必修4-第二章2.1-2.2平面向量實際背景及基本概念線性運算基本定理坐標表示

42.1-2.2軍向量一、考點突正確區(qū)分向量平行二、重難點提考點一：向量及相關概1aa±|a0與任一向量平行0兩個向量共線，但不一定相等；而兩個向量相等，則一定共線。向量“共線”的含義不是平面幾何里的“共線”的含義。平面幾何里的三點共線與兩個向量共線不同：首先共（）（3（（5考點二：向量的整體法：a，b，c等，注意此時手寫（a）與書a不一樣。【突破|a|＝|b|a＝±bab相等，則必有|a|＝|b|ab長度等于一個單位的向量叫做單位向量。對于任意非零向量aa|a

A.若|a|＞|b|B.若|a|＝|b|C.a＝babD.a≠babba＞b，AB錯誤；D中，a≠b，ab共線。故選例題1 （1）若|a|＝|b|a＝bAB與CDA、B、C、D（1）AB、CDA、B、C、D不一定在同一條直線上。（32（向量的表示及應用然后從D地沿北60°方向6千米CC地又向南30°方向2千米B地。ADDCCBABBA（1）ADDCCBAB如圖所示。AB＝DCBA60°，6例題 （相等向量與共線向量如圖所示，OABCDEF的中心，且OA＝aOB＝baa23a的長度相等且方向相反的向量有ODBCAOFEaEFBCODFECBDOAODAADaEFDOCB；bDCEOFA。對向量的有關概念理解不清 ①向量a，b共線b，c共線ac也共線；②任意兩個相等的非零向量的起A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BC量的平行只與方向有關，而與起點是否相同無關，故④不正確；abab都【答案】向量在實際問題中的應AB＝6，C是半圓上的一點，D、EAB、BCACDE求|AC|（1）（2）根據平行線分線段成比例求|AC|（1）∴△BED是直角三角形，且∠BEDACDE∴AC＝BADE18 ∴|AC|＝185A100kmB50°走200kmC100kmD點。求|AD|（1）（2）AB與CDAB與CD共線。又|AB|＝|CD|，ABCD∴|AD|＝|BC|＝200km（答題時間：40分鐘*1.在同一平面內，把平行于某一直線的一切向量的始點放在同一點，那么這些向量的終 A.一條線 B.一條直C.圓上一群孤立的 D.一個半徑為1的**2.（杭州高一檢測）下列說法正確的是 A.a∥babB.a∥b，b∥cC.D.a＝b，b＝c如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量AB與DC的關系是 B.|B.|AB|＝|DCD.AB＜AB＝AB＞ B.ABB.ABD.BCDABCDC如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC，AB，BC的中點，則與EF A.6 B.5 C.4 D.3*6.ABCDAB＝DC，且|AB|＝|AD|ABCD OABCDOAED，OCFBAO與COABCD，E、F、G、HAB、BC、CD、DA的中點，EF＝HG。**9.如圖象棋的半個棋盤，“馬走日”象棋的走法，“馬”可以從A跳到A1A2AA1AA2B、C分別走了1.B 2. A、×b＝0C×D√3. 解析：|AB|與|DC|4. AB＝DCABDC5. 解析：∵E、F、DAC、ABBC∴EF＝2

2

菱形AB＝DC∵|AB|＝|AD|ABCD（1）AO＝BFBO＝AEAOBFCODEAOCODOBOBFCFAEDEAO與CO12

12

所以|EF|＝|HG|EFHGEF＝HGB3C8向量一、考點突掌握向量共線定理的應考查向量運算的幾何意二、重難點提考點一：向量的線性運算及運算（a＋b）c＝＋（bc量－b的和的運算ab的差λ（2）λ>0時，λa的方向aλ<0時，λaa的方向相反；λ＝0時，λa＝0【突破00aa,a(a)(a)a（二）ACACabABa,ADb為鄰邊做平行四邊形ABCD，則兩條對角線BDbaDBab角線（AC，而差向量是另一條對角線（DB，方向是從減向量指向被減向量；（三）由實數與向量的積的定義可以看出，a的有向線段伸長當|λ|＞1a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的當|λ|＜1a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上縮小為原來的aaa00①注意數零及零向量0aaaa③式子ba0時可以改寫為a1bba1

考點二：共線向量定b＝λ（a≠0λb＝λa。b＝λ（a≠0ab共線（a≠0λb＝λa。a≠0a＝b＝0λλ不唯一，【突破C＋μOBλ，μλ＋μ＝1A，B，Cμ）OA＋μOB，即OCOA＝μ（OBOA也即AC＝μAB，從而A，B，C三點共ab②在△ABCABBCCAABBCCA＝0A、B、C④若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等。 A.0 B.1 C.2 D.3B，CABBCCA＝0，因此③是假命題；④中，只有當a與b1個。例題 （向量的線性運算（1（（2）2

