近代光信息處理-第6章課件

第六章光學(xué)小波變換6．1引言6．2從短時(shí)傅里葉變換到小波變換6．3小波變換的定義和性質(zhì)6．4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)6．5用多通道匹配濾波實(shí)現(xiàn)二維小波變換6．6光學(xué)小波變換匹配濾波器在圖像識(shí)別中的應(yīng)用6．7光學(xué)Haar小波變換和圖形邊緣探測(cè)12/2/20221光學(xué)信息處理第六章光學(xué)小波變換6．1引言12/1/20221光學(xué)6.1引言如果g(x)是一個(gè)時(shí)域或空域中分布在(-，)中的穩(wěn)恒過(guò)程或穩(wěn)定分布，則傅里葉分析給出了近乎完美的結(jié)果．然而，在自然界和科學(xué)技術(shù)中還有大量信號(hào)，它們具有局部的或定域的特性．例如語(yǔ)言信號(hào)、聲納信號(hào)、各種電脈沖等。這些信號(hào)只出現(xiàn)在一個(gè)短暫的時(shí)間問(wèn)隔內(nèi)，此后很快衰減到零，稱快速過(guò)程或暫態(tài)過(guò)程．一個(gè)很短暫的信號(hào)，可以稱為“小波”信號(hào)12/2/20222光學(xué)信息處理6.1引言如果g(x)是一個(gè)時(shí)域或空

對(duì)于局部信號(hào)或暫態(tài)過(guò)程，傅里葉分析就不完全適用．首先，我們僅對(duì)t內(nèi)的時(shí)間信號(hào)感興趣，沒有必要在過(guò)去、現(xiàn)在及未來(lái)的無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析；類似地，在處理定域于x內(nèi)的空間圖像時(shí)，也沒有必要對(duì)全平面內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行全面的分析．在許多情況下，在t或x以外的信號(hào)是未知的，它可能是零，也可能是背景噪聲；對(duì)它們我們不太了解，測(cè)不準(zhǔn)，或不感興趣．如不加選擇地把(-，)內(nèi)全部信號(hào)進(jìn)行傅里葉處理，還可能產(chǎn)生較大的誤差甚至錯(cuò)誤．此外，一個(gè)局部的信號(hào)在t或x以外較遠(yuǎn)處幾乎完全等于零．當(dāng)用它們的頻譜來(lái)恢復(fù)或重構(gòu)這些信號(hào)時(shí)，在t或x外很遠(yuǎn)處也會(huì)出現(xiàn)一些非零的分量，它們一般不是信號(hào)，而是在傅里葉逆變換中頻域綜合不夠充分而產(chǎn)生的噪聲．12/2/20223光學(xué)信息處理對(duì)于局部信號(hào)或暫態(tài)過(guò)程，傅里葉分析就不完全在一些課題中，我們往往不滿足于了解信號(hào)在全部區(qū)間內(nèi)的綜合的頻譜分布，而希望了解某一區(qū)間或某些區(qū)間內(nèi)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜．例如在地震勘探中，為了分辨分層的地層和礦床結(jié)構(gòu)，我們需要在時(shí)域和頻域中仔細(xì)分析不同時(shí)刻的信號(hào)在不同頻譜區(qū)間中的行為，而傅里葉分析只能提供在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的信號(hào)整體的頻譜，顯然不能滿足我們的要求．近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的小波分析，正好克服了傅里葉分析的上述缺點(diǎn)．它和傅里葉分析的一個(gè)重要區(qū)別，在于它恰恰適用于處理局部或暫態(tài)信號(hào)．因此，小波分析成為信號(hào)分析、圖像處理、數(shù)據(jù)壓縮、語(yǔ)音信號(hào)分析等領(lǐng)域中的重要工具；在地震勘探信號(hào)處理、邊緣探測(cè)、語(yǔ)音信號(hào)合成中則有特殊的用途．12/2/20224光學(xué)信息處理在一些課題中，我們往往不滿足于了解信號(hào)在全6.2從短時(shí)傅里葉變換到小波變換6.2.1短時(shí)傅里葉變換(STFT)

為了有效地提取一個(gè)局部信號(hào)g(x)的信息，引入一個(gè)局部化的變換．所謂局部化，包含兩個(gè)要素：第一，被分析的區(qū)間要有一定的寬度x，我們僅對(duì)x及其附近的信息進(jìn)行處理；第二，被分析的區(qū)間有一個(gè)中心坐標(biāo)xc，當(dāng)xc改變時(shí)，就可以提取不同的信息．12/2/20225光學(xué)信息處理6.2從短時(shí)傅里葉變換到小波變換6.2.1短時(shí)傅里葉變換為了實(shí)現(xiàn)局部化，一個(gè)有效的方案是在傅里葉變換中加一個(gè)窗函數(shù)w(x)：Gw(v,xo)=∞-∞g(x)exp(-i2vx)w(x-xo)dx(1)=[W(v)exp(-i2vxo)]*G(v)(2)式中W

和G

分別是w

和g

的傅里葉變換．只要w(x)和W(v)有足夠快的衰減速度，窗函數(shù)就是一個(gè)局部化的函數(shù)．函數(shù)f(x)和g(x)的內(nèi)積的定義

:(f(x),g(x))=∞-∞f(x)g(x)dx12/2/20226光學(xué)信息處理為了實(shí)現(xiàn)局部化，一個(gè)有效的方案是在傅里葉變換窗函數(shù)的中心xc定義:xc=(w(x),xw(x))/(w(x),w(x))=∞-∞w(x)xw(x)dx/∞-∞w(x)w(x)dx

式中(*,*)表示函數(shù)f和g的內(nèi)積．xc與xo不一定相等。窗函數(shù)的寬度則定義：

w=2[(w(x),(x-xc)2w(x))/(w(x),w(x))]1/2

=2[∞-∞w(x)(x-xc)2w(x)dx/∞-∞w(x)w(x)dx]1/2注意:它是節(jié)1.2.4中所定義的信號(hào)空域?qū)挾鹊膬杀丁?2/2/20227光學(xué)信息處理窗函數(shù)的中心xc定義:12/1/20227光學(xué)信息處理Gw(v,xo)=∞-∞g(x)exp(-i2vx)w(x-xo)dx(1)

由于窗函數(shù)具有局部處理的功能，因此(1)式定義的變換稱為短時(shí)傅里葉變換(STFT)．STFT和FT的一個(gè)重要區(qū)別:

頻率變量v和坐標(biāo)變量xo同時(shí)出現(xiàn)在變換函數(shù)中.

在STFT中，窗口寬度則隱含于Gw(v,xo)

內(nèi)，正是xo和窗口寬度w，使這一變換具有局部處理的功能．改變xo，窗口就在空域中移動(dòng)，以獲取不同區(qū)域的信息，xo

通常稱為位移因子；w

則限制了被處理空間的范圍．頻率窗中心：vc=(W(v),vW(v))/(W(v),W(v))(5)頻率窗寬度：

W=2[(W(v),(v-vc)2W(v)w(x))/(W(v),W(v))]1/2(6)12/2/20228光學(xué)信息處理Gw(v,xo)=∞-∞g(x)exp(-i2v當(dāng)w和W都有限時(shí)，我們稱函數(shù)w(x)在空域和頻域同時(shí)局部化．wW稱為空間-頻率窗，它限制了空域和頻域中被處理區(qū)域的范圍。根據(jù)w，W的定義及測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式，并注意信號(hào)寬度定義的區(qū)別，我們就有：wW≥1/(7)

