāng)點F在線段口吐（即口<x<5時），TFQ”通，.■■ZBFQ=ZB0C=135]f.當(dāng)囂二器時，APBQcoAOBC.這時，拋物線廣乂2■齷與直線工的交點就是滿足題意的點Q，,7q那公廣-4k二二「4,□解得乂-=5（舍去）jx2-f,■■.F-靖，F(xiàn)）；分）"J'J又當(dāng)卷二案時，&FQBS△口BC.■.■FB=42（5-x），F(xiàn)Q=x-（x2-4x）=5x-x2?0C=4,06=542-.亞后-x）_5*-*二整理得?*，15*+25=0，R解得x『5（舍去）jx2-2，RF■,■F-（nJ]）■分）當(dāng)點F在點口左側(cè)（即*<0=時），,?■FQ/海，，/EFQ=45。，&BFQ中不可能出現(xiàn)135。的角，這時以F,Q,E為頂點的三角形不可能與△口BC相