2

2

a＋8

b；（1）原式＝（ABCD）＋（BCDE）－（EFEA）＝（ABBC＋（CDDE）－（EFEA＝ACCEEAEFAEEAAEEAEFEF（2）原式＝1(2a3ba3＝a＋4

b－a－4

b＝0例題 如圖，以向量OA＝aOB＝b為鄰邊作平行四邊形OADBBM＝1BC3CN1CDa，b表示OMONMN3答案：BAOAOB＝a－b

1BA6

1a－1 ∴OMOBBMOD1

a5b ∴ONOC

CD3

OD ＝2OD3

a＋2

∴MNONOM

a＋

a－b＝a－b OM1a5bON2a2bMN1a1b 例題3 設兩個非零向量a與b不共線，＝3（a－bkka＋ba＋kb（1）AB＝a＋bBC＝2a＋8bCD＝3（a－b，∴BD＝BCCD∴A、B、D（2）解：∵ka＋ba＋kbka＋b＝λ（a＋kb，4（向量線性運算綜合）如圖所示，在△ABCAD

2AB，DE∥BC3E，BCAMDENAB＝aAC＝ba，bAEBCDEDNAMAN思路分析：DE∥BC等條件進行轉化。答案：∵DE∥BCAD2AB，3∴

23

2b，BCACAB32由△ADE∽△ABC，得DE BC23

23AM是△ABCBC∴DN1DE1 AMABBM＝a＋1BC＝a＋1（b－a）＝1 ∵△ADN∽△ABM，AD2AB3∴

23

13方程思想在平面向量的線性運算中的應【滿分訓練】如圖所示，在△ABO中，OC1OA，OD1OB，ADBC 設OA＝aOB＝bab表示向量OM（1）既然OMa、b表示，那我們不妨設出OM＝ma＋nb答案：設OM＝ma＋nb，

OMOA＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nbADODOA

OBOA＝－a1b 又∵A、M、DAMADtAMtAD即（m－1）a＋nb＝ta1b2 2 12m1

∴n

t CMOMOC＝ma＋nb1a＝m1CBOBOC＝b－4

a＝－4

44 44a＋b又∵C、M、BCM與CBt1，使得CM＝t1CB∴m1a＋nb＝t11ab4 4 m11∴ 41m＝1，n＝3OM1a3b （2）

與三角形的外心、垂心、重心等有關問題的向量如圖所示，O為△ABC的外心，HOHOAOBOC

∴AHDC∴OHOA

OADCOADCOAOBOCG為△ABC內一點，若GAGBGC＝0，求證：G是△ABC的重心。答案：證明：如圖，由GAGBGC＝0知GA(GBGC以GB，GC為鄰邊作平行四邊形B 則GDGBGC，即GDGA。而在平行四邊形B 中，BC與GD相交于E，且ECBE,EDGE，則AE是△ABC中BC邊上的中線。又因為|GA|2|GE|G為△ABC（答題時間：40分鐘AF2FB，則ADBECF與BC A.反向平 B.同向平C.互相垂 D.既不平行也不垂**2.已知△ABC和點M滿足MAMB

＝0m使得AB

成立，則m等于 A. B. C. D.**3.O是平面上一定點，A、B、CP滿足：OPOA ACλ |AB

，λ∈[0，＋∞， |AC|A.外 B.內 C.重 D.垂*4.已知向量a、b是兩個非零向量，則在下列四個條件中，能使a、b ③x·a＋y·b＝0（x，yx＋y＝0；ABCDAB與CD***5.如圖所示，在△ABCOBCOAB、于不同的兩點M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋n的值 **6.在△ABCDABAD2DBCD1CACB3 **7.G是△ABO的重心，MAB求GAGBGO

1＝3

1*8.a、b是兩個不共線的非零向量，abt為何值時，a，tb，3＝ba、bAG解析：由題意，得DCDAACBDBAADDC2BDDAAC＝2（BAADAD

AC31

3 BE

BC3

BA,CF3

CA31

CB3ADBECF3

BC。故選A2. MBMCMAAMBCDDBCBMACECMABFE、FAC、ABM為△ABCAM2AD1ABACAB

m＝3 3. AC∵OPOA |AB

|AC| AC ∴AP |AB

|AC|

|AD

（λ′∈[0，＋∞，APAD,APAD|AD∴P的軌跡一定通過△ABC①②解析：由①得10a－b＝0x＝y(tǒng)＝0時，ab不一定AB∥CDAB與CDAD∥BCAB與CD不共線。解析：∵OBCAO1ABAC2ABmAM

nAN,AOm2

nAN2∵M，O，Nmn＝1m＋n＝2 2解析：由圖知CDCAAD3AD2BD＝0①＋②×23CDCA2CB∴CD

CA3

CB∴λ＝2 （1）因為GAGB2GM2GMGO，所以GAGBGOGOGO＝0。1（2）證明顯然OM

（a＋b2G是△ABO的重心，所以OG2OM1（a＋b P、G、QPGGQλPGGQPGOGOP1（a＋b）－ma＝1ma13 3 GQOQOG＝nb－1（a＋b）＝－1a＋n1