當(dāng)高斯函數(shù)取為窗函數(shù)時(shí)，(7)式中的等式成立，這種情況下STFT具有最小處理區(qū)域．

STFT的局部性，其特征在于處理過(guò)程限制在空間-頻率窗內(nèi)進(jìn)行，且窗的位置是可變的，然而無(wú)論w還是W都是常數(shù)，不會(huì)隨信號(hào)中心頻率的變化而變化，這使STFT在處理一些奇異性的信號(hào)時(shí)顯得無(wú)力．恰恰是在這一點(diǎn)上，小波變換具備比STFT更強(qiáng)的功能．12/2/20229光學(xué)信息處理當(dāng)w和W都有限時(shí)，我們稱函數(shù)w(x)在6.2.2Gabor變換早在1946年，Gabor就提出了下面的變換

(8)稱Gabor變換，其中和b為變換的參數(shù)．上式又可表為(9)式中(10)因此Gabor變換就是高斯窗短時(shí)傅里葉變換．窗函數(shù)中心坐標(biāo)xc=0,

窗的寬度w=1.414w(x)的傅里葉變換:W(v)=exp(-222v2)(13)也是高斯函數(shù)．頻率窗寬度W=1/1.414(14)因此有wW=1/．12/2/202210光學(xué)信息處理6.2.2Gabor變換早在1946年，G圖中將空域和頻域同時(shí)表達(dá)出來(lái)，稱空間-頻率坐標(biāo)系，空-頻窗則表示為圖中的一個(gè)矩形．Gabor變換空-頻窗的高度和寬度都是恒定的。Gabor變換在頻域中的表達(dá)式：[式中=1/(2)2]可見Gabor變換在頻域和空域中的表達(dá)式具有相似的形式．12/2/202211光學(xué)信息處理圖中將空域和頻域同時(shí)表達(dá)出來(lái)，稱空間-頻率Gabor變換的特點(diǎn)：

(1)實(shí)現(xiàn)空域和頻域處理的局部化[中心位于(b,v)空-頻窗為1.414×(1/1.414)=1/

](2)由(8)式和(15)式，可看出變換是參數(shù)，b和變量v的函數(shù)。上式給出的積分是一個(gè)調(diào)制包絡(luò)，載波exp(-i2vb)的頻率(即中心頻率)v與參數(shù)無(wú)關(guān)，不會(huì)隨的變化而變化，這正是所有短時(shí)傅里葉變換共同的缺點(diǎn)。(17)12/2/202212光學(xué)信息處理Gabor變換的特點(diǎn)：(17)12/1/202212光學(xué)信息6.2.3Morlet小波變換為了克服Gabor變換中窗口尺寸不能變動(dòng)的缺點(diǎn)，Gabor變換的基元函數(shù)可改寫為子函數(shù)定義信號(hào)函數(shù)g(x)的Morlet小波變換:稱變換的母函數(shù).引入?yún)?shù)a，b，12/2/202213光學(xué)信息處理6.2.3Morlet小波變換為了克服GMorlet小波變換與Gabor變換的實(shí)質(zhì)性差別:小波變換:vc=v/a,w=1.414a,W=1/1.414a.

當(dāng)vc

增高時(shí)(a減小)，w

變小而W增大，可處理更多的高頻信息；當(dāng)vc

降低時(shí)(a增大)，W變小而w加寬，可容納足夠多個(gè)空間周期，以保證處理精度．Morlet小波變換，在處理低頻信號(hào)時(shí)空間窗自動(dòng)加寬，在空間窗范圍內(nèi)包含的信號(hào)空間周期相同，這就保證了小波變換以同樣的精度去處理不同中心頻率的信號(hào)，這正是小波變換與短時(shí)傅里葉變換的根本區(qū)別．Gabor變換:窗的寬度是常數(shù)，當(dāng)vc增高時(shí)，一定寬度的空間窗內(nèi)包含的空間周期增加，所以變換的精度是隨頻率而變化的；小波變換的空間-頻率窗12/2/202214光學(xué)信息處理Morlet小波變換與Gabor變換的實(shí)質(zhì)性差別:Morle12/2/202215光學(xué)信息處理12/1/202215光學(xué)信息處理6.3小波變換的定義和性質(zhì)6.3.1小波變換的定義母函數(shù)h(x)的基本小波函數(shù)ha,b(x)定義為(1)式中b稱為小波變換的位移因子，a>0稱為伸縮因子．上式表明基本小波是母函數(shù)經(jīng)平移和縮放的結(jié)果．基本小波又簡(jiǎn)稱小波．信號(hào)函數(shù)g(x)的小波變換定義為：(2)由于相關(guān)運(yùn)算較易用光學(xué)相關(guān)器進(jìn)行，因此小波變換可以用我們已熟悉的光學(xué)相關(guān)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)．12/2/202216光學(xué)信息處理6.3小波變換的定義和性質(zhì)6.3.1小波變換的定義12/Morlet小波的母函數(shù)是

子函數(shù)是

Mor1et小波的基函數(shù)式中：m,n=0，1，2，…；a=aom

；b=nbo.

12/2/202217光學(xué)信息處理Morlet小波12/1/202217光學(xué)信息處理

當(dāng)m=n=0時(shí)，a=1，b=0，即為母函數(shù)；當(dāng)m=1,n=0時(shí)，a=a0，b=0，對(duì)應(yīng)的一階小波函數(shù)為

當(dāng)m=-1，n=0時(shí)，a=a0-1，b=0，有負(fù)一階小波函數(shù)

h(t)，h1,0(t),和h-1,0(t)已分別在上圖中畫出．12/2/202218光學(xué)信息處理當(dāng)m=n=0時(shí)，a=1，b=0，即為母函數(shù)并非任何函數(shù)都可以作為小波變換的函數(shù)h(x)，h(x)必須在x時(shí)衰減到零．實(shí)際使用的小波變換母函數(shù)h(x)，當(dāng)x

時(shí)迅速衰減，使它的不顯著為零的分量只存在于一個(gè)很小的區(qū)間內(nèi)，這正是“小波”名稱的來(lái)由。實(shí)際上，也只有迅速衰減的小波才使變換(2)式具備局部化的特征．12/2/202219光學(xué)信息處理并非任何函數(shù)都可以作為小波變換的函數(shù)h(x)6.3.2小波變換在頻域中的表達(dá)式在頻域中，小波可表示為式中H(v)是小波母函數(shù)h(x)的傅里葉變換．在空域的擴(kuò)大x/a等價(jià)于頻域的壓縮av．空域的位移b等價(jià)于頻域的位相移動(dòng)exp(-i2vb)．

由Parseval定理，小波變換的傅里葉變換為(4)其中H

和G

分別是h

和g

的傅里葉變換．上式表明信號(hào)g(x)的小波變換可以用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)．12/2/202220光學(xué)信息處理6.3.2小波變換在頻域中的表達(dá)式在頻域中，小波可表示為6.3.3逆變換和相容性條件小波變換(2)式的逆變換定義為其中Ch滿足條件(6)式稱“相容性條件”，是逆變換存在的條件．下面我們來(lái)證明它．ha,b(x)可表為12/2/202221光學(xué)信息處理6.3.3逆變換和相容性條件小波變換(2)式的逆變換定義為以(4)、(7)式代入(5)式，得到上式中最內(nèi)部的積分為(v’-v)，因此上式成立的條件是

即(6)式．當(dāng)v=0時(shí)，相容性條件要求:H(0)=0，(10)即小波函數(shù)沒有零頻分量．由于H(0)=-h(x)dx=0(11)意味著h(x)必須是振蕩函數(shù)，平均值為零，其傅里葉譜直流分量為零.

