導(dǎo)學(xué)案 函數(shù)的單調(diào)性

§3函數(shù)的單調(diào)性1．理解函數(shù)單調(diào)性的定義．2．會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．3．能從給定的函數(shù)圖像上直觀得出函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．1．增函數(shù)(1)定義：在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時，都有________，那么，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的，有時也稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是遞增的．設(shè)x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是增加的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.(2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是____________的．(3)圖示：如圖所示．【做一做1】下列命題正確的是()．A．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，如果存在x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)B．定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，如果有無窮多對x1，x2∈(a，b)，使得x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數(shù)C．如果f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù)，在區(qū)間I2上也為增函數(shù)，那么f(x)在I1∪I2上也一定為增函數(shù)D．如果f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x22．減函數(shù)(1)定義：在函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個區(qū)間A上，如果對于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1＜x2時，都有________，那么，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是減少的，有時也稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是遞減的．設(shè)x1，x2∈A，x1≠x2，f(x)在A上是減少的(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜0.(2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是__________的．(3)圖示：如圖所示．【做一做2－1】設(shè)函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的減函數(shù)，則有A．a(chǎn)≥eq\f(1,2)B．a(chǎn)≤eq\f(1,2)C．a(chǎn)＞－eq\f(1,2)D．a(chǎn)＜eq\f(1,2)【做一做2－2】函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則有()．A．f(3)＜f(5)B．f(3)≤f(5)C．f(3)＞f(5)D．f(3)≥f(5)3．單調(diào)性(1)定義：如果函數(shù)y＝f(x)在定義域的某個子集上是______或是______，那么就稱函數(shù)y＝f(x)在這個子集上具有單調(diào)性．如果函數(shù)y＝f(x)在__________內(nèi)是增加的或是減少的，我們分別稱這個函數(shù)為增函數(shù)或減函數(shù)，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)．(2)幾何意義：函數(shù)f(x)的圖像在區(qū)間A上是____或____的．一個函數(shù)出現(xiàn)兩個或者兩個以上單調(diào)區(qū)間時，不能用“∪”而應(yīng)該用“和”來表示．如函數(shù)y＝eq\f(1,x)，其定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，不能說函數(shù)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上遞減，而只能說函數(shù)在(－∞，0)和(0，＋∞)上遞減．書寫函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間端點的開或閉沒有嚴(yán)格規(guī)定，習(xí)慣上，若函數(shù)在區(qū)間端點處有定義，則寫成閉區(qū)間，當(dāng)然寫成開區(qū)間也可以；若函數(shù)在區(qū)間端點處沒有定義，則必須寫成開區(qū)間．【做一做3－1】函數(shù)y＝－x2的單調(diào)增區(qū)間為()．A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)【做一做3－2】已知函數(shù)y＝f(x)的圖像如圖所示，則它的單調(diào)減區(qū)間為__________．4．最大值和最小值(1)定義：一般地，對于函數(shù)y＝f(x)，其定義域為D，如果存在x0∈D，f(x0)＝M，使得對于任意的x∈D，都有f(x)≤M[或f(x)≥M]，那么，我們稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值，即當(dāng)x＝x0時，f(x0)是函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值，記作ymax＝f(x0)[或ymin＝f(x0)]．(2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大(小)值是其圖像上最高(低)點的縱坐標(biāo)．【做一做4】函數(shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[3,6]上的最大值和最小值分別是()．A．6,3B．5,2C．9,3答案：1．(1)f(x1)＜f(x2)(2)上升【做一做1】DA，B項中的x1，x2不具有任意性，C項中f(x)在I1和I2上均為增函數(shù)，但在I1∪I2上的單調(diào)性無法判定．2．(1)f(x1)＞f(x2)(2)下降【做一做2－1】D∵f(x)是R上的減函數(shù)，∴2a－1＜0，即a＜.【做一做2－2】C∵函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，3＜5，∴f(3)＞f(5)．3．(1)增加的減少的整個定義域(2)上升下降【做一做3－1】A【做一做3－2】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【做一做4】B函數(shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[3,6]上是增加的，則當(dāng)3≤x≤6時，f(3)≤f(x)≤f(6)，即2≤f(x)≤5，所以最大值和最小值分別是5,2.理解函數(shù)的單調(diào)性剖析：函數(shù)的單調(diào)性刻畫了函數(shù)的圖像特征，它反映了函數(shù)圖像的變化趨勢(當(dāng)自變量增大時，函數(shù)值是增大還是減小，圖像是上升還是下降)；函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)(減函數(shù))，等價于對于D中任意的兩個自變量x1，x2且x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)〔f(x1)＞f(x2)〕，其中“任意”二字是關(guān)鍵，不能用具體的兩個自變量代替，否則會產(chǎn)生錯誤．比如函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，取x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，如果由此推出f(x)＝eq\f(1,x)是增函數(shù)就會產(chǎn)生錯誤，原因就在于x1，x2是定值，不具有任意性．另一方面，從反面考慮，由于存在x1＝－1＜x2＝1，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，f(x1)＜f(x2)，我們可以下這樣的結(jié)論：f(x)＝eq\f(1,x)在整個定義域上肯定不是減函數(shù)；由定義還可以看出，函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)定義域內(nèi)某個區(qū)間上的性質(zhì)，因此它是一個局部的性質(zhì)，并且在考察單調(diào)性時，必須先看函數(shù)的定義域，如果一個函數(shù)有多個單調(diào)增(減)區(qū)間，這些增(減)區(qū)間應(yīng)該用逗號隔開(即“局部”)，而不能用并集的符號連接(并完之后就成了“整體”)．