33333

1所以3ma3b＝3an3b 1m11a、b不共線，所以1

3，3n13 λ3mn＝m＋n11＝3 解：設OA＝aOB＝tbOC1（a＋b，3∴

OCOA2a1bABOBOA＝tb－a A、B、C

AB 即－

2 1∴有1

31

t 2

＝AB

(BABC)＝1＝

AB22

(ACAB) ＝（1－λ）AB AC＝（1－λ）a＋b AGACCGACmCFAC

m(CACB)＝（1－m）AC

mAB2

m21∴

2λ＝m＝ 2

，∴AG

1a1b 向量一、考點突考查平面向量基本定理二、重難點提考點一：平面向量基本定e1e2a，λ1、λ2a＝λ1e1＋λ2e2?！就黄芿1、e2是同一平面內的兩個不共線的向量，ae1、e2共面的任一向量，則存在λ1、λ2a＝λ1e1＋λ2e2λ1，λ2是唯一確定的。理由如下：λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2∴（λ′1－λ1）e1＋（λ′2－λ2）e2＝0∵e1、e2∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2e1、e2λ1e1＋λ2e2＝me1＋ne2，λ1＝m；λ2＝n考點二：兩個向量的夾角與ab，作OA＝aOB＝b，則∠AOB＝θab的夾角（如圖所示。ab0°≤θ≤180°θ＝0°時，ab同向θ＝180°時，ab反向ab90°aba⊥bab90°aba⊥b 向量所成的角的范圍為0,。已知e1、e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作為平面內的一組基底，則實數λ的取值范圍為 （－，4）（4，＋a＝b＝a－b＝r（r>0， 答案：作OA＝aOB＝bBA＝a－b，∠AOBab的夾角，由b|知△AOB為等邊三角形，則∠AOB＝60°。技巧點撥：注意兩個向量能作為基底的條件及向量的夾角的概念和利用圖形例題 （用基底表示向量AD＝ba、bDEBF答案：ABCD是平行四邊形，E、FBC、DCBE1AD1bCF1BA1AB1a ∴DEDAABBEADAB＝－b＋a＋2

b＝a－121BFBCCFADCF＝b－a2例題 （向量的夾角已知|a|＝|b|＝2ab60°a＋baα，a－ba思路分析：α、β。答案：如圖，作OA＝aOB＝b，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則OC＝a＋bBAOAOB＝a－b，BCOA＝a。因為a－baβ＝60°因為|a|＝|b|OACB為菱形，OC⊥AB。a＋baα＝30°，α＋β＝90°。例題 ABCD中，FCD的中點，AFBDE，求證：E為線BD的三等分點。思路分析：EBDBE2BDBEBD。33答案：AB＝aAD＝bBDADABAFADDFAD1AB＝b1a μBD

AF，BE

a＋λbBE＝μb－μa2（1－μ）a＋μb＝22

λ＝μ＝2BE2BD EBD（D）的一個三等分點。（1）（2）【滿分訓練】已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝et∈R＝d，e＝（a＋bb共線時，t可為任意實數這個解。答案：由題設，知CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝（t－3）a＋tb，C、D、E三點在k，使得CEkCD，即（t－3）a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得a，btt33k②若a，b不共線，則有2kt t＝65a、b共線時，ta、b不共線時，t＝65已知：在△ABC中，D、E、FBC、AC、AB的中點，求證：AD、BE、CF交于思路分析：AD、BE、CF交于一點，可利用同一法，證明三條直線中兩直線交點答案：AC＝aBC＝b

2AD3AB＝a－bAD＝a2

b，BE

1(BCBA＝b1a ADBEG1AG1ADBG1BE AG1＝λa2bBG1＝－2AG1ABBG1＝（121∴

2

λ＝μ＝3AG13ADG1G2ADCFG2AG23AD。G2GAD、BE、CFAMBNPAP∶PM＝4∶1。答案：AB＝bACAM1b1c

2AC2BNBA

2c－b3∵AP∥AM，BP∥BNλ，μ∈RAPAMBPBN，APPBAB，∴AMBNAB12

b＋

得（λ＋μ）b＋（

bc1 21∴1

23

，解得 AP

4AMAP∶PM＝4∶15（答題時間：40分鐘*1.（衡水高一檢測）設e1、e2是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能 A.e1＋e2和 B.3e1－4e2和C.e1＋2e2和 D.e1和*2.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA， A.x＝2，y＝ B.x＝1，y＝ C.x＝1，y＝ D.x＝3，y＝ **3.M為△ABCD，E，FBC，AB，AC的中點，則MAMBMC等于 A.6 B.－6 C. D.6（λ≠－1， A. B. C.

1

a＋1**5.（三一檢測）若D點在三角形ABC的邊BC上，且CD4DB＝rAB＋sAC，則3r＋s的值為（

**6.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B、C三點滿足OC2OC2OA 1OB，則|AC| |AB（λ∈R，O試以OAOB為基底表示OP12

Pλ＋μ

μ∈R，***9.如圖所示，M是△A