12/2/202222光學(xué)信息處理以(4)、(7)式代入(5)式，得到12/1/202222光6.3.4正則性從理論上講，任何滿足相容性條件的函數(shù)都可當(dāng)作小波變換的母函數(shù)，然而在實(shí)用中，為了使變換具備局部化的功能，h(x)和H(v)在空域和額域中都是迅速衰減的，它們不顯著為零的分量分別分布于空域和領(lǐng)域中的原點(diǎn)附近．此外，要求Wa,b作為a的函數(shù)，應(yīng)當(dāng)是充分光滑的，當(dāng)a0時(shí)，Wa,b0，即要求Wa,b在a=0附近是正則的.設(shè)b=0，則有

將g(x)在x=0的鄰域內(nèi)展開成泰勒級(jí)數(shù)：12/2/202223光學(xué)信息處理6.3.4正則性從理論上講，任何滿足相容性代入(12)式得到式中Mn是小波函數(shù)h的n階矩：

Mn

=-h()nd

(n=0，1，…)(15)由(11)式Mo=H(0)=0

(16)設(shè)

Mp

=0

(p=0，1，…,n)(17)則在0的鄰域內(nèi)12/2/202224光學(xué)信息處理代入(12)式得到12/1/202224光學(xué)信息處理隨著a0，Wa.o

0的速率為即對(duì)于一個(gè)足夠平滑的函數(shù)g(x)、Wa.o{g}以an+1/2

的速率隨a趨近于零，稱它為n階小波函數(shù)．由節(jié)1.1(24)式，Mp=0(p=0，1，…,n)意味著H(p)(v)=0(p=0，1，…,n)表明v=0是H(v)的n階零點(diǎn)．此外，(16)式(即相容性條件)保證Wa.o隨a趨于零的速度的下限為a1/2．12/2/202225光學(xué)信息處理隨著a0，Wa.o0的速率為12/1/2026.3.5小波變換的空間-頻率窗和處理過(guò)程的局部化小波變換在空域中的處理局限于空間窗內(nèi)(23)

小波變換在頻域中的處理局限于頻率窗內(nèi)(29)空間-頻率的處理就局限于空間-頻率窗內(nèi)：(31)12/2/202226光學(xué)信息處理6.3.5小波變換的空間-頻率窗和處理過(guò)程的局部化小波變換小波變換處理過(guò)程的特點(diǎn)：(1)空間窗寬度aw

和頻率窗寬度W/a

均隨a的變化而變化，窗的面積wW

與a無(wú)關(guān)．(2)中心頻率v/a與帶寬(即頻率窗寬)之比Q=(v/a)/(W/a)=v/W(32)與中心頻率大小無(wú)關(guān)，僅取決于H(v)．Q是測(cè)量精度的特征量，上式表明小波變換的測(cè)量精度與頻率無(wú)關(guān)．當(dāng)v/a增大時(shí)(a減小)，頻率窗自動(dòng)變寬，使小波變換在不同頻率下具有相同的檢測(cè)精度；反之，當(dāng)v/a減小時(shí)(a增大)，空間窗自動(dòng)加寬，以容納同樣數(shù)目的信號(hào)空間周期．有人把小波變換的這種性能比喻為“自動(dòng)變焦”(zooming)，伸縮因子a

常稱小波變換的頻率變量，位移因子b

則稱為坐標(biāo)變量．12/2/202227光學(xué)信息處理小波變換處理過(guò)程的特點(diǎn)：12/1/202227光學(xué)信息處理6.3.6

常用小波函數(shù)1.Haar小波Haar小波是雙極性階躍函數(shù)它以t=1/2為中心的奇對(duì)稱實(shí)函數(shù)，滿足小波存在條件.12/2/202228光學(xué)信息處理6.3.6

常用小波函數(shù)1.Haar小波12/1/2022Haar小波的傅里葉變換是它的模是正的偶函數(shù)，以v=0為對(duì)稱軸.相位因子exp(-iv)是由于h(t)是以t=1/2為中心的奇對(duì)稱性所引起的．

Haar小波對(duì)于離散的縮放因子和位移量是正交的，其傅里葉譜的振幅|H(v)|隨1/v很慢地收斂到零．12/2/202229光學(xué)信息處理Haar小波的傅里葉變換是12/1/202229光學(xué)信息處理

2.Morlet小波

Morlet小波是由分析聲像技術(shù)引入的，可表示為

其實(shí)部是余弦-高斯函數(shù)．

Morlet小波的傅里葉譜是平移到vo及–vo處的兩個(gè)高斯函數(shù)，即顯然，H(v)是正的實(shí)偶函數(shù)．12/2/202230光學(xué)信息處理2.Morlet小波Morlet小波是由分析圖:h(t)的實(shí)部和h(t)的傅里葉譜12/2/202231光學(xué)信息處理圖:h(t)的實(shí)部和h(t)的傅里葉譜

3.Mexican–hat小波這種型如墨西哥帽的小波函數(shù)被廣泛用于零交叉多分辨邊緣檢測(cè)，其母函數(shù)實(shí)際上是高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即

該函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)，滿足小波變換存在條件.Mexican-hat小波的傅里葉變換是

它也是實(shí)偶函數(shù)．12/2/202232光學(xué)信息處理3.Mexican–hat小波這種型

Mexican-hat小波函數(shù)及其傅里葉變換高斯函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)也可以用來(lái)作為小波函數(shù).高斯函數(shù)n階導(dǎo)數(shù)的傅里葉譜H(v)將是乘以(i2v)n的高斯函數(shù)，所以H(0)=0，滿足子波變換的存在條件。Mexican–hat小波變換收斂速度很快．12/2/202233光學(xué)信息處理

Mexican-hat小波函數(shù)及其傅里葉變換12/1

4.Meyer小波Meyer小波是用其傅里葉變換來(lái)定義的，即

H(v)=exp(-iv)sin[ω(v)]式中：ω(v)是偶對(duì)稱函數(shù)，如圖所示．圖中，AB弧段有一個(gè)對(duì)稱中心，在v=1/2和ω(1/2)=/4處,即12/2/202234光學(xué)信息處理4.Meyer小波Meyer小波是用其傅里葉變換來(lái)

而BC弧段具有相同的形狀，是AB弧段的翻轉(zhuǎn)和展開，其對(duì)稱中心在v=1和ω(1)=π/4，即

如果H(v)中相移因子ex(-iv)被忽略，則H(v)為實(shí)偶函數(shù)．相移因子的作用，是使h(t)在時(shí)間軸上的位移為t=1/2．Meyer小波可表示為

它也是一個(gè)以t=1/2為對(duì)稱點(diǎn)的實(shí)函數(shù)，衰減較快．Meyer已經(jīng)證明，具有離散縮放和位移因子的這種小波，可以構(gòu)成一組正交基底．12/2/202235光學(xué)信息處理

而BC弧段具有相同的形狀，是AB弧段的翻轉(zhuǎn)和展開，其對(duì)稱中6.3.7離散小波變換(DWT)正如傅里葉變換一樣，小波變換也可以分為兩種形式：連續(xù)的和離散的變換．對(duì)于離散小波變換，我們將假定信號(hào)g(x)也是離散的．離散小波變換的形式為

對(duì)應(yīng)離散小波逆變換為

12/2/202236光學(xué)信息處理6.3.7離散小波變換(DWT)正如傅里葉6.4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)從小波變換的定義可知，N維信號(hào)函數(shù)的小波變換是2N維函數(shù)，因此計(jì)算的工作量很大，盡管專門用于小波變換的超大規(guī)模集成電路已有報(bào)道，但人們?nèi)栽诳紤]用光學(xué)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)小波變換，因?yàn)楣鈱W(xué)信息處理器具有高度的并行處理性能．一維小波變換光學(xué)處理系統(tǒng)12/2/202237光學(xué)信息處理6.4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)從小波變換柱面透鏡