例如f(x)＝eq\f(1,x)的單調(diào)減區(qū)間可以寫成(0，＋∞)，(－∞，0)〔或者寫成(0，＋∞)和(－∞，0)〕，但不能寫成(0，＋∞)∪(－∞，0)；由于函數(shù)的單調(diào)性是反映函數(shù)圖像變化趨勢的，所以在一點處沒法討論函數(shù)的單調(diào)性，比如函數(shù)y＝x2的單調(diào)增區(qū)間可以寫成(0，＋∞)，也可以寫成[0，＋∞)，但是如果定義域中不包含這個點，則必須使用開區(qū)間表示；如果要證明一個函數(shù)的單調(diào)性，要嚴(yán)格按照定義進行，步驟如下：(1)取值：在指定區(qū)間上任意取兩個自變量x1，x2且x1＜x2；(2)變形：主要是配方或分解因式、通分等；(3)定號：判斷f(x1)－f(x2)的符號；(4)結(jié)論：由定義給出結(jié)論．題型一判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】證明函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是減少的．分析：在(0,1)上任取x1，x2，且x1＜x2，只需證明f(x1)＞f(x2)即可．反思：證明函數(shù)單調(diào)性，主要有2種方法．(1)定義法．其步驟是：①在所給的區(qū)間上任取兩個自變量x1和x2，通常令x1＜x2；②比較f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比較法比較大小，此時比較它們大小的步驟是作差、變形、看符號；③再歸納結(jié)論．(2)圖像法．借助圖像，依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義來判斷．此法適合客觀題(選擇題和填空題)．題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】畫出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．分析：只需畫出函數(shù)的圖像，看曲線在哪些區(qū)間是上升的，在哪些區(qū)間是下降的，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．反思：利用函數(shù)圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具體做法是：先化簡函數(shù)解析式，然后再畫出它的草圖，最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置、狀態(tài)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，試比較f(a2－a＋1)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))的大?。治觯阂容^兩函數(shù)值的大小，需先比較自變量的大?。此迹豪煤瘮?shù)單調(diào)性的定義比較大小，一方面是正向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)，當(dāng)x1＞x2時，f(x1)＞f(x2)；另一方面是逆向應(yīng)用，即若y＝f(x)在給定區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)f(x1)＜f(x2)時，x1＜x2，當(dāng)f(x1)＞f(x2)時，x1＞x2.當(dāng)y＝f(x)在給定區(qū)間上是減函數(shù)時，同理可得相應(yīng)的結(jié)論．【例4】已知f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范圍．分析：欲求x的取值范圍，需由f(x－2)＜f(1－x)得出x－2與1－x的大小關(guān)系，同時要注意函數(shù)的定義域．反思：解答此類問題的關(guān)鍵是充分利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量取值的不等關(guān)系，即將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式求解．題型四單調(diào)性與最值的綜合運用【例5】已知函數(shù)y＝f(x)對任意x，y∈R均有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大、最小值．分析：抽象函數(shù)的性質(zhì)要緊扣定義，并同時注意特殊值的應(yīng)用．反思：證明函數(shù)的單調(diào)性，必須用定義嚴(yán)格證明，不能用特殊值去檢驗，判斷函數(shù)的最值，往往從單調(diào)性入手．題型五易錯辨析易錯點對單調(diào)區(qū)間與在區(qū)間上單調(diào)兩個概念理解錯誤【例6】若函數(shù)y＝|x－a|在區(qū)間(－∞，4]上是減少的，則實數(shù)a的取值范圍是__________．錯解：函數(shù)y＝|x－a|的圖像如圖所示，由于函數(shù)在區(qū)間(－∞，4]上是減少的，因此a＝4.錯因分析：錯解中把函數(shù)在區(qū)間(－∞，4]上是減少的誤認(rèn)為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，4]．若把原題目改為：函數(shù)y＝|x－a|的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，4]，則a＝4符合題意．答案：【例1】證明：設(shè)0＜x1＜x2＜1，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(x1－x2x1x2－1,x1x2).∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2－1＜0，x1－x2＜0.則f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是減少的．【例2】解：y＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3＝－x－12＋4，x≥0，,－x2－2x＋3＝－x＋12＋4，x<0.))函數(shù)圖像如圖所示．函數(shù)在(－∞，－1]和[0,1]上是增加的；函數(shù)在[－1,0]和[1，＋∞)上是減少的．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1]和[0,1]，單調(diào)減區(qū)間是[－1,0]和[1，＋∞)．【例3】解：∵a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，∴eq\f(3,4)與a2－a＋1都是區(qū)間(0，＋∞)上的值．又∵f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))≥f(a2－a＋1)．【例4】解：由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，))解得1≤x≤2.∵f(x)是定義在[－1,1]上的增函數(shù)，且f(x－2)＜f(1－x)，∴x－2＜1－x.∴x＜eq\f(3,2).∴1≤x＜eq\f(3,2)為滿足題設(shè)條件的x的取值范圍．【例5】解：(1)令x＝y(tǒng)＝0，可得f(0)＝0，令y＝－x可得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＜x2，則f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x＞0時，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．由定義可知f(x)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)．(2)∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上是減少的．∴f(－3)最大，f(3)最小．f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－2.∴f(－3)＝－f(3)＝2，即f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.【例6】正解：函數(shù)y＝|x－a|的圖像如圖所示，所以只要a＝4或a在4的右側(cè)，都能保證函數(shù)y＝|x－a|在區(qū)間(－∞，4]上是減少的，因此a≥4.1函數(shù)y＝x2－6x＋10在區(qū)間(2,4)上是()．A．遞減函數(shù)B．遞增函數(shù)C．先遞增再遞減D．先遞減再遞增2函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(