圓錐曲線中的典型問題與方法：焦點三角形問題

圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品圓錐曲線中的焦點三角形問題一、焦點三角形的一些性質性質1:已知橢圓方程為「+A=l（a>b〉0）,兩焦點分別為F],F"設焦點三角形PF]F、a~b~ ? ~中NFRE=8則S$pf,=1/tan-o2V(2c)3=|FE『=|PF『+|PF』2-2|PF]|PF18S6>=(|PF；|+|PF2|)2-2|PF；||PF21(1+cos。)「?|PF]||PF2k(怛可|+叫)2-招4aL4c2 2b22(1+cos。)2(1+cos01+cos6i. .. ,b2、e「?|PF]||PF2k(怛可|+叫)2-招4aL4c2 2b22(1+cos。)2(1+cos01+cos6i. .. ,b2、e*''Safm=-|PF1||PF21sin= =b-tan-乙 JL?CU3。 乙性質2:已知橢圓方程為二+A=l（a>b>0）,左右兩焦點分別為F],F,，設焦點三角形a~b~ ~PF]F?,若NFRF2最大,則點P為橢圓短軸的端點。證明：設P（%,y。），由焦半徑公式可知：P耳=a+e%，P耳=a-ipp在心正弓中，cos?！挂?『十|PF『—|F】Fj_(|PF1|+|PF3|)2-2IPFJIPFJ-4C32|PFj|PF2|2|PF/PFJ4a2-4c4b2b22|PFj|PF2|12(a+唯)(a-exj1a2-eX1<a-v-a<Xq<a--2'性質3:過橢圓焦點的所有弦中通徑（垂直于焦點的弦）最短，通徑為2」二a性質4：已知橢圖方程為M+[=l（a>b>0）,兩焦點分別為F],Fz，設焦點三角形PFEa~b-中ZFjPF2=6,則cos。>l-2e3.圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品證明：設PF1=r1,PF2=h，則在AFiPF?中，由余弦定理得:cos蚱r：+r；-F]F：=(r]+r?2—2r心一4』=2a二2c?_12TMTOC\o"1-5"\h\z2a——2c" 2a”-2c 0>——---1=-—t—-l=l-2e2.命題得證。2(空尸 2a-2 2t應用】已知輔圓*+*=1。>b>0)的兩焦點分別為F],F2,若橢圓上存在一點P,使得NFiPF?=120P,求橢圓的離心率e的取值范圍。筒解：由橢圓焦點三角形性質可知31200 即-；"2e2于是得到e的取值范圍是性質5:已知橢圓方程為：+N=l(a〉b>0),兩焦點分別為F],F"設焦點三角形PF]F。,a~b~ ? ?NPF]F,=c,NPF,Fi=4則橢圓的離心率e=81n("+”)~ ~ sina+sin)/PF1％=c.NPFzF]=人由正弦定理得:IF^I_|pf2|_|pf1siii(18(T-a-fl)siiiasin由正弦定理得:由等比定理得： =|PF]|十|PF?sin(6Z+p)silla+sinfi|F]F」_2c|PFJ+|PF2|_2anu - ? - sin(a+p)sin(?+p)sinsin//sina+sinflcsin(6z+p)??e=—= oasina+sinp【應用】已知橢圓的焦點是Fi(—1,0)、F2(b0),P為橢圓上一點，且IFiF2I是IPFiI和IPFiI的等差中項.(1)求橢圓的方程；

圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品(2)若點P在第三象限,且NPFiF2=120。，求tanFiPF2.解：⑴由題設2IFiF2I=IPFiI4-IPF2I/.2a=4,又2c=2,Ab=7J，橢圓的方程為上+工=1.4 3(2)設NF]PF2=。，則NPF2Fi=60°-0???橢圓的離心率0=」2sind"7?——+sin(60°-0)由sind"7?——+sin(60°-0)整理得：5sin0=a/3(l+cos0)sin6_sin6_y/3l+cos65tanFiPF2=tan0= =-——i-AII

25二、焦點三角形的的常見問題1、焦點三角形的形狀判定及周長、面積計算例1.橢圓器+巳=1上一點P到焦點F],F2的距離之差為2,試判斷APFE的形狀.解：由橢圓定義:|P耳+|PF2|=8,|PFJ-IPF2|=2.-JPF]|=5,|PF2|=3.又YKHt心故滿足：口耳|2+|可七|2=正耳|2,故小用外為直角三角形.說明：考查定義、利用己知、發(fā)揮聯(lián)想，從而解題成功.2、定值問題2 2例2.橢圓￡+A=l(a〉b>0)上一點P,兩個焦點F](—c,0),F,(c,0),陰PF,的內切a-b-圓記為□M,求證：點P到口M的切線長為定值?！咀C明】設(0M與△PFM的切點為A、B、C,如圖1,因。M是△PFB的內切圓,所以明1|二?！陓、If2c|=恒蘇|,|pa|=|pb|；v|FiC|4-|f2c|=2c,a|FiA|+|f2b|=2c,由橢圓第一定義知|pf、|+|PFj=2a,A|PA|+|FiA|+|PB|+|F^|=2a,工2|PA|=2a-2c即|PA|二a—c為定值.證畢.

圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品【點評】圓錐曲線定義不僅是推導圓錐曲線方程及性質的基礎，而且也是解題的重要工具.對于有些解析幾何問題,若從圓錐曲線的定義上去思考，往往會收到避繁就簡,捷足先登的解題效果。3、動點軌跡問題TOC\o"1-5"\h\z例3.已知橢圓毛+Z_=i(a>b>0)上一動點P,兩個焦點 『a-b- /耳(-c,0),F2(c,O),MPF2的內切圓記為口乂，試求圓心M的軌跡方程.【解析】如圖1，設NPFFf。、NPFF/0,M(x,y)則在△PFF2中由正弦定理及橢圓的定義有四=叫工= 但退 ，由等比定理有即sin/sinasin[180°-(?+/?)] 閡|PF1|+1PF"[F]F" 2a 2c 『方人八”』e,]一LLJ一J=?—=> = ,又由合分比定理知sina+sin) sin(a+P)sina+sin/sin(a+P)tan-tan^=-o由斜率公式知：kKIF=—=上(丫wO),由前述不難看出，不2 2a+c 1x+c2x-c論P位于橢圓上(異于長軸兩端點)何處，總有上=-=("。).x-ca上=-=("。).x-ca+c整理得(a—c)x2+(a+c)yJ(a—c)c"yW0)證畢.點評：由上獲得的方程不難看出，aPFF?的內切圓圓心M始終在包含于原橢圓內的一小橢圓上移動.如果△PF1當中出現(xiàn)兩個角，可以考慮應用正弦定理。同時從解題過程，不難得到X-一個重要的結論：已知橢圓r+三=l(a>b>0)上一點P及兩焦點F]、F-若a~b~ ~NPF1H=a,NPF,F]=p,則橢圓的離心率為sin?+sinp4、方程問題例4.如圖2,已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在x軸上，耳、F2分別為左、右焦點，雙曲線的右支上有一點P，NF]PFz=工，且△PF]F?的面積3為2石，雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的方程。x-v~解析：設雙曲線的方程為--^=1(3>0,b>0),a-b-F](—c,0),F2(c,0), P(%,y0)o在△PFiF2中，由余弦定理，得TOC\o"1-5"\h\z|F]F/=|PFJ2+|PF2|2—2|PFJ?|PF2|?cosg=(IPFJ-IPF.D^IPFJ?|PF2| ,即J4c~=4a~+|PF]|?|PF2|,又因為，3耳5=2后,所以￡|PF|.呼回三=2埼，所以2 32|PFJ-|PF2|=8,所以4c2=4a2+8即b，=2,又因為e=J，所以a?=—。故所求雙曲a 33x°y2線方程為n--=102 2點評：如果在△PF1當中僅知一個角，我們經(jīng)常要聯(lián)想到余弦定理解決問題。

圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品5、最值、范圍問題例5.已知曲線C的方程為二+亡="A（-1,0）,B（b0）,過點B的直線/與曲線C交4 3于M,N兩點，若NMAN為鈍角，求直線1的傾斜角為2的取值范圍。3 3解：（1）若/_LX軸，則1的方程為x=1nM（l,-）,N（l,--）,3ZMAN=2arctan—<903（不合題意）。（2）若[與x軸重合，則NMAN=tt（不合題意）。4（3）若）與X軸、y軸不垂直，設1：y=k（x—l）（kW0）,代入曲線C的方程得:所以品.品二(不+l)(x2+1)+yy?=(兇+1)(&+1)+k?(均一1)(5-1)G+4k：2)x2-8kG+4k：2)x2-8k葭+41?-12=0設M(均，％),N(x,,丫2)=均+9=8k24k2-12=(1+k?)當x?+(l-k2)(?q+x2)+l+k2=因為NMAN為鈍角，所以AM?AN<0所以7k--9<0,所以0<k~<—,所以7一浮<k<0或0<k〈容。所以傾斜角a的范圍是：Qarctan]揚U（”Mctan乎，充）點評：有關三角形角的大小問題可用向量形式轉化求解。如在△F]PF?中，NFFF2為銳角OcosNFiPF?>00病?房>0;NF1PF2為直角ocosNFiPF?=0=斌?尾=0;NFFFz―> —>為鈍角OcosNFiPF?<OOPFi?PF2<0o6、開放性問題例6,已知Fp耳為雙曲線：—2=l（a〉0,b>0且awb）的兩個焦點，P為雙曲線右支上異-a~b-于頂點的任意一點，o為坐標原點.下面四個命題：①△PBF2的內切圓的圓心必在直線x二a上;②△PF]B的內切圓的圓心必在直線x=b上;③△PFIE的內切圓的圓心必在直線OP±；④2\?耳^的內切圓必通過點（a,0）.其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）.解析：設△PBF2的內切圓分別與PB、PFz切于點A、B,與FB切于點M,則|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,Eb|=|fM，又點P在雙曲線右支上,所以|PF1|一|PF2|=2a,故IfM-IfM=2a,而|FM|+Rm|=2c,設M點坐標為（x,0）,則由—忻題|=2a可得（x+c）一（c—x）=2a解得x=a,顯然內切圓的圓心與點M的連線垂直于x軸，故①、④正確。點評：本題主要圓錐曲線焦點三角形內切圓問題。其中利用圓錐曲線定義和平面幾何性質是問題求解的關鍵。

圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品7、面積問題2 2例7若p是橢圓高+總=1上的一點，耳、F?是其焦點，且NF]PF2=60。，求△F]PF?的面積.解法一:在橢圓*+扃=1中，a=10,b=8,c=6,而6=60°.記|PF；|=rp|PF21=r2.??,點P在橢圓上,/.由橢圓的第一定義得：1]+n=2a=20.在△F]PF2中,由余弦定理得:rj+r32_2rj2cos6=(2c)2.配方，得:（L+32-3山，2=144256/.400-3rli3=144.從而rj?= c_1 . 1256y/3 64y/3Saf1Pf2=-hr2Sin^=-x_-x-_解法二：在橢圓工+<=1中，b2=64,而。=60。.10064?'S?'S幽PF?=b2tan—=64tan30°=而"解法一復雜繁冗，運算量大，解法二簡捷明了，兩個解法的優(yōu)劣立現(xiàn)！TOC\o"1-5"\h\z2 2例8已知P是橢圓會+卷=1上的點，耳、F?分別是橢圓的左、右焦點，若PF,PF1_?—=-，則△F]PE的面積為（）IPFJ.IPF.I2 "A.3后 B.2百 C. D.一3-9..夕=60。.2PF?PF解：設-9..夕=60。.2IPFJIPHI8=b2tail-=9tail30°=3石.故選答案A.圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品例9已知橢圓三十二=1的左、右焦點分別是FrE,點P在橢圓上.若P、耳、R是一

16 9 1 1個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為()9ab9解：若F]或是直角頂點，則點P到x軸的距離為半通徑的長—=—；若P是直角頂點,TOC\o"1-5"\h\z“ a4設點P到X軸的距離為h,則S畫PF,=1)“3119=9131145。=9,又S西PF,=L(2c)/=ah,2 2.?.J7h=9,h=亞.故答案選D7【相關練習】2 21.橢圓器+菅=1上一點P與橢圓兩個焦點F]、F2的連線互相垂直，則△F]PF2的面積為()A.20 B.22 C.28 D.242.橢圓工+y?=l的左右焦點為F「F2,P是橢圓上一點，當△F】PFz的面積為1時，PF；?PF2的值為()A.O B.1 C.3 D.6.橢圓三+歹=1的左右焦點為F1、F-P是橢圓上一點，當△F]PF)的面積最大時，? ~西恒的值為()A.O B.2 C.4 D.-22.已知橢圓M+y2=l(a>l)的兩個焦點為Fl、F?,P為橢圓上一點，且NFiPF2=60。,a-則|P耳|PF?|的值為()圓錐曲線中的典型問題與處理方法一一數(shù)學之家出品A.1A.12-3?D.已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，耳、F2為焦點，點P在橢圓上，直線P耳與PF?傾斜角的差為90。，△KPF?的面積是20,離心率為手，求橢圓的標準方程.PF-PF1.已知橢圓的中心在原點，耳、F,為左右焦點，P為橢圓上一點，且一】，=——IPFJIPF"2△F]PF?的面積是后，準線方程為x=土殍，求橢圓的標準方程.參考答案a.解：NF]PE=。=90。,撥=24,??.S叱pf=b2tail-=24tail45°=24.TOC\o"1-5"\h\z故答案選D.nn a.解：設NF】PE二夕，???S甌pF —=tan—=1,.?.一=45。，。=90。，1? ME2 2 2PF-PE=0故答案選A.n n.解：a=2,b=l,c=石，設/F]PFz=8,??? =b2tail—=tail—,2 2.?.當△F]PE3的面積最大時，8為最大，這時點P為橢圓短軸的端點，夕=120。，函?恒■函||賦|cos夕=a2cos12