圖14-10柱面透鏡圖14-11柱面透鏡成像柱面透鏡水平剖面與凸透鏡的剖面相同，在這個(gè)平面內(nèi)，對(duì)光線有會(huì)聚作用；而豎直剖面與平板玻璃剖面相同，對(duì)光線沒有會(huì)聚作用。所以，一個(gè)點(diǎn)光源經(jīng)過(guò)此柱面透鏡所成的像為一條豎直的直線。12/2/202238光學(xué)信息處理柱面透鏡圖14-10柱面透鏡圖14-11柱面透鏡成像xy-L2-uv構(gòu)成x方向的一維傅里葉變換器。在SLM1上輸入信號(hào)g(x)，經(jīng)L2的變換作用，在uv平面上形成它的傅里葉譜G(u)．在uv平面上放置第二個(gè)空間光調(diào)制器SLM2，它被分成M個(gè)沿u方向的帶狀區(qū)域，這些帶狀區(qū)域中分別顯示具有不同伸縮因子am的基元函數(shù)h的傅里葉譜：

H*(amu)(m=1，2，…，M)，(1)假定H是實(shí)的，從而有

H*(amu)=H(amu)，(2){H(amu)|m=1，2，…，M}構(gòu)成多通道小波變換匹配濾波器，G(u)經(jīng)濾波后成為

H*(amu)G(u)(m=1，2，…，M),(3)12/2/202239光學(xué)信息處理xy-L2-uv構(gòu)成x方向的一維傅里葉變換器。在SLMuv-L3-

構(gòu)成像散系統(tǒng)在子午面(vz平面)內(nèi)，L3使uv平面成像在上;在弧矢面(uz平面)內(nèi)，柱面鏡沒有作用,uz位于球面鏡的前焦面,

位于其后焦面，構(gòu)成沿u方向的一維傅里葉逆變換，參見圖6.8．圖6.8(a)在子午面內(nèi)構(gòu)成成像系統(tǒng)

(b)在弧矢面內(nèi)構(gòu)成一維傅里葉逆變換系統(tǒng)12/2/202240光學(xué)信息處理uv-L3-構(gòu)成像散系統(tǒng)12/1/202240由于成像作用，在平面上沿方向相應(yīng)形成uv平面上各帶狀通道的像．對(duì)于第m個(gè)通道，由于沿u方向的傅里葉逆變換作用，得到(a,am)=H*(amu)G(u)exp(i2au)(4)由節(jié)6.3(4)式，有

(5)在圖像處理系統(tǒng)中，將CCD輸出的信號(hào)除以(am)1/2即得到小波變換．在中，伸縮因子a是分立的，由一組M個(gè)濾波器引入處理器；而位移因子b則是連續(xù)的，與輸入平面的坐標(biāo)a成正比．12/2/202241光學(xué)信息處理由于成像作用，在平面上沿方向相應(yīng)形成6.5用多通道匹配濾波實(shí)現(xiàn)二維小波變換6.5.1單通道小波變換系統(tǒng)一維小波變換定義:二維小波變換也可類似定義：

(1)為了簡(jiǎn)單起見，令ax=ay=a，即x，y方向按相同的尺度加以縮放，得到

(2)12/2/202242光學(xué)信息處理6.5用多通道匹配濾波實(shí)現(xiàn)二維小波變換6.5.1單通道小在頻域中，(1)式變成匹配濾波的頻域表達(dá)式(3)

匹配濾波可以用標(biāo)準(zhǔn)的4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，如圖6.9所示．圖6.9用4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)小波坐換將二維信號(hào)函數(shù)(x,y)經(jīng)過(guò)SLMl輸入系統(tǒng)，則在Ll的頻譜面上將出現(xiàn)它的譜(u,v)．12/2/202243光學(xué)信息處理在頻域中，(1)式變成匹配濾波的頻域表達(dá)式(3在譜面上放置第二個(gè)SLM2，將匹配濾波函數(shù)H*(axu，ayv)通過(guò)SLM2對(duì)(u,v)進(jìn)行濾波，則形成H*(axu，ayv)(u,v)，再經(jīng)過(guò)第二個(gè)透鏡L2，在輸出平面上得到它的傅里葉逆變換．由上式可知，H*的傅里葉逆變換，即信號(hào)(x,y)的小波變換12/2/202244光學(xué)信息處理在譜面上放置第二個(gè)SLM2，將匹配濾波函數(shù)H我們注意到，位移因子(bx，by)是與輸出平面的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的變量，但伸縮因子(ax，ay)卻是給定的，亦即我們只能對(duì)給定的伸縮因子(ax，ay)實(shí)現(xiàn)小波變換，不同的(ax，ay)的變換只能通過(guò)依次輸入不同的匹配濾波函數(shù)H*(axu，ayv)來(lái)實(shí)現(xiàn)，速度很慢，發(fā)揮不了光學(xué)系統(tǒng)并行處理的優(yōu)越性．12/2/202245光學(xué)信息處理我們注意到，位移因子(bx，by)是與輸6.5.2用Dammann光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理由于comb(x)與任意函數(shù)(x)相乘，等于對(duì)(x)的抽樣；comb(x)與(x)的乘積再進(jìn)行傅里葉變換，在譜面上得到comb(u)與(u)的卷積，相當(dāng)于譜項(xiàng)(u)在comb(u)中各個(gè)函數(shù)的位置上重復(fù)出現(xiàn)，只要(x)的帶寬是有限的，則我們總可以通過(guò)足夠密集的抽樣手續(xù)，使各譜項(xiàng)在頻域內(nèi)互相分離．即對(duì)于給定的輸入信號(hào)(x,y)，可利用梳狀函數(shù)在譜面上復(fù)制出一系列譜函數(shù)mn(u,v)，m，n=0，±1，±2，…．如果每個(gè)mn代表一個(gè)處理通道，就可以實(shí)現(xiàn)多通道的并行處理．在這里，關(guān)鍵的器件是梳狀函數(shù)器件，又稱Dammann光柵．一維Dammann光柵的透過(guò)率函數(shù)可表為(4)式中是柵線寬度，d是空間周期，見圖6.10(a)．12/2/202246光學(xué)信息處理6.5.2用Dammann光柵進(jìn)行多通道相關(guān)處理若將Dammann光柵放在4f系統(tǒng)的輸入面上，則在譜面上得到

T(u)=sinc(u)comb(du)，(5)它是一個(gè)被sinc函數(shù)調(diào)制的梳狀函數(shù)，見圖6.0(b).若足夠小，則sinc(u)變化緩慢，在中心附近的一些函數(shù)幅度接近于1．當(dāng)然，越小，透過(guò)的光能量就越少．12/2/202247光學(xué)信息處理若將Dammann光柵放在4f系統(tǒng)的輸入面上把兩個(gè)同樣規(guī)格的一維Dammann光柵相對(duì)旋轉(zhuǎn)90o并疊在一起，就得到二維Dammann光柵，其透過(guò)率函數(shù)可表為

(6)在很小時(shí)，上式可近似表為(7)顯見二維Dammann光柵是一個(gè)函數(shù)點(diǎn)陣，它們分布在間隔為d的柵線的交點(diǎn)上，這些地方的透過(guò)率為1，其余地方的透過(guò)率為0．12/2/202248光學(xué)信息處理把兩個(gè)同樣規(guī)格的一維Dammann光柵相對(duì)旋在上圖所示的4f系統(tǒng)的輸入平面上放置信號(hào)(x,y)，把二維Dammann光柵緊貼在(x,y)上，在光柵后的光場(chǎng)復(fù)振幅分布為

(x,y)comb(x/d,y/d)/d2(8)在uv平面上得到它的傅里葉譜(9)式中fo=1/d.(10)12/2/202249光學(xué)信息處理在上圖所示的4f系統(tǒng)的輸入平面上放置信號(hào)(

m.n=(u-mfo,v-nfo)(11)是一系列中心位于Amn=(mfo,nfo)處復(fù)現(xiàn)的譜項(xiàng).如設(shè)計(jì)一個(gè)匹配濾波器列陣,位于Amn處的復(fù)數(shù)透過(guò)率為H*m.nexp[i2(upm+vqn)]，亦即：(12)濾波器中各譜項(xiàng)是按角度編碼的，相當(dāng)于用不同方向傳播的平面波exp[i2(upm+vqn)]作為參考光制成的全息匹配濾波器，通常是計(jì)算機(jī)生成的全息匹配濾波器(CGH)．12/2/202250光學(xué)信息處理m.n=(u-mfo,v-nfo)

經(jīng)濾波后，再通過(guò)4f系統(tǒng)中第二個(gè)傅里葉透鏡L2的作用，在輸出平面上得到傅里葉逆變換：式中Cmn是常數(shù)系數(shù)．(13)12/2/202251光學(xué)信息處理經(jīng)濾波后，再通過(guò)4f系統(tǒng)亦即頻域中的相移形成輸出平面上的位移，以(pm，qn)為中心形成一系列在空間相互分離的項(xiàng)，每一項(xiàng)都代表一個(gè)不同的伸縮因子(am，an)的小波變換，位移因子則由以(pm，qn)為中心的坐標(biāo)來(lái)表示.

這樣一來(lái)，我們就用多通道4f系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了二維光學(xué)小波變換，它是縮放因子的分立函數(shù)，是位移因子的連續(xù)函數(shù)．12/2/202252光學(xué)信息處理亦即頻域中的相移形成輸出平面上的位移，以(6.5.3用體全息存儲(chǔ)器進(jìn)行多通道相關(guān)處理重鉻酸明膠(DCG)或光折變晶體(BaTiO3，LiNbO3，BSO等)都可以做成體全息存儲(chǔ)器，并可以用角度對(duì)全息圖進(jìn)行編碼．這一性質(zhì)也可以用于光學(xué)小波變換，參見圖6．11．12/2/202253光學(xué)信息處理6.5.3用體全息存儲(chǔ)器進(jìn)行多通道相關(guān)處理重將縮放后的母函數(shù)hmn=h(x/am，y/an)(14)經(jīng)SLM1輸入系統(tǒng)，則在頻譜面上產(chǎn)生了它的傅里葉變換Hmn=amanH(amu,anv)．在譜平面上放置體全息記錄器件，例如光折變晶體，并用傾斜的平行參考光

Rmn=exp[-i2(upm+vqn)](15)照射，與物光amanH(amu,anv)相干疊加，形成全息圖．一系列{hmn}依次輸入系統(tǒng)，并用不同角度的參考光{Rmn}編碼，最后得到：(16)

式中第三項(xiàng)正是我們所需的小波變換匹配濾波函數(shù)．12/2/202254光學(xué)信息處理將縮放后的母函數(shù)hmn=h(x/a當(dāng)我們將所分析的信號(hào)(x,y)通過(guò)SLM1輸入系統(tǒng)，它的譜(u,v)經(jīng)過(guò)F(u,v)的濾波后得到

(17)我們略去了與匹配濾波無(wú)關(guān)的項(xiàng)．再經(jīng)L2的傅里葉逆變換，在輸出平面上得到同樣得到以(pm，qn)為中心的一系列空間互相分離的小波變換．(18)12/2/202255光學(xué)信息處理當(dāng)我們將所分析的信號(hào)(x,y)通過(guò)SL(16)式前二項(xiàng)經(jīng)逆變換重合于原點(diǎn)，但第四項(xiàng)則是以(-pm，-qn)為中心的卷積項(xiàng)，在輸出平面上與相關(guān)項(xiàng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可稱為“鬼像”(ghostimage)，因此在角度編碼時(shí)要避免這些鬼像對(duì)其他小波變換項(xiàng)的干擾．目前全息存儲(chǔ)密度已做得相當(dāng)高，因此在晶體中可以存儲(chǔ)相當(dāng)多個(gè)按方向編碼的小波變換匹配濾波器．12/2/202256光學(xué)信息處理(16)式前二項(xiàng)經(jīng)逆變換重合于原點(diǎn)，但第四項(xiàng)則是以(-pm6.6光學(xué)小波變換匹配濾波器

在圖像識(shí)別中的應(yīng)用圖像識(shí)別或特征識(shí)別：從大量信息或背景中檢測(cè)某一特定的圖形或指定的特征信息，并排斥其他圖形信息。在一般情況下，我們只知道需要檢測(cè)的圖形的特征，對(duì)于其他圖形的特征，我們事先可能并不知道，或知之甚少，但檢測(cè)系統(tǒng)必須排斥這些圖形，圖像識(shí)別系統(tǒng)的這種性能稱為“排他性”。

光學(xué)小波變換識(shí)別系統(tǒng)在這方面的性能比常規(guī)的相關(guān)識(shí)別系統(tǒng)更強(qiáng)，因此有可能利用這一效應(yīng)設(shè)計(jì)成有應(yīng)用價(jià)值的小波變換圖像識(shí)別系統(tǒng)。12/2/202257光學(xué)信息處理6.6光學(xué)小波變換匹配濾波器

在圖像識(shí)別中的應(yīng)用圖像識(shí)別或6.6.1邊緣增強(qiáng)效應(yīng)圖形的重要特征之一是它的形狀或輪廓。為了識(shí)別某一特定的圖形，往往只需認(rèn)定它的輪廓，而并不需要研究它的內(nèi)部細(xì)節(jié)。輪廓就是圖形的邊緣，一旦圖形的邊緣被清晰地勾畫出來(lái)，這一圖形就容易識(shí)別了。相對(duì)于圖形整體而言，邊緣顯然是局部，因此我們可以期望小波變換在邊緣檢測(cè)中有特殊的功效。12/2/202258光學(xué)信息處理6.6.1邊緣增強(qiáng)效應(yīng)圖形的重要特征之一選擇“墨西哥帽”式母函數(shù)，定義為(1)引入g(x,y)=exp[-(x2+y2)/2](2)則有h(x,y)=-(1/2)2g(x,y)

(3)由F{2g(x,y)}=-42(u2+v2)G(u,v)，得到

H(u,v)=-2(u2+v2)G(u,v)(4)式中G是g傅里葉變換G(u,v)=2exp[-2(u2+v2)](5)代入(4)得到：

H(u,v)=42(u2+v2)exp[-2(u2+v2)](6)12/2/202259光學(xué)信息處理選擇“墨西哥帽”式母函數(shù)，定義為12/1/圖6.12給出a=0.6及a=0.3的墨西哥帽小波函數(shù)及它們的傅里葉譜．12/2/202260光學(xué)信息處理圖6.12給出a=0.6及a=0函數(shù)(x,y)的小波變換

7)：亦即

的小波變換是和縮放后的高斯函數(shù)g的相關(guān)的二次導(dǎo)數(shù)．12/2/202261光學(xué)信息處理函數(shù)(x,y)的小波變換12/1/202261光學(xué)信由于(8)伸縮因子a正是高斯函數(shù)的特征尺度。g和

相關(guān)的結(jié)果則是平滑效應(yīng)，

中比a小得多的精細(xì)結(jié)構(gòu)都被平滑掉。此外，

和g的相關(guān)運(yùn)算的結(jié)果再二次求導(dǎo)，(x,y)中振幅不變的區(qū)域(常數(shù)項(xiàng))及線性變化的區(qū)域(一次項(xiàng))都等于零，而在振幅變化的拐點(diǎn)兩側(cè)不為0。邊界正是這樣的拐點(diǎn)．12/2/202262光學(xué)信息處理由于12/1/202262光學(xué)信息處理(a)邊界函數(shù)(x)和高斯函數(shù)g(x)(b)Cr(a,x)=g(x/a)(x)(c)小波變換函數(shù)D(x)12/2/202263光學(xué)信息處理(a)邊界函數(shù)(x)和高斯函數(shù)g(x)12/1/202圖(a)：邊界函數(shù)(x)，高斯函數(shù)g(x/a)；圖(b)：給出它們的相關(guān)．相關(guān)運(yùn)算對(duì)(x)起到了平滑的作用，結(jié)果噪聲都被平均掉；12/2/202264光學(xué)信息處理圖(a)：邊界函數(shù)(x)，高斯函數(shù)g(x/a)；12/1/可以在邊界內(nèi)外側(cè)看到小波變換的一對(duì)正、負(fù)峰，它們明確指示了邊界的位置．邊界內(nèi)、外區(qū)域內(nèi)小波變換函數(shù)都是零．其最終效果恰恰是邊界突出或輪廓突出，這正是我們所期望的．在二維小波變換的情況下，伸縮因子a

是矢量而不是標(biāo)量，a=(am,an)，一般情況下am≠an

，從而在兩個(gè)方向上的平滑效果可分別加以控制．圖(c)：給出小波變換作為位移因子的函數(shù)(差一個(gè)常數(shù)因子)，即2[g(x,y)

(x)12/2/202265光學(xué)信息處理可以在邊界內(nèi)外側(cè)看到小波變換的一對(duì)正、負(fù)峰，它們明確指示了邊待處理坦克模型圖像和小波函數(shù)平面圖像

及小波變換邊緣增強(qiáng)后實(shí)驗(yàn)結(jié)果

12/2/202266光學(xué)信息處理待處理坦克模型圖像和小波函數(shù)平面圖像

及小波變換邊緣增強(qiáng)后實(shí)6.6.2小波變換匹配濾波圖像識(shí)別課題，一般情況下僅僅勾畫出圖像或區(qū)域的輪廓或邊界是不夠的，還要求認(rèn)定輸入圖像中是否包含要求識(shí)別的目標(biāo)．在常規(guī)光學(xué)信息處理中，我們用匹配濾波方法達(dá)到這一目的．在小波變換信息處理中，匹配濾波方案同樣適用．設(shè)輸入要求識(shí)別的目標(biāo)圖像(x,y)

和另一圖像(x,y)

，首先對(duì)它進(jìn)行二維小波變換，可采用上一節(jié)中介紹的各種方法，其結(jié)果，得到了邊緣增強(qiáng)的小波變換譜函數(shù)Wa,x,y{}

和的小波變換Wa,x,y{}，然后再以W{}

和W{}

作為輸入信號(hào)，進(jìn)入第二個(gè)光學(xué)相關(guān)識(shí)別系統(tǒng)，例如4f系統(tǒng)，或第五章中介紹的各種實(shí)現(xiàn)傅里葉變換的系統(tǒng)。12/2/202267光學(xué)信息處理6.6.2小波變換匹配濾波圖像識(shí)別課題，在譜面上，W{}

和W{}

的頻譜函數(shù)分別由以下二式給出：(10)(11)表明：在第二個(gè)相關(guān)識(shí)別系統(tǒng)中，當(dāng)輸入函數(shù)為W{}

和W{}

時(shí)，譜面上將出現(xiàn)H*

和H*。我們用(x,y)所對(duì)應(yīng)的小波變換匹配濾波器

F(u,v)=*(u,v)H(au,av)(12)進(jìn)行濾波，上式中

H(au,av)=42a2(u2+v2)exp[-22a2(u2+v2)(13)12/2/202268光學(xué)信息處理在譜面上，W{}和W{}的頻譜函經(jīng)濾波后得到

|(u,v)H*(au,av)

|2(14)及*(u,v)(u,v)H(au,av)

H*(au,av)

(15)再經(jīng)過(guò)傅里葉逆變換，分別得到W{}

的自相關(guān)

a-∞∞|*(u,v)H(au,av)|2exp[i2(ux+vy)]dudv=Wa,x,y{}

Wa,x,y{}

(16)及W{}

和W{}

的互相關(guān)

a-∞∞[*(u,v)H(au,av)][(u,v)H*(au,av)]

exp[i2(ux+vy)]dudv=Wa,x,y{}

Wa,x,y{}(17)其中W{}

的自相關(guān)給出亮斑(自相關(guān)峰)，成為目標(biāo)圖像的特征．由于小波變換匹配濾波方法給出經(jīng)過(guò)邊緣增強(qiáng)處理的二維小波變換函數(shù)的自相關(guān)，所以有可能獲得更好的識(shí)別效果．12/2/202269光學(xué)信息處理經(jīng)濾波后得到|(u,v)H*(au,av)由于小波變換匹配濾波器是*H，所以H正是頻域中的窗函數(shù)．當(dāng)a增大時(shí)通帶寬度減小，通帶的中心頻率向低頻移動(dòng)，可以有效地抑制高頻噪聲，但鑒別能力下降；反之，當(dāng)a減小時(shí)匹配濾波器將包含更廣的頻段，中心頻率向高頻移動(dòng)，將具有更高的鑒別能力，但容易受噪聲的干擾，因?yàn)橐话愕陌自肼暿桥c帶寬成正比的．a(chǎn)=la=212/2/202270光學(xué)信息處理由于小波變換匹配濾波器是*H，所以H正12/2/202271光學(xué)信息處理12/1/202271光學(xué)信息處理6.7光學(xué)Haar小波變換和圖形邊緣探測(cè)6.7.1Haar變換

1910年，Haar就首次提出了Haar變換函數(shù)：

h(x)=rect[2(x–1/4)]-rect[2(x–3/4)](1)它較易用光學(xué)方法實(shí)現(xiàn)．因此Haar小波變換是常用的小波變換之一．h(x)的傅里葉變換為

H(v)=i2e-i

v[1-cos(v)]/v

(2)12/2/202272光學(xué)信息處理6.7光學(xué)Haar小波變換和圖形邊緣探測(cè)6.7.1Ha6.7.2Hanr小波變換與邊緣探測(cè)

Haar小波變換是信號(hào)函數(shù)(x)與Haar函數(shù)經(jīng)伸縮后的母函數(shù)h(x/a)相關(guān)的結(jié)果．對(duì)于一個(gè)給定的伸縮因子a，Haar小波變換的作用如下：(1)在小波基元函數(shù)ha,b(x)的正、負(fù)半周內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行不加權(quán)的積分，這事實(shí)上是一個(gè)平滑或平均的過(guò)程．

(2)將正、負(fù)半周的積分值相減．以上兩個(gè)作用的綜合結(jié)果是在平均的意義下求差分，或求導(dǎo)數(shù)，恰恰是測(cè)出了圖形的邊緣．12/2/202273光學(xué)信息處理6.7.2Hanr小波變換與邊緣探測(cè)H

圖6.17(a)是對(duì)一個(gè)帶有低頻噪聲的方波進(jìn)行Haar小波變換的結(jié)果:

在方波的兩個(gè)邊緣呈現(xiàn)一對(duì)峰，極值恰恰指示了邊緣的位置．峰峰實(shí)線為帶有噪聲的方波信號(hào)；虛線為Haar小波變換．12/2/202274光學(xué)信息處理圖6.17(a)是對(duì)一個(gè)帶有低頻噪聲的方波進(jìn)

圖6.17(b)是對(duì)一個(gè)高頻噪聲的方波進(jìn)行Haar小波變換的結(jié)果:

在方波的兩個(gè)邊緣呈現(xiàn)一對(duì)峰，極值恰恰指示了邊緣的位置．實(shí)線為帶有噪聲的方波信號(hào)；虛線為Haar小波變換．峰峰12/2/202275光學(xué)信息處理圖6.17(b)是對(duì)一個(gè)高頻噪聲的方波進(jìn)行H

圖6.17(c)方波同時(shí)具有低頻和高頻噪聲干擾.只要伸縮因子a選擇得當(dāng)，小波變換仍然有很高的信噪比，峰很尖銳，正確的指示了邊緣的所在，充分說(shuō)明Haar小波變換的抗干擾能力．實(shí)線為帶有噪聲的方波信號(hào)；虛線為Haar小波變換．峰峰12/2/202276光學(xué)信息處理圖6.17(c)方波同時(shí)具有低頻和高頻噪聲干圖6.18(a)是一個(gè)帶有噪聲的step函數(shù)g(x)及其Haar小波變換．噪聲是由空間頻率為v1=27及v2=40的正弦干擾信號(hào)及隨機(jī)本底噪聲構(gòu)成．盡管信噪比很底，小波變換仍然正確地指示了step函數(shù)的邊界．圖6.18step函數(shù)及其Haar小波變換12/2/202277光學(xué)信息處理圖6.18(a)是一個(gè)帶有噪聲的step函數(shù)g(x)及其H圖6．18(b)是信號(hào)函數(shù)g(x)和小波函數(shù)h(x)在頻域中的行為，實(shí)線表示G(v)，虛線表示H(v)．

G(v)的主峰主要由step函數(shù)的直流和低頻成分貢獻(xiàn)，而旁瓣則主要是step函數(shù)在邊界的躍變部分貢獻(xiàn)的．零頻、低頻主峰旁瓣H(v)頻率窗恰恰開在旁瓣干擾信號(hào)的主頻v1，v2遠(yuǎn)在頻率窗外12/2/202278光學(xué)信息處理圖6．18(b)是信號(hào)函數(shù)g(x)和小波函數(shù)h(x)在頻域中值得一提的是，兩種干擾信號(hào)的主頻v1，v2遠(yuǎn)在頻率窗外，對(duì)變換沒有貢獻(xiàn)，而隨機(jī)本底噪聲的譜是寬帶的，對(duì)結(jié)果的影響也不大．說(shuō)到底，在空域中干擾信號(hào)和隨機(jī)本底都是“全局”信號(hào)，小波變換的局部處理手續(xù)恰恰抑制了它們的作用，而突出了圖形的局部變化——邊界的貢獻(xiàn)．12/2/202279光學(xué)信息處理值得一提的是，兩種干擾信號(hào)的主頻v1，v2遠(yuǎn)6.7.3二維Haar小波變換和圖形拐角測(cè)量二維Haar變換的母函數(shù)定義如下：

h(x,y)=rect(x-0.5,y-0.5)+rect(x+0.5,y+0.5)+rect(x+0.5,y-0.5)+rect(x-0.5,y+0.5)二維Haar變換母函數(shù)如圖所示．用h(x,y)構(gòu)作的二維Haar小波變換，在探測(cè)與x軸或與y軸平行的邊緣時(shí)都為零，但測(cè)量任意一段既不和x軸平行又不和y軸平行的邊緣時(shí)不為零，因而該變換特別適用于探型圖形邊緣的“拐角”．-1+1+1-1xy12/2/202280光學(xué)信息處理6.7.3二維Haar小波變換和圖形拐角測(cè)量二維Haar變圖6.20(a)給出一個(gè)字母“T”作為輸入圖形．圖6/20(b)是由二維Haar變換測(cè)量該輸入圖形的輸出，可以看到拐角測(cè)量的效果．12/2/202281光學(xué)信息處理圖6.20(a)給出一個(gè)字母“T”作為輸入圖形．12/1/專門進(jìn)行x方向或y方向邊緣測(cè)量的二維Haar變換，見圖6.21．用于測(cè)量拐角的Haar函數(shù)常稱為“角母函數(shù)”．用于測(cè)量邊緣的Haar函數(shù)則稱為“邊母函數(shù)”．根據(jù)圖形的尺寸、邊緣過(guò)渡區(qū)的寬度及噪聲的頻譜分布，可以采用不同的伸縮因子，以獲得最佳的信息提取效果．圖6.21二維圖形邊、角測(cè)量的Haar小波變換母函數(shù)示意圖.(a)角母函數(shù),(b)y邊緣母函數(shù),(c)x邊緣母函數(shù).12/2/202282光學(xué)信息處理專門進(jìn)行x方向或y方向邊緣測(cè)量的二維從一維和二維的邊緣探測(cè)的討論中，我們已看到小波變換的特點(diǎn)．相對(duì)于圖形整體而言，邊緣(邊和角)顯然只是局部．Haar小波變換對(duì)于圖形內(nèi)外強(qiáng)度不變的或緩慢變化的部分不敏感，即使對(duì)一些急劇變化的高頻噪聲，只要適當(dāng)選取伸縮因子，Haar小波變換仍有很強(qiáng)的抗干擾能力．但在圖形的邊緣出現(xiàn)強(qiáng)度躍處，小波變換卻出現(xiàn)很強(qiáng)的峰，正確指示邊界的位置．可見，在邊緣探測(cè)這一類問(wèn)題中，小波變換比傅里葉變換更加適用．12/2/202283光學(xué)信息處理從一維和二維的邊緣探測(cè)的討論中，我們已看到小6.7.4用投影——掩模法實(shí)現(xiàn)Haar小波變換本節(jié)中介紹一種由Yang等提出來(lái)的在空域中實(shí)現(xiàn)Haar小波變換的方法：投影——掩模法，圖622用投影——掩模法進(jìn)行2維Haar小波變換o為點(diǎn)光源列陣；l為小波函數(shù)掩模板；2為輸入信號(hào)SLM；3為探測(cè)器12/2/202284光學(xué)信息處理6.7.4用投影——掩模法實(shí)現(xiàn)Haar小波變換從點(diǎn)光源P(x,y)輻射的發(fā)散球面波照亮1上的小波函數(shù)掩模板．在d1的距離上經(jīng)放大后通過(guò)Ll投射到2上．在Ll和L2

間為平行光，沒有放大作用．放大率即伸縮因子:a=f/(f–d1)

因?yàn)镻(x,y)一般不在光軸上，使母函數(shù)發(fā)生平移.平移量的計(jì)算可參見圖6.23．12/2/202285光學(xué)信息處理從點(diǎn)光源P(x,y)輻射的發(fā)散球面波照亮

光線PQRO2在平面上的位移量為零，它在st平面即1平面上的位移量:bo=O1M+MQ=xd1/f+/a=x(d1/f+d2/fa)(5)式中a為伸縮因子，MQ=NR/a=/a,NR=xd2/f.bo

放大a倍后換成平面即2

平面上的位移量

b=boa=x(ad1/f+d2/f)=x[d1/(f-d1)+d2/f](6)12/2/202286光學(xué)信息處理光線PQRO2在平面上整個(gè)光束對(duì)于3

上一點(diǎn)P’(x’,y’)的貢獻(xiàn)為積分(7)由CCD轉(zhuǎn)換成電信號(hào)送入數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)，在其中補(bǔ)上因子a–1/2

即成為小波變換式

(8)倘若光源是點(diǎn)光源列陣，我們得到抽樣的小波變換函數(shù)；若光源是均勻的連續(xù)面光源，我們得到連續(xù)分布的小波變換函數(shù)．將掩模板沿軸向平移，可以改變伸縮因子a的值．12/2/202287光學(xué)信息處理整個(gè)光束對(duì)于3上一點(diǎn)P’(x’,y’)的貢獻(xiàn)為積分126.7.5偏振編碼掩?！队胺桨钢?，非相干光學(xué)信息處理用光強(qiáng)大小來(lái)表示信號(hào)，只能給出非負(fù)的分布，這顯然違背了小波變換的相容性條件．若使用相干光源，可用偏振編碼來(lái)實(shí)現(xiàn)Haar變換函數(shù)的雙極性．設(shè)光源輻射的線偏振光沿45o方向振動(dòng)，可以用Jones矩陣表為(9)在掩模中，+1的部分用水平方向的偏振片構(gòu)成，用Jones矩陣表為(10)12/2/202288光學(xué)信息處理6.7.5偏振編碼掩?！队胺桨钢?，非相-1部分用垂直方向的偏振片構(gòu)成，表為(11)輸入的光波經(jīng)過(guò)+1和-1部分后，分別變成12/2/202289光學(xué)信息處理-1部分用垂直方向的偏振片構(gòu)成，表為12/1/202289光12/2/202290光學(xué)信息處理12/1/202290光學(xué)信息處理Wavelettransformanditsuse

inedgedetectionFeijunSong

1ChinaDahengCorporation,P.O.Box9671,Beijing100086,China

SugandaJutamulia

2BlueSkyResearch,3047OrchardParkway,SanJose,CA95134,USA12/2/202291WavelettransformanditsuseABSTRACTApplicationofthewavelettransformtoedgedetectionisdiscussedingeneral.Toproposetwonewwavelettransformsforedgedetection:ModifiedHaar’swavelettransform(MHWT)andHaar-Gaussianwavelettransform(HGWT).ToanalyzetheperformanceofMHWTandHGWTforedgedetectioninbothspaceandfrequencydomains.Applicationforleadinspectionofsurfacemountdevices(SMD)inelectronicindustrybyusingMHWTandHGWTispresentedindetail.

Keywords:Wavelettransform,Machinevision&automaticinspection,Edgedetection,Leadinspection,Surfacemountdevices(SMD)12/2/202292光學(xué)信息處理ABSTRACT12/1/202292光學(xué)信息處理12/2/202293光學(xué)信息處理12/1/202293光學(xué)信息處理12/2/202294光學(xué)信息處理12/1/202294光學(xué)信息處理12/2/202295光學(xué)信息處理12/1/202295光學(xué)信息處理12/2/202296光學(xué)信息處理12/1/202296光學(xué)信息處理12/2/202297光學(xué)信息處理12/1/202297光學(xué)信息處理12/2/202298光學(xué)信息處理12/1/202298光學(xué)信息處理12/2/202299光學(xué)信息處理12/1/202299光學(xué)信息處理12/2/2022100光學(xué)信息處理12/1/2022100光學(xué)信息處理12/2/2022101光學(xué)信息處理12/1/2022101光學(xué)信息處理12/2/2022102光學(xué)信息處理12/1/2022102光學(xué)信息處理12/2/2022103光學(xué)信息處理12/1/2022103光學(xué)信息處理12/2/2022104光學(xué)信息處理12/1/2022104光學(xué)信息處理12/2/2022105光學(xué)信息處理12/1/2022105光學(xué)信息處理12/2/2022106光學(xué)信息處理12/1/2022106光學(xué)信息處理12/2/2022107光學(xué)信息處理12/1/2022107光學(xué)信息處理12/2/2022108光學(xué)信息處理12/1/2022108光學(xué)信息處理12/2/2022109光學(xué)信息處理12/1/2022109光學(xué)信息處理12/2/2022110光學(xué)信息處理12/1/2022110光學(xué)信息處理12/2/2022111光學(xué)信息處理12/1/2022111光學(xué)信息處理12/2/2022112光學(xué)信息處理12/1/2022112光學(xué)信息處理12/2/2022113光學(xué)信息處理12/1/2022113光學(xué)信息處理12/2/2022114光學(xué)信息處理12/1/2022114光學(xué)信息處理12/2/2022115光學(xué)信息處理12/1/2022115光學(xué)信息處理12/2/2022116光學(xué)信息處理12/1/2022116光學(xué)信息處理12/2/2022117光學(xué)信息處理12/1/2022117光學(xué)信息處理12/2/2022118光學(xué)信息處理12/1/2022118光學(xué)信息處理12/2/2022119光學(xué)信息處理12/1/2022119光學(xué)信息處理12/2/2022120光學(xué)信息處理12/1/2022120光學(xué)信息處理12/2/2022121光學(xué)信息處理12/1/2022121光學(xué)信息處理12/2/2022122光學(xué)信息處理12/1/2022122光學(xué)信息處理12/2/2022123光學(xué)信息處理12/1/2022123光學(xué)信息處理第六章光學(xué)小波變換6．1引言6．2從短時(shí)傅里葉變換到小波變換6．3小波變換的定義和性質(zhì)6．4實(shí)現(xiàn)一維小波變換的光學(xué)系統(tǒng)6．5用多通道匹配濾波實(shí)現(xiàn)二維小波變換6．6光學(xué)小波變換匹配濾波器在圖像識(shí)別中的應(yīng)用6．7光學(xué)Haar小波變換和圖形邊緣探測(cè)12/2/2022124光學(xué)信息處理第六章光學(xué)小波變換6．1引言12/1/20221光學(xué)6.1引言如果g(x)是一個(gè)時(shí)域或空域中分布在(-，)中的穩(wěn)恒過(guò)程或穩(wěn)定分布，則傅里葉分析給出了近乎完美的結(jié)果．然而，在自然界和科學(xué)技術(shù)中還有大量信號(hào)，它們具有局部的或定域的特性．例如語(yǔ)言信號(hào)、聲納信號(hào)、各種電脈沖等。這些信號(hào)只出現(xiàn)在一個(gè)短暫的時(shí)間問(wèn)隔內(nèi)，此后很快衰減到零，稱快速過(guò)程或暫態(tài)過(guò)程．一個(gè)很短暫的信號(hào)，可以稱為“小波”信號(hào)12/2/2022125光學(xué)信息處理6.1引言如果g(x)是一個(gè)時(shí)域或空

對(duì)于局部信號(hào)或暫態(tài)過(guò)程，傅里葉分析就不完全適用．首先，我們僅對(duì)t內(nèi)的時(shí)間信號(hào)感興趣，沒有必要在過(guò)去、現(xiàn)在及未來(lái)的無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析；類似地，在處理定域于x內(nèi)的空間圖像時(shí)，也沒有必要對(duì)全平面內(nèi)的信號(hào)進(jìn)行全面的分析．在許多情況下，在t或x以外的信號(hào)是未知的，它可能是零，也可能是背景噪聲；對(duì)它們我們不太了解，測(cè)不準(zhǔn)，或不感興趣．如不加選擇地把(-，)內(nèi)全部信號(hào)進(jìn)行傅里葉處理，還可能產(chǎn)生較大的誤差甚至錯(cuò)誤．此外，一個(gè)局部的信號(hào)在t或x以外較遠(yuǎn)處幾乎完全等于零．當(dāng)用它們的頻譜來(lái)恢復(fù)或重構(gòu)這些信號(hào)時(shí)，在t或x外很遠(yuǎn)處也會(huì)出現(xiàn)一些非零的分量，它們一般不是信號(hào)，而是在傅里葉逆變換中頻域綜合不夠充分而產(chǎn)生的噪聲．12/2/2022126光學(xué)信息處理對(duì)于局部信號(hào)或暫態(tài)過(guò)程，傅里葉分析就不完全在一些課題中，我們往往不滿足于了解信號(hào)在全部區(qū)間內(nèi)的綜合的頻譜分布，而希望了解某一區(qū)間或某些區(qū)間內(nèi)信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜．例如在地震勘探中，為了分辨分層的地層和礦床結(jié)構(gòu)，我們需要在時(shí)域和頻域中仔細(xì)分析不同時(shí)刻的信號(hào)在不同頻譜區(qū)間中的行為，而傅里葉分析只能提供在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的信號(hào)整體的頻譜，顯然不能滿足我們的要求．